量子信息与计算的量子体系-量子态表示-密度矩阵--混合态-量子不可克隆定理--Schmidt分解-量

中国科学技术大学陈凯量子信息物理学PH35202量子信息导论00220201中国科学技术大学微尺度国家实验室/近代物理系陈凯2013.10中国科学技术大学陈凯第一章量子体系量子态表示，密度矩阵，混合态，量子不可克隆定理，Schmidt分解，量子测量等中国科学技术大学陈凯Schmidtdecomposition任意两体纯态∑∑==⊗=〉Φnimjijjia11|存在一组正交态|μ1〉,|μ2〉,…,|μn〉以及|φ1〉,|φ2〉,…,|φn〉使得∑=⊗=〉Φnccccp1|jm假设n≤mΦΦ1Tr的本征态|φ1〉,|φ2〉,…,|φn〉为参考QCQI§2.5,M.A.NielsenandI.L.Chuang中国科学技术大学陈凯也即|11||00|〉〈+〉〈=I|01||10|1〉〈+〉〈=s|11||00|3〉〈-〉〈=s|01||10|2〉〈+〉〈-=iis=I⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=10010s⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=01101s⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛-=002iis⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛-=10013s,,,()3210001|00|s+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=〉〈I()3211000|11|s-=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=〉〈I()21210010|10|ssi+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=〉〈()21210100|01|ssi-=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=〉〈密度矩阵矩阵元的表示中国科学技术大学陈凯两比特密度矩阵BAHH⊗∈r⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛〉〉〉〉=〈〈〈〈11,1110,1101,1100,1111,1010,1001,1000,1011,0110,0101,0100,0111,0010,0001,0000,0011|10|01|00||11|10|01|00rrrrrrrrrrrrrrrrr用到()321|00|s+=〉〈I()321|11|s-=〉〈I()2121|10|ssi+=〉〈()2121|01|ssi-=〉〈()()()()()()()()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⊗+⋅⊗+⊗⋅+⊗=∑=31,,41nmBnAmnmBABABArIIIIbassrssvvvv中国科学技术大学陈凯密度矩阵性质å=iipTr22r因此纯态混合态混合程度，最小值？中国科学技术大学陈凯一般地仍然为一个密度矩阵所有N维Hilbert空间H中的密度矩阵构成一个凸集密度矩阵性质21)1()(rllrlr-+=中国科学技术大学陈凯中国科学技术大学陈凯作用一个幺正变换U在初态，我们有yyU()††UUUUyyyy=密度矩阵演化密度矩阵变为中国科学技术大学陈凯中国科学技术大学陈凯作用一个幺正变换U在一个系综上，我们有密度矩阵演化密度矩阵变为{}kkqy,{}kkUqy,††tUUUqUUUqkkkkkkkkryyyy=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=∑∑中国科学技术大学陈凯系综分解正交归一基矢下的系综分解任意系综生成和表示可以证明，两组系综之间存在一个幺正变换关系中国科学技术大学陈凯Trace操作对于混合态意味着对于各种量子态的测量输出总的概率为1中国科学技术大学陈凯Trace操作性质矩阵对角元求和221100222120121110020100aaaaaaaaaaaaTr++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡特性[][][][][][][][]iiiAATrATrUAUTrCABTrABCTrBATrABTrByTrAxTryBxATrφφ∑====+=+t][][正交基展开iφ中国科学技术大学陈凯Trace操作可分离态情形*)(yjjy=TråÄ=ÄijBBiAAiBAjjqiip)()(rr中国科学技术大学陈凯Trace操作纠缠态情形我们得到åå==jBAjBAiiABABABjjii*aayyr中国科学技术大学陈凯Trace操作一个例子我们得到量子态纯化Purification中国科学技术大学陈凯中国科学技术大学陈凯⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡─→─⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡332231201302110033322322313021201312030211100100333231302322212013121110030201002aaaaaaaaaaaaTraaaaTraaaaTraaaaTraaaaaaaaaaaaaaaaTrTrace操作作用在矩阵上中国科学技术大学陈凯??||===〉=〉Φ∑BAijijABijijABaAijarr约化密度矩阵－练习中国科学技术大学陈凯沿基矢进行测量量子测量量子测量如对于任意叠加态∑∑====niiniiiaa1211||,||bffb|iia=几率幅nii1}{=b2||ia几率中国科学技术大学陈凯VonNeumann测量是投影测量的一种类型。给定一组正交基，如果我们对于量子态实施沿基矢的VonNeumann测量，则有}{ky∑=Φkkya}{kyky()()ΦΦ=ΦΦ=ΦΦ=Φ=kkkkkkkkTrTryyyyyyya22VonNeumann测量中国科学技术大学陈凯例如考虑对于量子态实施相对于基矢的VonNeumann测量⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+210,210⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛--+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++=Φ21022102baba)10(ba+=Φ因此我们有测得的几率为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+21022ba+VonNeumann测量注意到中国科学技术大学陈凯实际上2210ba+=Φ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+2210**ba+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+Φ22102102102102ba+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ΦΦ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+ΦΦ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+TrVonNeumann测量中国科学技术大学陈凯投影测量(Projectivemeasurements)可观测量M存在一个谱分解满足获得结果m的几率为系统的量子态变为中国科学技术大学陈凯投影测量(Projectivemeasurements)可观测量M存在一个谱分解更一般地定义可观测量|01||10|1〉〈+〉〈=s|11||00|3〉〈-〉〈=s|01||10|2〉〈+〉〈-=iis⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=01101s⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛-=002iis⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛-=10013s,,称为自旋沿着轴方向的测量中国科学技术大学陈凯广义测量Quantummeasurementsaredescribedbyacollection{Mm}ofmeasurementoperators.Theseareoperatorsactingonthestatespaceofthesystembeingmeasured.Theindexmreferstothemeasurementoutcomesthatmayoccurintheexperiment.对于量子态，结果m发生的几率为测量后的系统处于中国科学技术大学陈凯广义测量其中测量算符满足完备性条件可见中国科学技术大学陈凯我们有投影算子和满足000=M111=M例子从而同理测量之后量子态处于中国科学技术大学陈凯广义测量是可实现的任意广义的量子测量均可以通过纠缠该系统与一个辅助系统，应用一个幺正变换并实施投影测量来实现量子系统A，测量算符Mm,辅助系统B定义可见实施投影测量从而有输出m的几率为中国科学技术大学陈凯广义测量是可实现的任意广义的量子测量均可以通过纠缠该系统与一个辅助系统，应用一个幺正变换并实施投影测量来实现量子系统A，测量算符Mm,辅助系统B测量之后的联合量子态处于要测量的系统处于中国科学技术大学陈凯POVM测量－－PositiveOperator-ValuedMeasure量子系统A，测量算符Mm,我们有对于量子态，结果m发生的几率为定义可见集合Em本身就可以决定所有可能的不同测量输出的几率中国科学技术大学陈凯Howtodistinguishnon-orthogonalstatesoptimallyUsegeneralized(POVM)quantummeasurements.[see,e.g.,Y.Sun,J.Bergou,andM.Hillery,Phys.Rev.A66,032315(2002).]Theviewfromthelaboratory:Ameasurementofatwo-statesystemcanonlyyieldtwopossibleresults.Ifthemeasurementisn'tguaranteedtosucceed,therearethreepossibleresults:(1),(2),and(Idon'tknow).Therefore,todiscriminatebetweentwonon-orth.states,weneedtouseanexpanded(3Dormore)system.Todistinguish3states,weneed4Dormore.H-polarizedphoton45o-polarizedphotonvs.FromSteinberg中国科学技术大学陈凯ΘThegeometricpictureTwonon-orthogonalvectorsThesamevectorsrotatedsotheirprojectionsontox-yareorthogonal(Thez-axisis“inconclusive”)90oΘ121FromSteinberg中国科学技术大学陈凯Butaunitarytransformationina4Dspaceproduces:…andthesestatescanbedistinguishedwithcertaintyupto55%ofthetimeAtestcaseConsiderthesethreenon-orthogonalstates:Projectivemeasurementscandistinguishthesestateswithcertaintynomorethan1/3ofthetime.(Nomorethanonememberofanorthonormalbasisisorthogonaltotwooftheabovestates,soonlyonepairmayberuledout.)FromSteinberg中国科学技术大学陈凯Experimentalschematic(ancilla)FromSteinberg中国科学技术大学陈凯A14-pathinterferometerforarbitrary2-qubitunitaries...FromSteinberg中国科学技术大学陈凯Success!Thecorrectstatewasidentified55%ofthetime--Muchbetterthanthe33%maximumforstandardmeasurements.Idon'tknowDefinitely3Definitely2Definitely1M.Mohseni,A.M.Steinberg,andJ.Bergou,Phys.Rev.Lett.93,200403(2004)FromSteinberg中国科学技术大学陈凯参考QCQI§2.2,M.A.NielsenandI.L.ChuangM.Mohseni,A.M.Steinberg,andJ.Bergou,Phys.Rev.Lett.93,200403(2004)中国科学技术大学陈凯