必修五数列知识点求通项求和方法

学大教育关注成长每一天数列知识点总结一、数列的定义：（1）按一定次序排成的一列数(2)数列可以看作是项数n的函数f(n)=an,其定义域为正整数集或它的子集。二、数列的分类：1、按项数分类：有穷数列无穷数列2、按增减性分类：递增数列——对于任何nN+，具有1anna递减数列——对于任何nN+，具有1anna摆动数列常数数列3、按是否有界分类：有界数列——MN+，使naM无界数列——MN+，总有naM三、数列的表示法1、解析法（公式法）通项公式或递推公式2、列表法：3、图象法:数列可用一群孤立的点表示四、通项公式五、数列的前n项和六、递推公式七、等差数列与等比数列等差数列等比数列定义1na-na=dnnaa1=q(q0)通项公式na=1a+（n-1）dna=1a1nq(q0)递推公式na=1na+d,na=ma+(n-m)dna=1naqna=mamnq中项A=2ba推广：A=2aknkna（n,kN+;nk0）abG2。推广：G=knknaa（n,kN+;nk0）。任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个前n项和nS=2n（1a+na）nS=n1a+2)1(nndnS=qqan11()1nS=qqaan11性质（1）若mnpq，则mnpqaaaa；（2）数列12212,,nnnaaa仍为等差数列，232nnnnnSSSSS，，……仍为等差数列，公差为dn2；（3）若三个成等差数列，可设为adaad，，（4）若nnab，是等差数列，且前n项和分别为nnST，，则2121mmmmaSbT（5）na为等差数列2nSanbn（ab，为常数，是关于n的常数项为0的二次函数）（6）d=nmanma(mn)(7)d0递增数列d0递减数列d=0常数数列（1）若mnpq，则mnpqaaaa··（2）232nnnnnSSSSS，，……仍为等比数列,公比为nq学大教育关注成长每一天八、判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：1、数列是不是等差数列有以下三种方法：①),2(1为常数dndaann②211nnnaaa(2n)③bknan(kn,为常数).2、数列是不是等比数列有以下四种方法：①)0,,2(1且为常数qnqaann②112nnnaaa(2n，011nnnaaa)①③nncqa(qc,为非零常数).④正数列{na}成等比的充要条件是数列{nxalog}（1x）成等比数列.学大教育关注成长每一天数列通项公式求法一、公式法2,1,11nSSnsannn例1：已知下列两数列}{na的前n项和sn的公式，求}{na的通项公式.（1）13nnSn.（2）12nsn二、累加法)(1nfaann例2已知数列{}na满足11211nnaana，，求数列{}na的通项公式。三、累乘法1na=f(n)·na例3已知数列{}na满足112(1)53nnnanaa，，求数列{}na的通项公式。四、构造特殊数列法1、0(,1cdcaann）例4：已知数列}{na的递推关系为121nnaa，且11a求通项na2、srapaannn11例5：已知数列｛na｝中11a且11nnnaaa（Nn），，求数列的通项公式.3、nnnqpaa1例6：已知数列{}na满足1232nnnaa，12a，求数列{}na的通项公式。五、待定系数法例7：设数列}{nc的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c1=2，c2=4，c3=7，c4=12，求通项公式cn学大教育关注成长每一天数列求和一、错位相减法方法简介：此法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.[例8]求和：132)12(7531nnxnxxxS………………………①(1x)二、分组求和法方法简介：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通项公式②由通项公式确定如何分组；[例9]求数列的前n项和：231,,71,41,1112naaan三、裂项求和方法简介：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项及分母有理化）[例10]等比数列{an}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求数列{}的前n项和．学大教育关注成长每一天答案例1答案：（1）na=3232nn，（2）)2(12)1(0nnnan点评：先分n=1和2n两种情况，然后验证能否统一.例2解：由121nnaan得121nnaan则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnn例3解：因为112(1)53nnnanaa，，所以0na，则12(1)5nnnana，故1321122112211(1)(2)21(1)12[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53325!nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnnn例4答案：12nna例5答案nbann11例6解：1232nnnaa两边同除以12n，得113222nnnnaa，则113222nnnnaa，故数列{}2nna是以1222a11为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22nnan，所以数列{}na的通项公式为31()222nnan。例7解析：设1)1(nnbqdnac建立方程组，解得.例8解析：由题可知，{1)12(nxn}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{1nx}的通项之积：设nnxnxxxxxS)12(7531432…②学大教育关注成长每一天①－②得nnnxnxxxxxSx)12(222221)1(1432（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：nnnxnxxxSx)12(1121)1(1.∴21)1()1()12()12(xxxnxnSnnn.例9答案1,212312)13(121annannaaasnn，例10解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由a32=9a2a6有a32=9a42，∴q2=．由条件可知各项均为正数，故q=．由2a1+3a2=1有2a1+3a1q=1，∴a1=．故数列{an}的通项式为an=．（Ⅱ）bn=++…+=﹣（1+2+…+n）=﹣，故=﹣=﹣2（﹣）则++…+=﹣2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=﹣，∴数列{}的前n项和为﹣．