2018届高三数学二轮复习三角函数及解三角形第1讲三角函数的图象与性质课件理

考情分析年份卷别题号考查内容命题规律2017Ⅰ9三角函数的诱导公式及图象变换高考对三角函数的图象的考查有:利用“五点法”作出图象、图象变换、由三角函数的部分图象确定三角函数的解析式.三角函数的性质是高考的一个重要考点,既有直接考查的客观题,也有综合考查的主观题,常通过三角变换将其转化为y=Asin(ωx+φ)的形式,再研究其性质(定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性).Ⅱ14三角函数的最值Ⅲ6余弦函数的图象和性质2016Ⅱ7三角函数图象的变换与性质Ⅲ14三角函数的图象变换2015Ⅰ8三角函数的图象与性质总纲目录考点一三角函数的定义、诱导公式及基本关系考点二三角函数的图象（高频考点）考点三三角函数的性质（高频考点）考点一三角函数的定义、诱导公式及基本关系1.三角函数:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则sinα=y,cosα=x,tanα= .各象限角的三角函数值的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦.yx2.同角关系:sin2α+cos2α=1, =tanα.sincosαα3.诱导公式:在 +α,k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变,符号看象限”.2k典型例题(1)(2017北京,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sinα= ,则cos(α-β)=.(2)已知sinα+2cosα=0,则2sinαcosα-cos2α的值是.答案(1)- (2)-11379解析(1)解法一:由已知得β=(2k+1)π-α(k∈Z).∵sinα= ,∴sinβ=sin[(2k+1)π-α]=sinα= (k∈Z).当cosα= = 时,cosβ=- ,∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ= × + × =- .当cosα=- =- 时,cosβ= ,131321sinα22322322322313137921sinα223223∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ= × + × =- .综上,cos(α-β)=- .解法二:由已知得β=(2k+1)π-α(k∈Z),22322313137979∴sinβ=sin[(2k+1)π-α]=sinα,cosβ=cos[(2k+1)π-α]=-cosα,k∈Z.当sinα= 时,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=-cos2α+sin2α=-(1-sin2α)+sin2α=2sin2α-1=2× -1=- .(2)由sinα+2cosα=0,得tanα=-2.所以2sinαcosα-cos2α= = = =-1.1319792222sincoscossincosααααα22tan1tan1αα4141方法归纳应用三角函数的概念和诱导公式应注意以下两点(1)当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决,机械地使用三角函数的定义就会出现错误.(2)应用诱导公式与同角关系开方运算时,一定要注意三角函数的符号;利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则,如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等.跟踪集训1.已知α为锐角,且2tan(π-α)-3cos +5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)=1,则sinα的值是 ()A. B. C. D. 2β3553773101013答案C由已知可得-2tanα+3sinβ+5=0,tanα-6sinβ=1,解得tanα=3,即 =3,又sin2α+cos2α=1,α为锐角,故sinα= .sincosαα310102.已知点P 落在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值为 ()A. B. C. D. 33sin,cos444345474答案Dtanθ= = =-1,又sin 0,cos 0,所以θ为第四象限角,因为θ∈[0,2π),所以θ= .3cos43sin4cos4sin4343474考点二三角函数的图象(高频考点)命题点1.由三角函数的图象特征求三角函数的解析式.2.三角函数图象的变换.3.用“五点法”作三角函数的图象.函数y=Asin(ωx+φ)的图象(1)“五点法”作图:设z=ωx+φ,分别令z=0, ,π, ,2π,求出相应x的值与相应y的值,描点、连线可得其图象.232(2)图象变换:y=sinx y=sin(x+φ) y=sin(ωx+φ) y=Asin(ωx+φ).3.用“五点法”作三角函数的图象.函数y=Asin(ωx+φ)的图象(1)“五点法”作图:设z=ωx+φ,分别令z=0, ,π, ,2π,求出相应x的值与相应y的值,描点、连线可得其图象.232(2)图象变换:y=sinx y=sin(x+φ) y=sin(ωx+φ) y=Asin(ωx+φ).典型例题(1)(2017天津,7,5分)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω0,|φ|π.若f =2,f =0,且f(x)的最小正周期大于2π,则 ()A.ω= ,φ= B.ω= ,φ=- C.ω= ,φ=- D.ω= ,φ= (2)(2017课标全国Ⅰ,9,5分)已知曲线C1:y=cosx,C2:y=sin ,则下面结论正确的是 ()A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 个单位长度,得到曲线C258118231223111213112413724223x6B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 个单位长度,得到曲线C2121261212解析(1)∵f =2,f =0,f(x)的最小正周期大于2π,∴ = - = ,得T=3π,则ω= = ,又f =2sin =2,∴sin =1.∴ +φ=2kπ+ ,k∈Z,∴φ=2kπ+ ,k∈Z.∵|φ|π,∴φ= ,故选A.(2)y=sin =cos =cos =cos ,由y=cosx的图象得到y=cos2x的图象,需将曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变;由y=cos2x的图象得到y=cos 的图象,需将y=cos2x的图象上的各点向左平移 个单位长度,故选D.581184T11858342T23582538φ512φ51221212223x2232x26x212x12212x答案(1)A(2)D方法归纳1.函数表达式y=Asin(ωx+φ)的确定方法已知函数y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)的图象求解析式时,常采用待定系数法,由图中的最高点、最低点或特殊点求A;由函数的周期确定ω;确定φ常根据“五点法”中的五个点求解,其中一般把第一个零点作为突破口,可以从图象的升降找准第一个零点的位置.2.三角函数图象平移问题处理策略(1)看平移要求:首先要看题目要求由哪个函数得到哪个函数,这是判断移动方向的关键点.(2)看移动方向:移动的方向一般记为“正向左,负向右”,看y=Asin(ωx+φ)中φ的正负和它的平移要求.(3)看移动单位:在函数y=Asin(ωx+φ)中,周期变换和相位变换都是沿x轴方向的,所以ω和φ之间有一定的关系,φ是初相,再经过ω的压缩,最后移动的单位是 .φω跟踪集训1.(2017云南11校跨区调研)函数f(x)=sinωx(ω0)的图象向左平移 个单位长度,所得到图象经过点 ,则ω的最小值是 ()A. B.2C.1D. 32,033212答案C依题意得,函数f =sin (ω0)的图象过点 ,于是有f =sin =sin(ωπ)=0(ω0),则ωπ=kπ,k∈Z,因此正数ω的最小值是1,故选C.3x3ωx2,03233233ω2.(2017贵阳检测)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A0,ω0,0φπ),其导数f'(x)的图象如图所示,则f 的值为 () A.2 B. C.- D.- 2222224答案D依题意得f'(x)=Aωcos(ωx+φ),结合函数y=f'(x)的图象可知,T= =4 =π,ω=2.又Aω=1,因此A= .因为0φπ,  +φ ,且f' =cos =-1,所以 +φ=π,φ= ,则f(x)= sin ,所以f = sin =- × =- ,故选D.2ω388123434743834φ3441224x2124122224考点三三角函数的性质(高频考点)命题点1.研究三角函数的单调性、奇偶性、周期性.2.求三角函数的单调区间及最值.3.利用三角函数的图象和性质研究方程根及参数的范围(值).1.三角函数的单调区间y=sinx的单调递增区间是 (k∈Z),单调递减区间是 (k∈Z);y=cosx的单调递增区间是[2kπ-π,2kπ](k∈Z),单调递减区间是[2kπ,2kπ+π](k∈Z);y=tanx的单调递增区间是 (k∈Z).2,222kk32,222kk,22kk2.三角函数的奇偶性与对称轴方程y=Asin(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数;当φ=kπ+ (k∈Z)时为偶函数;对称轴方程可由ωx+φ=kπ+ (k∈Z)求得.y=Acos(ωx+φ),当φ=kπ+ (k∈Z)时为奇函数;当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数;对称轴方程可由ωx+φ=kπ(k∈Z)求得.y=Atan(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数.222典型例题(1)(2017课标全国Ⅲ,6,5分)设函数f(x)=cos ,则下列结论错误的是 ()A.f(x)的一个周期为-2πB.y=f(x)的图象关于直线x= 对称C.f(x+π)的一个零点为x= D.f(x)在 单调递减(2)(2017贵州适应性考试)函数f(x)= cos2 - sinx- (x∈[0,π])的单调递增区间为 ()3x836,232x1232A. B. C. D. (3)(2017太原模拟试题)已知函数f(x)=sinωx- cosωx(ω0)在(0,π)上有且只有两个零点,则实数ω的取值范围为 ()A. B. C. D. 50,620,35,62,3340,347,33710,331013,33解析(1)f(x)的最小正周期为2π,易知A正确;f =cos =cos3π=-1,为f(x)的最小值,故B正确;∵f(x+π)=cos =-cos ,∴f =-cos =-cos =0,故C正确;由于f =cos =cosπ=-1,为f(x)的最小值,故f(x)在 上不单调,故D错误.(2)f(x)= cos2 - sinx- =  - sinx= cosx- sinx=cos ,由2kπ-π≤x+ ≤2kπ(k∈Z),得2kπ- ≤x≤2kπ- (k∈Z),又x∈[0,π],所以当k=1时,f(x)的单调递增区间为 ,故选C.838333x3x663