【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习 第5章 第5节 数列的综合应用课件 理 苏教版

固基础·自主落实提知能·典例探究课后限时自测启智慧·高考研析第五节数列的综合应用考纲传真内容要求ABC数列的概念√等差数列√等比数列√1．解答数列应用题的步骤(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意．(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征．(3)求解——求出该问题的数学解．(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中．具体解题步骤用框图表示如下：2．数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an＋1的递推关系，还是前n项和Sn与Sn＋1之间的递推关系．1．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列{an}的通项公式an＝n2－2an＋1，若数列{an}是递增数列，则a≤1.()(2)数列{an}是正项等比数列，bn＝logaan(a0且a≠1)，则数列{bn}是等差数列．()(3)某厂生产总值月平均增长率为q，则年平均增长率为12q.()(4)采用单利计息与复利计算的利息都一样．()[解析](1)an＝n2－2an＋1看作n的二次函数，对称轴为n＝a，当a32时，都有an＋1an，故(1)错误．(2)bn＋1－bn＝logaan＋1－logaan＝logaan＋1an＝logaq，故(2)正确．(3)月平均增长率为q，则年平均增长率为(1＋q)12－1，故(3)错误．(4)单利息公式是等差数列模型，复利息公式是等比数列模型，即单利息只有本金产生利息，而复利息除本金产生利息外，利息在以后的周期中也产生利息，故(4)错误．[答案](1)×(2)√(3)×(4)×2．(教材改编)有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要________秒钟．[解析]设至少需要n秒钟，则1＋21＋22＋…＋2n－1≥100，∴1－2n1－2≥100，∴n≥7.[答案]73．(2014·江苏灌云期中)等差数列{an}中，公差d≠0，且2a3－a27＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________.[解析]在等差数列中，由2a3－a27＋2a11＝0，得2(a3＋a11)－a27＝0,4a7－a27＝0，则a7＝0，a7＝4，又因{bn}是等比数列，且b7＝a7，则a7＝0(舍)，a7＝4，又由b7＝a7＝4，得b6b8＝b27＝16.[答案]164．(2013·江西高考)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________．[解析]每天植树的棵树构成以2为首项，2为公比的等比数列，前n项和Sn＝a11－qn1－q＝21－2n1－2＝2n＋1－2.由2n＋1－2≥100，得2n＋1≥102.由于26＝64,27＝128，则n＋1≥7，即n≥6.[答案]65．(2014·扬州模拟)已知等差数列{an}，对于函数f(x)＝x3＋x满足f(a2－2)＝6，f(a100－4)＝－6，若Sn是数列{an}的前n项和，则S101＝________.[解析]f(x)＝x3＋x在R上是奇函数，且单调递增，依题设，f(a2－2)＝－f(a100－4)，∴a2－2＝4－a100，则a2＋a100＝6.因此S101＝101a1＋a1012＝101a2＋a1002＝303.[答案]303考向1等差与等比数列的综合应用【典例1】(2014·启东期中检测)已知数列{an}的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列．数列{an}的前n项和为Sn，且满足S3＝a4，a3＋a5＝2＋a4.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{an}的前2k项和S2k；(3)在数列{an}中，是否存在连续的三项am，am＋1，am＋2，按原来的顺序成等差数列？若存在，求出所有满足条件的正整数m的值；若不存在，说明理由．[解](1)设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则a1＝1，a2＝2，a3＝1＋d，a4＝2q，a5＝1＋2d.∵S3＝a4，∴1＋2＋1＋d＝2q，则4＋d＝2q.又a3＋a5＝2＋a4，(1＋d)＋(1＋2d)＝2＋2q，即3d＝2q，解得d＝2，q＝3.∴对于k∈N*，有a2k－1＝1＋(k－1)·2＝2k－1，a2k＝2·3k－1.故an＝n，n＝2k－1，2·3n2－1，n＝2k，k∈N*.(2)S2k＝1＋2k－1k2＋21－3k1－3＝k2－1＋3k.(3)在数列{an}中，仅存在连续的三项a1，a2，a3，按原来的顺序成等差数列，此时正整数m的值为1，下面说明理由．若am＝a2k，则由am＋am＋2＝2am＋1，得2·3k－1＋2·3k＝2(2k＋1)，化简得4·3k－1＝2k＋1，此式左边为偶数，右边为奇数，不可能成立．若am＝a2k－1，则由am＋am＋2＝2am＋1，得(2k－1)＋(2k＋1)＝2·2·3k－1，化简得k＝3k－1，令Tk＝k3k－1(k∈N*)，则Tk＋1－Tk＝k＋13k－k3k－1＝1－2k3k0.因此，1＝T1T2T3…，故只有T1＝1，此时k＝1，m＝2×1－1＝1.综上，在数列{an}中，仅存在连续的三项a1，a2，a3，按原来的顺序成等差数列，此时正整数m的值为1.【规律方法】对于等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比的通项，前n项和，以及等差、等比数列项之间的关系，利用性质简化运算．【变式训练1】(2014·邳州调研)设数列{an}的前n项和为Sn，满足an＋Sn＝An2＋Bn＋1(A≠0)．(1)若a1＝32，a2＝94，求证：数列{an－n}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；(2)已知数列{an}是等差数列，求B－1A的值．[解](1)分别令n＝1,2，代入条件得2a1＝A＋B＋1，2a2＋a1＝4A＋2B＋1.又a1＝32，a2＝94，解得A＝12，B＝32.∴an＋Sn＝12n2＋32n＋1，①∴an＋1＋Sn＋1＝12(n＋1)2＋32(n＋1)＋1.②②－①，得2an＋1－an＝n＋2，则an＋1－(n＋1)＝12(an－n)．∵a1－1＝12≠0，∴数列{an－n}是首项为12，公比12的等比数列．an－n＝12n，则an＝n＋12n.(2)数列{an}是等差数列，可设an＝dn＋c.则Sn＝nd＋c＋dn＋c2＝d2n2＋c＋d2n.∴an＋Sn＝d2n2＋c＋3d2n＋c.则A＝d2，B＝c＋3d2，c＝1.∴B－1A＝3.考向2等差与等比数列的实际应用【典例2】从社会效益和经济效益出发，某旅游县区计划投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，2015年投入800万元，以后每年投入将比上年减少15，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14.(1)设n年内(2015年为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an，bn的表达式；(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？[解](1)第1年投入为800万元，第2年投入为800×1－15万元，…，第n年投入为800×1－15n－1万元，所以，n年内的总投入为an＝800＋800×1－15＋…＋800×1－15n－1＝4000×1－45n.第1年旅游业收入400万元，第2年旅游业收入400×1＋14万元，…，第n年旅游业收入400×1＋14n－1万元，所以，n年内的旅游业总收入为bn＝400＋400×1＋14＋…＋400×1＋14n－1＝1600×54n－1.(2)设经过n年，总收入超过总投入，由此bn－an＞0，即1600×54n－1－4000×1－45n＞0，令x＝45n，代入上式得5x2－7x＋2＞0，解此不等式，得x＜25，或x＞1(舍去)，即45n＜25，由此得n≥5.答：至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入．【规律方法】1．解答本题时，理解题意是关键，其中an，bn是等比数列的前n项和，而非第n项．2．数列应用问题的核心是建立数学模型，往往从给出的初始条件入手，推出若干项，逐步探索数列通项或前n项和或前后两项的递推关系，从而建立等比数列模型．3．与等比数列联系密切的是“增长率”、“递减率”的概念，在经济上多涉及利润、成本、效益的增减问题等．【变式训练2】(2014·徐州调研)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元．(1)用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式；(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)．[解](1)由题意a1＝2000(1＋50%)－d＝3000－d，a2＝a1(1＋50%)－d＝32a1－d＝4500－52d.an＋1＝an(1＋50%)－d＝32an－d.(2)由an＋1＝32an－d，得an＋1－2d＝32(an－2d)，∴{an－2d}是公比为32的等比数列，则an－2d＝(3000－3d)·32n－1，∴an＝(3000－3d)·32n－1＋2d，又am＝4000，∴32m－1(3000－3d)＋2d＝4000，解得d＝32m－2×100032m－1＝10003m－2m＋13m－2m.故该企业每年上缴资金d的值为10003m－2m＋13m－2m时，经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4000万元．考向3数列与函数、不等式的综合应用(高频考点)命题视角数列在高考中多与函数、不等式、解析几何、向量交汇命题，近年由于对数列要求降低，但仍有一些省份在考查数列与其他知识的交汇．归纳起来常见的命题角度有：(1)数列与不等式的交汇；(2)数列与函数的交汇；(3)数列与解析几何的交汇．【典例3】(2014·南京、盐城调研)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2，S6＝22.(1)求Sn；(2)若从{an}中抽取一个公比为q的等比数列{akn}，其中k1＝1，且k1k2…kn…，kn∈N*.①当q取最小值时，求{kn}的通项公式；②若关于n(n∈N*)的不等式6Snkn＋1有解，试求q的值．[思路点拨](1)求出d进而求Sn；(2)令k2＝2,3,4逐一检验，得到q的最小值并求出{kn}的通项公式．[解](1)设等差数列的公差为d，则S6＝6a1＋12·6·5d＝22，解得d＝23，∴Sn＝nn＋53.(2)①∵数列{an}是正项递增等差数列，∴数列{akn}的公比q1，若k2＝2，则由a2＝83，得q＝a2a1＝43，此时ak3＝2·432＝329，由329＝23(n＋2)，解得n＝103∉N*，∴k22，同理k23；若k2＝4，则由a4＝4，得q＝2，此时akn＝2·2n－1，另一方面，akn＝23(kn＋2)，∴23(kn＋2