2015届高考数学(新课标版,文)二轮复习专题讲解课件：专题5 第3讲 高考中的圆锥曲线(解答题型

高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书(解答题型)高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书1．(2014·浙江高考)已知△ABP的三个顶点在抛物线C：x2＝4y上，F为抛物线C的焦点，点M为AB的中点，.(1)若|PF|＝3，求点M的坐标；(2)求△ABP面积的最大值．高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书解：(1)由题意知焦点F(0,1)，准线方程为y＝－1.设P(x0，y0)，由抛物线定义知|PF|＝y0＋1，得到y0＝2，所以P(22，2)或P(－22，2)．由，分别得M－223，23或M223，23.(2)设直线AB的方程为y＝kx＋m，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)．由y＝kx＋m，x2＝4y，得x2－4kx－4m＝0.高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书于是Δ＝16k2＋16m0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m，所以AB中点M的坐标为(2k,2k2＋m)．由，得(－x0,1－y0)＝3(2k,2k2＋m－1)，所以x0＝－6k，y0＝4－6k2－3m.由x20＝4y0得k2＝－15m＋415.由Δ0，k2≥0，得－13m≤43.高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书又因为|AB|＝41＋k2·k2＋m，点F(0,1)到直线AB的距离为d＝|m－1|1＋k2，所以S△ABP＝4S△ABF＝8|m－1|k2＋m＝16153m3－5m2＋m＋1.记f(m)＝3m3－5m2＋m＋1－13m≤43.令f′(m)＝9m2－10m＋1＝0，解得m1＝19，m2＝1.高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书可得f(m)在－13，19上是增函数，在19，1上是减函数，在1，43上是增函数．又f19＝256243f43，所以，当m＝19时，f(m)取到最大值256243，此时k＝±5515.所以，△ABP面积的最大值为2565135.高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书2.(2014·湖南高考)如图，O为坐标原点，双曲线C1：x2a21－y2b21＝1(a10，b10)和椭圆C2：y2a22＋x2b22＝1(a2b20)均过点P233，1，且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．(1)求C1，C2的方程；(2)是否存在直线l，使得l与C1交于A，B两点，与C2只有一个公共点，且？证明你的结论．高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书解：(1)设C2的焦距为2c2，由题意知，2c2＝2,2a1＝2.从而a1＝1，c2＝1.因为点P233，1在双曲线x2－y2b21＝1上，所以2332－1b21＝1.故b21＝3.由椭圆的定义知2a2＝2332＋1－12＋2332＋1＋12＝23.于是a2＝3，b22＝a22－c22＝2，故C1，C2的方程分别为x2－y23＝1，y23＋x22＝1.高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书(2)不存在符合题设条件的直线．①若直线l垂直于x轴，因为l与C2只有一个公共点，所以直线l的方程为x＝2或x＝－2.当x＝2时，易知A(2，3)，B(2，－3)，②若直线l不垂直于x轴，设l的方程为y＝kx＋m.由y＝kx＋m，x2－y23＝1，得(3－k2)x2－2kmx－m2－3＝0.高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书当l与C1相交于A，B两点时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，从而x1＋x2＝2km3－k2，x1x2＝m2＋3k2－3.于是y1y2＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝3k2－3m2k2－3.由y＝kx＋m，y23＋x22＝1得(2k2＋3)x2＋4kmx＋2m2－6＝0.因为直线l与C2只有一个公共点，所以上述方程的判别式Δ＝16k2m2－8(2k2＋3)(m2－3)＝0.高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书化简，得m2＝2k2＋3，因此综合①②可知，不存在符合题设条件的直线.高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书1．圆锥曲线中的范围问题(1)解决这类问题的基本思想是建立目标函数和不等关系．(2)建立目标函数的关键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题；建立不等关系的关键是运用圆锥曲线的几何特征、判别式法或基本不等式等灵活处理．高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书2．圆锥曲线中的存在性问题(1)所谓存在性问题，就是判断满足某个(某些)条件的点、直线、曲线(或参数)等几何元素是否存在的问题．(2)这类问题通常以开放性的设问方式给出，若存在符合条件的几何元素或参数值，就求出这些几何元素或参数值；若不存在，则要求说明理由．高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书3．圆锥曲线中的证明问题圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一类是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；另一类是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)．高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书4．定点问题(1)解析几何中直线过定点或曲线过定点问题是指不论直线或曲线中的参数如何变化，直线或曲线都经过某一个定点．(2)定点问题是在变化中所表现出来的不变的点，那么就可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变量所影响的某个点，就是要求的定点．高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书5．定值问题解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不随参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书6．最值问题圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书第1课时圆锥曲线中的范围、存在性和证明问题高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书热点一圆锥曲线中的范围问题命题角度与圆锥曲线中范围有关的问题，通常是通过构造不等式求解．常见的命题角度有：(1)求满足条件的直线斜率范围；(2)求点的坐标范围；(3)求弦长或圆形面积的取值范围等.高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书[例1]已知A、B、C是椭圆M：x2a2＋y2b2＝1(ab0)上的三点，其中点A的坐标为(23，0)，BC过椭圆的中心，且∠OCA＝90°，|BC|＝2|AC|.(1)求椭圆M的方程；(2)过点(0，t)的直线(斜率存在)与椭圆M交于P、Q两点，设D为椭圆与y轴负半轴的交点，且|DP|＝|DQ|，求实数t的取值范围．高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书[师生共研](1)∵|BC|＝2|AC|且BC过点(0,0)，则|OC|＝|AC|.∵∠OCA＝90°，∴C(3，3)．由题意知a＝23，则椭圆M的方程为x212＋y2b2＝1，将点C的坐标代入得312＋3b2＝1，解得b2＝4.∴椭圆M的方程为x212＋y24＝1.高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书(2)由题意知D(0，－2)，设直线l的斜率为k，当k＝0时，显然－2t2；当k≠0时，设直线l：y＝kx＋t，联立x212＋y24＝1，y＝kx＋t，消去y得(1＋3k2)x2＋6ktx＋3t2－12＝0，由Δ0可得，t24＋12k2.①设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，PQ的中点为H(x0，y0)，高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书则x0＝x1＋x22＝－3kt1＋3k2，y0＝kx0＋t＝t1＋3k2，∴H－3kt1＋3k2，t1＋3k2.∵|DP|＝|DQ|，∴DH⊥PQ，即kDH＝－1k.∴t1＋3k2＋2－3kt1＋3k2－0＝－1k，化简得t＝1＋3k2，②由①②得，1t4.综上，t∈(－2,4)．高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书解决圆锥曲线中范围问题的方法一般题目中没有给出明确的不等关系，首先需要根据已知条件进行转化，利用圆锥曲线的几何性质及曲线上点的坐标确定不等关系；然后构造目标函数，把原问题转化为求函数的值域或引入参数根据参数范围求解，解题时应注意挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量之间的转化．高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书1．椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点F2与抛物线y2＝4x的焦点重合，过F2作与x轴垂直的直线l1与椭圆交于S，T两点，与抛物线交于C，D两点，且|CD||ST|＝22.(1)求椭圆E的方程；(2)若过点M(2,0)的直线l与椭圆E相交于A，B两点，设P为椭圆E上一点，且满足(O为坐标高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书原点)，当253时，求实数t的取值范围．解：(1)设椭圆的半焦距为c，则c＝1，且|CD|＝4，|ST|＝2b2a，∴|CD||ST|＝2ab2＝22，又a2－b2＝1，∴a＝2，b＝1，∴椭圆E的方程为x22＋y2＝1.高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书(2)由题意得，直线l的斜率存在，设直线l：y＝k(x－2)，联立x22＋y2＝1，y＝kx－2，消去y得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0，由Δ0，得k212.①设A(x1，y1)，B(x2，y2)，高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书由根与系数的关系得x1＋x2＝8k21＋2k2，x1x2＝8k2－21＋2k2，∴y1＋y2＝k(x1＋x2)－4k＝－4k1＋2k2，则＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·8－16k21＋2k2253，∴k214或k2－1314(舍去)．②由①②得14k212，高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书又AB的中点N4k21＋2k2，－2k1＋2k2，∴，得P8k21＋2k2t，－4k1＋2k2t，代入椭圆方程得32k41＋2k22t2＋16k21＋2k22t2＝1，即t2＝32k4＋16k21＋2k22＝16k21＋2k2＝161k2＋2，高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书∵14k212，∴83t24，即t∈263，2∪－2，－263.高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书热点二圆锥曲线中的存在性问题命题角度存在性问题是近年来高考中对解析几何考查的一种热点题型，以判断满足条件的点、直线、参数等是否存在为主要考查角度，多以解答题形式考查.[例2]已知抛物线P：y2＝4x的焦点为F，经过点H(4,0)作直线与抛物线P相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)求y1y2的值；高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书(2)是否存在常数a，当点M在抛物线P上运动时，直线x＝a都与以MF为直径的圆相切？若存在，求出所有a的值；若不存在，请说明理由．[师生共研](1)∵A(x1，y1)，B(x2，y2)，H(4,0)，∴(x2－4，y2)．∵A(x1，y1)，B(x2，y2)，H(4,0)在一条直线上，∴(x1－4)y2－(x2－4)y1＝0.∵A(x1，y1)，B(x2，y2)都在抛物线y2＝4x上，高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书∴x1＝y214，x2＝y224，∴y214－4y2－y224－4y1＝0，即y1y24(y1－y2)＝－4(y1－y2)．根据已知得y1≠y2，∴y1y2＝－16.(2)存在．∵F是