【高考数学冲刺】2012新题分类汇编：三角函数(高考真题+模拟新题)

第1页共77页课标理数10.C1[2011·江西卷]如图1，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周．点M，N在大圆内所绘出的图形大致是()图1图2课标理数10.C1[2011·江西卷]A【解析】如图，建立直角坐标系，由题意可知，小圆O1总与大圆O相内切，且小圆O1总经过大圆的圆心O.设某时刻两圆相切于点A，此时动点M所处位置为点M′，则大圆圆弧AM与小圆圆弧AM′相等．以切点A在劣弧MB上运动为例，记直线OM与此时小圆O1的交点为M1，记∠AOM＝θ，则∠OM1O1＝∠M1OO1＝θ，故∠M1O1A＝∠M1OO1＋∠OM1O1＝2θ.大圆圆弧AM的长为l1＝θ×1＝θ，小圆圆弧AM1的长为l2＝2θ×12＝θ，即l1＝l2，∴小圆的两段圆弧AM′与AM1的长相等，故点M1与点M′重合，即动点M在线段MO上运动，同理可知，此时点N在线段OB上运动．点A在其他象限类似可得，M、N的轨迹为相互垂直的线段．观察各选项，只有选项A符合．故选A.课标文数14.C1[2011·江西卷]已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－255，则y＝________.课标文数14.C1[2011·江西卷]－8【解析】r＝x2＋y2＝16＋y2，∵sinθ＝－255，∴sinθ＝yr＝y16＋y2＝－255，解得y＝－8.课标理数5.C1，C6[2011·课标全国卷]已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝()A．－45B．－35C.35D.45课标理数5.C1，C6[2011·课标全国卷]B【解析】解法1：在角θ终边上任取一点P(a,2a)(a≠0)，则r2＝||OP2＝a2＋(2a)2＝5a2，∴cos2θ＝a25a2＝15，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝25－1＝－35.第2页共77页解法2：tanθ＝2aa＝2，cos2θ＝cos2θ－sin2θcos2θ＋sin2θ＝1－tan2θ1＋tan2θ＝－35.课标文数7.C1，C6[2011·课标全国卷]已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝()A．－45B．－35C.35D.45课标文数7.C1，C6[2011·课标全国卷]B【解析】解法1：在角θ终边上任取一点P(a,2a)(a≠0)，则r2＝||OP2＝a2＋(2a)2＝5a2，∴cos2θ＝a25a2＝15，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝25－1＝－35.解法2：tanθ＝2aa＝2，cos2θ＝cos2θ－sin2θcos2θ＋sin2θ＝1－tan2θ1＋tan2θ＝－35.第3页共77页大纲文数14.C2[2011·全国卷]已知α∈π，3π2，tanα＝2，则cosα＝________.大纲文数14.C2[2011·全国卷]－55【解析】∵tanα＝2，∴sinα＝2cosα，代入sin2α＋cos2α＝1得cos2α＝15，又α∈π，3π2，∴cosα＝－55.课标文数9.C2，C6[2011·福建卷]若α∈0，π2，且sin2α＋cos2α＝14，则tanα的值等于()A.22B.33C.2D.3课标文数9.C2，C6[2011·福建卷]D【解析】因为sin2α＋cos2α＝sin2α＋1－2sin2α＝1－sin2α＝cos2α，∴cos2α＝14，sin2α＝1－cos2α＝34，∵α∈0，π2，∴cosα＝12，sinα＝32，tanα＝sinαcosα＝3，故选D.大纲文数12.C2[2011·重庆卷]若cosα＝－35，且α∈π，3π2，则tanα＝________.大纲文数12.C2[2011·重庆卷]43【解析】∵cosα＝－35，且α∈π，3π2，∴sinα＝－1－cos2α＝－45，∴tanα＝sinαcosα＝43.第4页共77页课标理数15.C3，C5[2011·北京卷]已知函数f(x)＝4cosxsinx＋π6－1.(1)求f(x)的最小正周期；[来源:Z,xx,k.Com](2)求f(x)在区间－π6，π4上的最大值和最小值．课标理数15.C3，C5[2011·北京卷]【解答】(1)因为f(x)＝4cosxsinx＋π6－1＝4cosx32sinx＋12cosx－1＝3sin2x＋2cos2x－1＝3sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π6，所以f(x)的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x≤π4，所以－π6≤2x＋π6≤2π3.于是，当2x＋π6＝π2，即x＝π6时，f(x)取得最大值2；当2x＋π6＝－π6，即x＝－π6时，f(x)取得最小值－1.课标文数15.C3，C5[2011·北京卷]已知函数f(x)＝4cosxsinx＋π6－1.(1)求f(x)的最小正周期；[来源:学科网ZXXK](2)求f(x)在区间－π6，π4上的最大值和最小值．课标文数15.C3，C5[2011·北京卷]【解答】(1)因为f(x)＝4cosxsinx＋π6－1＝4cosx32sinx＋12cosx－1＝3sin2x＋2cos2x－1＝3sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π6.所以f(x)的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x≤π4，所以－π6≤2x＋π6≤2π3.于是，当2x＋π6＝π2，即x＝π6时，f(x)取得最大值2；当2x＋π6＝－π6，即x＝－π6时，f(x)取得最小值－1.课标理数3.C2，C6[2011·福建卷]若tanα＝3，则sin2αcos2α的值等于()A．2B．3C．4D．6课标理数3.C2，C6[2011·福建卷]D【解析】因为sin2αcos2α＝2sinαcosαcos2α＝2sinαcosα＝2tanα＝6，故选D.课标理数11.C4，C5[2011·课标全国卷]设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则()第5页共77页A．f(x)在0，π2单调递减B．f(x)在π4，3π4单调递减C．f(x)在0，π2单调递增D．f(x)在π4，3π4单调递增课标理数11.C4，C5[2011·课标全国卷]A【解析】原式可化简为f(x)＝2sinωx＋φ＋π4，因为f(x)的最小正周期T＝2πω＝π，所以ω＝2.所以f(x)＝2sin2x＋φ＋π4，又因为f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，所以f(x)＝2sin2x＋φ＋π4＝±2cos2x，所以φ＋π4＝π2＋kπ，k∈Z，所以φ＝π4＋kπ，k∈Z，又因为||φπ2，所以φ＝π4.所以f(x)＝2sin2x＋π2＝2cos2x，所以f(x)＝2cos2x在区间0，π2上单调递减．课标文数12.C3[2011·辽宁卷]已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)ω＞0，|φ|＜π2，y＝f(x)的部分图象如图1－7，则fπ24＝()第6页共77页图1－7A．2＋3B.3C.33D．2－3课标文数12.C3[2011·辽宁卷]B【解析】由图象知πω＝2×3π8－π8＝π2，ω＝2.又由于2×π8＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，φ＝kπ＋π4(k∈Z)，又|φ|π2，所以φ＝π4.这时f(x)＝Atan2x＋π4.又图象过(0,1)，代入得A＝1，故f(x)＝tan2x＋π4.所以fπ24＝tan2×π24＋π4＝3，故选B.第7页共77页课标文数15.C4[2011·安徽卷]设f(x)＝asin2x＋bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0.若f(x)≤fπ6对一切x∈R恒成立，则①f11π12＝0；②f7π10fπ5；[来源:学_科_网]③f(x)既不是奇函数也不是偶函数；④f(x)的单调递增区间是kπ＋π6，kπ＋2π3(k∈Z)．⑤存在经过点(a，b)的直线与函数f(x)的图像不相交．以上结论正确的是________(写出所有正确结论的编号)．课标文数15.C4[2011·安徽卷]【答案】①③【解析】f(x)＝asin2x＋bcos2x＝a2＋b2sin(2x＋φ)sinφ＝ba2＋b2，cosφ＝aa2＋b2，因为对一切x∈R时，f(x)≤fπ6恒成立，所以sinπ3＋φ＝±1.故φ＝2kπ＋π6或φ＝2kπ－5π6()k∈Z.故f(x)＝a2＋b2sin2x＋π6，或f(x)＝－a2＋b2sin2x＋π6.对于①，f11π12＝a2＋b2sin2π＝0，或f11π12＝－a2＋b2sin2π＝0，故①正确；对于②，f7π10＝a2＋b2sin7π5＋π6＝a2＋b2sin47π30＝a2＋b2sin17π30，fπ5＝a2＋b2sin2π5＋π6＝a2＋b2sin17π30＝a2＋b2sin17π30.所以f7π10＝fπ5，故②错误；对于③，由解析式f(x)＝a2＋b2sin2x＋π6，或f(x)＝－a2＋b2sin2x＋π6知其既不是奇函数也不是偶函数，故③正确；对于④，当f(x)＝a2＋b2sin2x＋π6时，kπ＋π6，kπ＋2π3(k∈Z)是f(x)的单调递减区间，故④错误；对于⑤，要使经过点(a，b)的直线与函数f(x)的图像不相交，则此直线须与横轴平行，且|b|a2＋b2，此时平方得b2a2＋b2，这不可能，矛盾，故不存在过点(a，b)的直线与函数f(x)的图像不相交．故⑤错．课标理数9.C4[2011·安徽卷]已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤fπ6对x∈R恒成立，且fπ2f(π)，则f(x)的单调递增区间是()A.kπ－π3，kπ＋π6(k∈Z)B.kπ，kπ＋π2(k∈Z)C.kπ＋π6，kπ＋2π3(k∈Z)D.kπ－π2，kπ(k∈Z)第8页共77页课标理数9.C4[2011·安徽卷]C【解析】对x∈R时，f(x)≤fπ6恒成立，所以fπ6＝sinπ3＋φ＝±1，可得φ＝2kπ＋π6或φ＝2kπ－5π6，k∈Z.因为fπ2＝sin(π＋φ)＝－sinφf(π)＝sin(2π＋φ)＝sinφ，故sinφ0.所以φ＝2kπ－5π6，所以f(x)＝sin2x－5π6.由－π2＋2kπ≤2x－5π6≤π2＋2kπ，得函数f(x)的单调递增区间为kπ＋π6，kπ＋2π3(k∈Z)，答案为C.大纲理数5.C4[2011·全国卷]设函数f(x)＝cosωx(ω0)，将y＝f(x)的图像向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于()A.13B．3[来源:学|科|网]C．6D．9大纲理数5.C4[2011·全国卷]C【解析】将y＝f(x)的图像向右平移π3个单位长度后得到的图像与原图像重合，则π3＝2πωk，k∈Z，得ω＝6k，k∈Z，又ω＞0，则ω的最小值等于6，故选C.大纲文数7.C4[2011·全国卷]设函数f(x)＝cosωx(ω0)，将y＝f(x)的图像向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于()A.13B．3C．6D．9大纲文数7.C4[2011·全国卷]C【解析】将y＝f(x)的图像向右平移π3个单位长度后得到的图像与原图像重合，则π3＝2πωk，