《大学物理2》 磁场习题课2

1大学物理习题讨论课第16章电磁场法拉第电磁感应定律动生电动势感生电动势自感和互感磁场的能量位移电流麦克斯韦方程组电磁波大学物理教研室：郑采星21.如图所示，在磁感应强度B=7.610-4T的均匀磁场中，放置一个线圈。此线圈由两个半径均为3.7cm且相互垂直的半圆构成，磁感应强度的方向与两半圆平面的夹角分别为620和280。若在4.510-3S的时间内磁场突然减至零，试问在此线圈内的感应电动势为多少？3解：由各种原因在回路中所引起的感应电动势，均可由法拉第电磁感应定律求解，即但在求解时应注意下列几个问题：1．回路必须是闭合的，所求得的电动势为回路的总电动势。2．应该是回路在任意时刻或任意位置处的磁通量。它由计算。对于均匀磁场则有其中SScos为闭会回路在垂直于磁场的平面内的投影面积。SSBttdddddSSBdcosdBSSBS4对于本题，2211coscosBSBSΦ1和2为两半圆形平面法线与B之间的夹角。3．感应电动势的方向可由-d/dt来判定，教材中已给出判定方法。为方便起见，所取回路的正向（顺时针或逆时针）应与穿过回路的B的方向满足右螺旋关系，此时恒为正值，这对符号确定较为有利。迎着B的方向，取逆时针为线圈回路的正向。由法拉第电磁感应定律，有，说明感应电动势方向与回路正向一致。0)coscos(dddd2211BSBStt)coscos(dd2211SStBVSStB422111091.4)coscos(52.如图所示，真空中一长直导线通有电流，式中为t时间，I0、为正常量；另一长为l1、宽为l2的矩形导线框与长直导线平行共面。设时刻t二者相距为a，矩形框正以速率v向右运动，求此时刻线框内的感应电动势。teItI0解:取线框面积的正法向垂直纸面向里，则通过线框的磁通量（由长直电流所提供）为其中a也是随时间变化的，而且da/dt=v，有d参考：习题16.10rlrtIrBllaalaad2)(d10122alaltI210ln2)(alatIalattIlt2210lndd)(lnd)(d2dd)(ln2)(22210laalalatIlvteItI0)(av1l2l6由法拉第电磁感应定律得显然，它是大于零的，表明感应电动势在线框内取顺时针方向，可以通过楞次定律进行验证。通常用法拉第电磁感应定律来计算闭合路径中的感应电动势，得出的是整个回路的总感应电动势，它可能是动生与感生电动势的总和。telaalalalnIlt)(2dd222010v)(ln2)(dd22210laalalatIltvteItI0)(av1l2l7lBd)(v动生)(2111211BBllBlBvvv)11(2)(2021alatIBBtealalI)(22200)(211BBlv动生tealallI)(222100vtealalnlI21002在中固定a，仅对t求导数得感生电动势alalnlI21002感生以顺时针为正方向telaalalalnIlt)(2dd222010vteItI0)(av1l2l1283.有两根相距为d的无限长平行直导线，它们通以大小相等流向相反的电流，且电流均以dI/dt的变化率增长。若有一边长为d的正方形线圈与两导线处于同一平面内，如图所示。求线圈中的感应电动势。解1：穿过面元dS的磁通量为SBSBSBdddd21xdxIxddxId2d)(200因此穿过线圈的磁通量为43ln2d2d)(2d02020IdxxIdxdxIdΦΦdddd再由法拉第电磁感应定律，有tIdtΦdd43ln2dd09解2:当两长直导线有电流I通过时，穿过线圈的磁通量为线圈与两长直导线间的互感为43ln20dIΦM当电流以dI/dt变化时，线圈中的互感电动势为tIdtIMdd43ln2dd04320InIdΦ104.如图所示，用一根硬导线弯成半径为r的一个半圆。使这根半圆形导线在磁感应强度为B的匀强磁场中以频率f旋转，整个电路的电阻为R，求感应电流的表达式和最大值。rGB解：由于磁场是均匀的，故任意时刻穿过回路的磁通量为cos)(0BSt其中Φ0等于常量，S为半圆面积，002ftt)2cos(21)(020ftrBt根据法拉第电磁感应定律，有)2sin(dd022ftfBrt因此回路中的感应电流为)2sin()(022ftRfBrRtI则感应电流的最大值为RfBrIm22115.长直导线与矩形单匝线圈共面放置，导线与线圈的长边平行，矩形线圈的边长分别为a、b，它到直导线的距离为c（如图），当矩形线圈中通有电流I=I0sint时，求直导线中的感应电动势。解:如果在直导线中通以稳恒电流I，在距离为r处产生的磁感应强度为B=0I/2r．在矩形线圈中取一面积元dS=bdr，通过线圈的磁通量为00ddln22acScIbrIbacBSrc互感系数为0ln2bacMIc当线圈中通以交变电流I=I0sint时，直导线中的感应电动势大小为tIMddtIccabcos)(In200M12=M21=MIbcaM=？参考：习题16.17126.如图所示，把一半径为R的半圆形导线OP置于磁感应强度为B的均匀磁场中，当导线以速率v水平向右平动时，求导线中感应电动势的大小，哪一端电势较高？BvRop解1：如图所示，假想半圆形导线OP在宽为2R的静止在“[”形导轨上滑动，两者之间形成一个闭合回路。设顺时针方向为回路正向，任一时刻端点O或端点P距“[”形导轨左侧距离为x，xv13BRRxΦ)212(2由于静止的“[”形导轨上的电动势为零，则式中负号表示电动势的方向为逆时针，对OP段来说瑞点P的电势较高。穿过该闭合回路的磁通量：vBRtxRBt2dd2ddBRv2BvRopxv14解2：建立如图所示的坐标系，在导体上任意处取导体元dl，则由矢量的指向可知，端点P的电势较高。dcosdcos90sind)(d0RBlBlBvvv)(BvBRvvBR/2/2-2dcosdBvRopxyoBvld15解3：连接OP使导线构成一个闭合回路。由于磁场是均匀的，在任意时刻，穿过回路的磁通量由法拉第电磁感应定律可知:又因即由上述结果可知，在均匀磁场中，任意闭合导体回路平动所产生的动生电动势为零；而任意曲线形导体上的动生电动势就等于其两端所连直线形导体上的动生电动势。半圆直线poopRvBpoop2半圆直线UpU0常数BStdd0BvopR167.电磁涡流制动器是一个电阻率为，厚度为b的圆盘，此盘绕通过其中心的垂直轴旋转，且有一覆盖小面积为a2的均匀磁场B垂直于圆盘，小面积离轴r（ra）．当圆盘角速度为时，试导出阻碍圆盘转动的磁力矩的近似表达式。raaBωb解:将圆盘与磁场相对的部分当成长、宽和高分别为a、a和b的小导体，其横截面积为S=ab，aabSI电流将从横截面中流过，小块长a，因此其电阻为babaSlR1宽为a的边扫过磁场，速度大小为v=r，产生的动生电动势为=Bav=Bar，通过小导体的电流强度为I=/R=Barb/，所受的安培力为F=IaB=B2a2rb/，方向与速度方向相反．产生的磁力矩为M=Fr=B2a2r2b/参考：习题16.5178.如图所示，一长为，质量为m的导体棒CD，其电阻为R，沿两条平行的导电轨道无摩擦地滑下，轨道的电阻可忽略不计，轨道与导体构成一闭合回路。轨道所在的平面与水平面成角，整个装置放在均匀磁场中，磁感应强度B的方向为竖直向上。求：（1）导体在下滑时速度随时间的变化规律；（2）导体棒CD的最大速度vm。参考：习题16.4感应电流所受安培力的方向？vBBvBlId18如图所示，导体棒在下滑过程中除受重力P和导轨支持力FN外，还受到一个与下滑速度有关的安培力FA，这个力是阻碍导体棒下滑的。根据安培定律，该力的大小为导体棒沿轨道方向的动力学方程为将式（l）代入式（2），并令则有分离变量并两边积分mRlBH222cos)1(22　　vcosRlBRBlBIlFA)2(ddcossin　　tmmaFmgAvtvvddsinHg19得由此得导体在t时刻的速度由上式可知，当t)1(222cos222cossintmRlBelBmgRvttHg00dsindvvvtHgHgsinvsinln1222cossinlBmgRmvv分离变量并两边积分tvvddsinHg此即为导体棒下滑的稳定速度，也是导体棒能够达到的最大速度，其v－t图线如图所示。1978年全国高考物理试题209.在半径为R的圆柱形空间中存在着均匀磁场，B的方向与柱的轴线平行。如图所示，有一长为l的金属棒放在磁场中，设B随时间的变化率为常量。试证：棒上感应电动势的大小为2222ddlRltBlEkdlELkdPQBoRl21证1：取闭合回路OPQ由法拉第电磁感应定律，有StBlESLkddOP、QO段，因为Ek（涡旋电场）的方向与径向垂直，与矢量点积为0。ld所以：PQ2222ddddddlRltBtBStPQBoRl22证2：在r＜R区域，感生电场强度的大小设PQ上线元dx处，Ek的方向如图所示，则金属杆PQ上的电动势为LLKKPQxExEEdcosdxrlRtBrld)2/(dd2220148PPQBoRlxoxdkEtBrEkd2drrlR22)2/(cos22)2/(2ddlRltB23D[]AB(A)电动势只在导线AB中产生。继续讨论:在圆柱空间内有一磁感应强度为B的均匀磁场，如图所示。B的大小以速度dB/dt变化。在磁场中有A、B两点，其间可放直导线AB和弯曲的导线AB，则（B）电动势只在AB导线中产生。（C）电动势在AB和AB中都产生，且两者的大小相等。（D）AB导线中的电动势小于AB导线中的电动势。24连接AO与OB分别与AB、AB组成闭合回路L。ABSLrStBlEdd包含AB的闭合回路L扇形面积S11dddSABrLrStBlElE包含AB的闭合回路L三角形面积S22dddSABrLrStBlElEB/t一致，且S1S2AB导线中的电动势小于AB线中的电动势。2510.两个线圈的自感分别为L1和L2，它们之间的互感为M．(1)将两个线圈顺串联，如图a所示，求1和4之间的互感；(2)将两线圈反串联，如图b所示，求1和3之间的自感．参考：习题16.191234(a)234(b)1解：两个线圈串联时，通以电流I之后，总磁场等于两个线圈分别产生的磁场的矢量和磁场的能量为：VHBWVmd21P157（16.16）21BBBVBBVBVBVVVdd2d2212221VBBILILVdcos212121222