空间向量与垂直关系

服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学-选修2-1自主学习.基础知识合作探究.重难疑点课时作业解题模版.规范示例第2课时空间向量与垂直关系服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学-选修2-1[学习目标]1.掌握直线的方向向量和平面的法向量的求法．(重点)2.能利用方向向量和法向量处理线线、线面、面面间的垂直问题．(重点、难点)服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学-选修2-1一、线线垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔________⇔________.【答案】a·b＝0a1b1＋a2b2＋a3b3＝0服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学-选修2-1二、线面垂直设直线l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔________⇔________⇔________(k∈R)．【答案】a∥ua＝ku(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学-选修2-1三、面面垂直若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔________⇔________⇔________.【答案】u⊥vu·v＝0a1a2＋b1b2＋c1c2＝0服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学-选修2-11．若直线l的方向向量a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学-选修2-1【解析】∵n＝(－2,0，－4)＝－2(1,0,2)＝－2a，∴n∥a，∴l⊥α.【答案】B服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学-选修2-12．若平面α、β的法向量分别为a＝(2，－1,0)，b＝(－1，－2，0)，则α与β的位置关系是()A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．无法确定【解析】a·b＝－2＋2＋0＝0，∴a⊥b，∴α⊥β.【答案】B服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学-选修2-13．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足AB→·AC→＝0，AC→·AD→＝0，AB→·AD→＝0，则△BCD是()A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不确定服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学-选修2-1【解析】因为AB→·AC→＝0，AC→·AD→＝0，AB→·AD→＝0，所以AB，AC，AD两两垂直，所以BC2＝AB2＋AC2，CD2＝AC2＋AD2，BD2＝AB2＋AD2，所以BC2CD2＋BD2，CD2BC2＋BD2，BD2BC2＋CD2.故△BCD是锐角三角形．【答案】B服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学-选修2-14．(2014·兰州高二检测)已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k＝________.【解析】向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，所以ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，因为ka＋b与2a－b互相垂直，所以(ka＋b)·(2a－b)＝0，所以3(k－1)＋2k－4＝0，解得k＝75.【答案】75服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学-选修2-1预习完成后，请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中问题1问题2问题3问题4服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学-选修2-1利用向量证明线线垂直已知正三棱柱ABC­A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝14CC1.图3­2­9求证：AB1⊥MN.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学-选修2-1【思路探究】(1)若选AB→、AC→、AA1→为基向量，你能用基向量表示AB1→与MN→吗？怎样证明AB1→与MN→垂直？(2)若要建立空间直角坐标系，本题该怎样建立？你能用坐标表示向量AB1→与MN→并证明它们平行吗？服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学-选修2-1【解】法一设AB→＝a，AC→＝b，AA1→＝c，则由已知条件和正三棱柱的性质，得|a|＝|b|＝|c|＝1，a·c＝b·c＝0，AB1→＝a＋c，AM→＝12(a＋b)，AN→＝b＋14c，MN→＝AN→－AM→＝－12a＋12b＋14c，服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学-选修2-1∴AB1→·MN→＝(a＋c)·－12a＋12b＋14c＝－12＋12cos60°＋0－0＋0＋14＝0.∴AB1→⊥MN→，∴AB1⊥MN.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学-选修2-1法二设AB中点为O，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得A－12，0，0，B12，0，0，C0，32，0，N0，32，14，B112，0，1，∵M为BC中点，∴M14，34，0.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学-选修2-1∴MN→＝－14，34，14，AB1→＝(1,0,1)，∴MN→·AB1→＝－14＋0＋14＝0.∴MN→⊥AB1→，∴AB1⊥MN.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学-选修2-1利用空间向量证明两直线垂直的常用方法及步骤：(1)基向量法：①选取三个不共线的已知向量(通常是它们的模及其两两夹角为已知)为空间的一个基底；②把两直线的方向向量用基底表示；③利用向量的数量积运算，计算出两直线的方向向量的数量积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学-选修2-1(2)坐标法：①根据已知条件和图形特征，建立适当的空间直角坐标系，正确地写出各点的坐标；②根据所求出点的坐标求出两直线方向向量的坐标；③计算两直线方向向量的数量积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学-选修2-1如图3­2­10，直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝1，AA1＝3，M是BC的中点．在DD1上是否存在一点N，使MN⊥DC1？并说明理由．图3­2­10服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学-选修2-1【解】如图所示，建立以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴的坐标系，则C1(0,2,3)，M12，2，0，D(0,0,0)．设N(0,0，h)，服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学-选修2-1则MN→＝－12，－2，h，DC1→＝(0,2,3)，由MN→·DC1→＝－12，－2，h·(0,2,3)＝－4＋3h.∴当h＝43时，MN→·DC1→＝0，此时MN→⊥DC1→.∴存在N∈DD1，使MN⊥DC1.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学-选修2-1利用向量证明线面垂直如图3­2­11所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是B1B，DC的中点，求证：AE⊥平面A1D1F.图3­2­11服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学-选修2-1【思路探究】建立空间直角坐标系，得到有关向量的坐标，求出平面A1D1F的法向量，然后证明AE→与法向量共线．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学-选修2-1【证明】如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，E1，1，12，A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，F0，12，0，服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学-选修2-1∴AE→＝0，1，12，A1D1→＝(－1,0,0)，D1F→＝0，12，－1.设平面A1D1F的法向量n＝(x，y，z)，则n·A1D1→＝0，n·D1F→＝0，即－x＝0，12y－z＝0，解得x＝0，y＝2z.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学-选修2-1令z＝1，则n＝(0,2,1)．又AE→＝0，1，12，∴n＝2AE→.∴n∥AE→，即AE→⊥平面A1D1F.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学-选修2-11．坐标法证明线面垂直有两种思路：方法一：(1)建立空间直角坐标系；(2)将直线的方向向量用坐标表示；(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学-选修2-1方法二：(1)建立空间直角坐标系；(2)将直线的方向向量用坐标表示；(3)求出平面的法向量；(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行．2．使用坐标法证明时，如果平面的法向量很明显，可以用方法二，否则常常选用方法一解决．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学-选修2-1如图3­2­12，长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点，求证：直线PB1⊥平面PAC.图3­2­12服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学-选修2-1【证明】依题设，以D为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则C(1,0,0)，P(0,0,1)，A(0,1,0)，B1(1,1,2)，服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学-选修2-1于是CA→＝(－1,1,0)，CP→＝(－1,0,1)，PB1→＝(1,1,1)，∴CA→·PB1→＝(－1,1,0)·(1,1,1)＝0，CP→·PB1→＝(－1,0,1)·(1,1,1)＝0，故CP→⊥PB1→，CA→⊥PB1→，即PB1⊥CP，PB1⊥CA，又CP∩CA＝C，且CP⊂平面PAC，CA⊂平面PAC.故直线PB1⊥平面PAC.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学-选修2-1利用向量证明面面垂直如图3­2­13所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E为BB1的中点，证明：平面AEC1⊥平面AA1C1C.图3­2­13服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学-选修2-1【思路探究】要证明两个平面垂直，由两个平面垂直的条件，可证明这两个平面的法向量垂直，转化为求两个平面的法向量n1，n2，证明n1·n2＝0.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学-选修2-1【解】由题意得AB，BC，B1B两两垂直．以B为原点，BA，BC，BB1分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学-选修2-1A(2,0,0)，A1(2,0,1)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，E0，0，12，则AA1→＝(0,0,1)，AC→＝(－2,2,0)，AC1→＝(－2,2,1)，AE→＝－2,0，12.设平面AA1C1C的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)．则n1·AA1→＝0，n1·AC→＝0⇒z1＝0，－2x1＋2y1＝0.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学-选修2-1令x1＝1，得y1＝1.∴n1＝(1,1,0)．设平面AEC1的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)．则n2·AC1→＝0，n2·AE→＝0⇒－2x2＋2y2＋z2＝0，－2x2＋12z2＝0，令z2＝4，得x2＝1，y2＝－1.∴n2＝(1，－1,4)．∵n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0.∴n1⊥n2，∴平面AEC1⊥平面AA1C1C.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学-选修2-11．利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直．2．向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学-选