2018届高三数学最新复习课件：三角函数的图像与性质

§3.5三角函数的图像与性质考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考§3.5三角函数的图像与性质双基研习•面对高考双基研习•面对高考基础梳理1．周期函数一般地，对于函数y＝f(x)，如果存在一个______实数T，使得当x取定义域内的每一个值时，_______________都成立，那么就把函数y＝f(x)叫作周期函数，不为零的实数T叫作这个函数的周期．对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为________周期，今后提到的三角函数的周期，如未特别指明，一般都是指它的_____________．非零f(x＋T)＝f(x)最小正最小正周期思考感悟如果函数y＝f(x)的周期为T，那么函数y＝f(ωx)的周期是多少？2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质课前热身1．设函数f(x)＝cos(2x－π2)，x∈R，则f(x)是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为π2的奇函数D．最小正周期为π2的偶函数答案：A答案：B2．函数f(x)＝sinx－cosx的最大值为()A．1B.2C.3D．2答案：C3．M，N是曲线y＝πsinx与曲线y＝πcosx的两个不同的交点，则|MN|的最小值为()A．πB.2πC.3πD．2π4．(教材习题改编)y＝1＋cosx，x∈[0,2π]的图像与y＝0的交点的个数为________．答案：15．(原创题)函数y＝|tanx|的单调增区间是________．解析：画出函数y＝|tanx|的图像如下图，易知其单调增区间为：[kπ，kπ＋π2)，k∈Z.答案：[kπ，kπ＋π2)，k∈Z考点探究•挑战高考考点突破三角函数的定义域求三角函数的定义域时，转化为三角不等式组求解，常常借助于三角函数的图像和周期解决，求交集时可以利用单位圆，对于周期相同的可以先求交集再加周期的整数倍即可．【思路点拨】先列出使函数有意义的不等式(组)，再结合函数的图像或三角函数线求解．求下列函数的定义域：(1)y＝－2cos2x＋3cosx－1＋lg(36－x2)；(2)y＝lg2sinx－1＋－tanx－1cosx2＋π8.例1【解】(1)由题意，得－2cos2x＋3cosx－1≥0，36－x20.即2cosx－1cosx－1≤0，－6x6.也即cosx≥12，－6x6.解得－π3＋2kπ≤x≤π3＋2kπk∈Z，－6x6.取k＝－1,0,1，可分别得到x∈(－6，－5π3]或x∈[－π3，π3]或x∈[5π3，6)．即所求的定义域为(－6，－5π3]∪[－π3，π3]∪[5π3，6)．(2)由题意，知2sinx－10，－tanx－1≥0，cosx2＋π8≠0，即sinx12，tanx≤－1，x2＋π8≠kπ＋π2k∈Z.可利用单位圆中的三角函数线直观地求得不等式组的解集，如图所示，有2kπ＋π6x2kπ＋5π6k∈Z，kπ－π2x≤kπ－π4k∈Z，x≠2kπ＋3π4k∈Z.∴该函数的定义域为{x|2kπ＋π2x2kπ＋3π4，k∈Z}．【方法小结】(1)三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提．(2)三角函数的定义域要求同其他函数中对自变量的限制一样，另外y＝tanx中x≠kπ＋π2，k∈Z.(3)求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图像来求解．1．三角函数属于初等函数，因而前面学过的求函数值域的一般方法，也适用于三角函数，但涉及正弦、余弦函数的值域时，应注意正弦、余弦函数的有界性，即|sinx|≤1，|cosx|≤1对值域的影响．2．解答此类题目首先应进行三角恒等变形，将函数式化为只含一个三角函数式的形式，再根据定义域求解．三角函数的值域和最值【思路点拨】先将原函数式进行恒等变形，再化为一个角的三角函数或利用|sinx|≤1，|cosx|≤1等求解．(1)求函数y＝sin2x＋sinx－1的值域；(2)若π4xπ2，求函数y＝tan2xtan3x的最大值；(3)求函数f(x)＝sin2x－2sin2x的最大值及f(x)取最大值时x的集合．例2【解】(1)令t＝sinx，则t∈[－1,1]，y＝t2＋t－1＝(t＋12)2－54，t∈[－1,1]，∴y∈[－54，1]．(2)y＝tan2x·tan3x＝2tan4x1－tan2x＝21tan4x－1tan2x＝21tan2x－122－14，∵π4xπ2，∴tanx1,01tan2x1，－121tan2x－1212.∴0≤(1tan2x－12)214，－14≤(1tan2x－12)2－140.∴当(1tan2x－12)2－14＝－14，即tanx＝2时，ymax＝－8.(3)∵f(x)＝sin2x－(1－cos2x)＝2sin(2x＋π4)－1，∴当2x＋π4＝2kπ＋π2，即x＝kπ＋π8(k∈Z)时，f(x)取得最大值2－1.∴f(x)取最大值时x的集合为{x|x＝kπ＋π8，k∈Z}．【规律小结】求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法：(1)利用sinx、cosx的值域；(2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出y＝Asin(ωx＋φ)的值域；(3)换元法：把sinx、cosx看作一个整体，可化为二次函数．互动探究1若将例2(1)、(3)中的x∈R改为x∈[π6，π3]，结果如何？解：(1)当x∈[π6，π3]时，t∈[12，32]，此时y∈[－14，23－14]．(3)当x∈[π6，π3]时，2x＋π4∈[7π12，11π12]，此时当2x＋π4＝7π12，即x＝π6时，f(x)取得最大值为3－12.∴fx)取得最大值时x的集合为{π6}．三角函数的单调性函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx＋φ看做一个整体，比如：由2kπ－π2≤ωx＋φ≤2kπ＋π2(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为增区间；由2kπ＋π2≤ωx＋φ≤2kπ＋32π(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为减区间．【思路点拨】利用复合函数的单调性规律“同增异减”求解．求下列函数的单调递增区间：(1)y＝sin(－32x＋π4)；(2)y＝1－2cos(π3－x)；(3)y＝sin2x＋sinx.例3【解】(1)该函数的定义域为R.令t＝－32x＋π4，则y＝sint.因为t是x的一次减函数，故应取y＝sint的减区间才符合要求．由单调性可知，2kπ＋π2≤t≤2kπ＋3π2(k∈Z)，即2kπ＋π2≤－32x＋π4≤2kπ＋3π2(k∈Z)．∴－4kπ3－5π6≤x≤－4kπ3－π6，k∈Z.∴y＝sin(－32x＋π4)的单调递增区间是[－4kπ3－5π6，－4kπ3－π6](k∈Z)．(2)该函数的定义域为R，y＝f(x)＝1－2cos(π3－x)＝1－2cos(x－π3)，所以f(x)的单调增区间恰为g(x)＝2cos(x－π3)的单调减区间，而g(x)的单调减区间为[2kπ＋π3，2kπ＋43π](k∈Z)，所以原函数的单调增区间为[2kπ＋π3，2kπ＋43π](k∈Z)．(3)该函数的定义域为R.令u＝sinx，则y＝u2＋u，u∈[－1,1]，而y＝u2＋u＝(u＋12)2－14开口向上，对称轴为u＝－12.故当－12≤u≤1时，y＝u2＋u是增函数，所求x的范围应使u＝sinx是增函数且满足条件－12≤sinx≤1，则2kπ－π6≤x≤2kπ＋π2(k∈Z)；当－1≤u≤－12时，y＝u2＋u是减函数，所求x的范围应使u＝sinx是减函数且满足条件－1≤sinx≤－12，【误区警示】(1)单调区间是定义域的子区间，因而应先求定义域．(2)正确分析复合函数的复合情况是解题关键也是易错点．则2kπ＋7π6≤x≤2kπ＋3π2(k∈Z)．综上所述，函数y＝sin2x＋sinx的单调递增区间是[2kπ－π6，2kπ＋π2]和[2kπ＋7π6，2kπ＋3π2]，k∈Z.三角函数的周期性和对称性1．y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.2．正、余弦函数的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形，正切函数的图像只是中心对称图形，应熟记他们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用．(1)(2010年高考陕西卷)函数f(x)＝2sinxcosx是()A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为2π的偶函数C．最小正周期为π的奇函数D．最小正周期为π偶函数例4(2)(2009年高考全国卷Ⅰ)如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图像关于点(4π3，0)中心对称，那么|φ|的最小值为()A.π6B.π4C.π3D.π2【思路点拨】(1)化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)后再判断；(2)余弦函数的对称中心是(kπ＋π2，0)(k∈Z)，由此来求|φ|的最小值．【解析】(1)f(x)＝2sinxcosx＝sin2x是奇函数，T＝2π2＝π，因此f(x)是最小正周期为π的奇函数．(2)∵y＝3cos(2x＋φ)的图像关于点(4π3，0)中心对称，∴3cos(2×4π3＋φ)＝0.∴8π3＋φ＝π2＋kπ，k∈Z.∴φ＝－13π6＋kπ，k∈Z.∴当k＝2时，|φ|有最小值π6.【答案】(1)C(2)A【名师点评】形如y＝f(ωx＋φ)的三角函数在求解单调区间、周期、最值、对称性等问题时，往往把ωx＋φ看作一个整体．变式训练2(1)函数y＝12sin2x的最小正周期T＝________.(2)(2009年高考江西卷)函数f(x)＝(1＋3tanx)cosx的最小正周期为()A．2πB.3π2C．πD.π2解析：(1)函数y＝sinωx的最小正周期T＝2π|ω|，所以函数y＝12sin2x的最小正周期T＝2π2＝π.故填π.(2)选A.依题意得f(x)＝cosx＋3sinx＝2sin(x＋π6)，因此其最小正周期是2π，故选A.答案：(1)π(2)A方法技巧1．利用函数的有界性(－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1)，求三角函数的值域(最值)．(如例2(1)、(3))2．利用函数的单调性求函数的值域或最值．(如例2(2))3．利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x系数的正负号)．(如例3)方法感悟4．正、余弦函数的线性关系式都可以转化为f(x)＝Asinx＋Bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)，特别注意把sinα±3cosα，3sinα±cosα转化为y＝2sin(α＋φ)形式时，φ为特殊角．5．三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提，求三角函数的定义域，事实上就是解最简单的三角不等式(组)．通常可用三角函数的图像或三角函数线来求解．注意数形结合思想的应用．(如例1)6．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)为奇函数的充要条件为φ＝kπ，k∈Z；为偶函数的充要条件为φ＝kπ＋π2，k∈Z.函数y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω≠0)为奇函数的充要条件为φ＝kπ＋π2，k∈Z；为偶函数的充要条件为φ＝kπ，k∈Z.函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω≠0)为奇函数的充要条件为φ＝kπ2，k∈Z；它不可能是偶函数．(如例4)1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域的基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y＝Asin(ωx＋φ)(ω0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x所在的区间．应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内考虑．注意区分下列两题的单调增区间不同：失误防范(1)y＝sin(2x－π4)；(2)y＝sin(π4－2x)．3．利用换元法求三角函数最值时，注意三角函数的有界性，注意新元的范围．考情分析考向瞭望•把脉高考三角函数的性质是每年高考必考的知识点之一，考查重点是