高考一轮复习 椭 圆

【2014年高考会这样考】1．考查利用椭圆的定义解决与焦点三角形相关的问题．2．考查椭圆的标准方程及其几何性质，利用椭圆的几何性质求离心率等问题．第4讲椭圆抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考活页限时训练椭圆的定义椭圆的标准方程和几何性质考向一考向二考向三助学微博考点自测A级【例2】【训练2】【例1】【训练1】【例3】【训练3】椭圆几何性质的应用椭圆定义的应用求椭圆的标准方程B级高考中椭圆离心率的求解问题单击标题可完成对应小部分的学习，每小部分独立成块，可全讲，也可选讲选择题填空题解答题、、、321选择题填空题解答题、、、321考点梳理1．椭圆的定义在平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做_______.这两定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的_________．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：(1)若________，则集合P为椭圆；(2)若________，则集合P为线段；(3)若________，则集合P为空集．椭圆．焦点焦距a＞ca＝ca＜c考点梳理2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)y2a2＋x2b2＝1(ab0)图形范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为_____；短轴B1B2的长为___焦距|F1F2|＝____离心率e＝ca∈______性质a，b，c的关系c2＝_________2a2b2b2c(0,1)a2－b2椭圆焦点位置与x2，y2系数间的关系：给出椭圆方程x2m＋y2n＝1时，椭圆的焦点在x轴上⇔m＞n＞0；椭圆的焦点在y轴上⇔nm0.一条规律助学微博两种方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2、b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程．(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a、b、c的方程组，解出a2、b2，从而写出椭圆的标准方程．1．椭圆x216＋y28＝1的离心率为()．A.13B.12C.33D.222．(2013·福州模拟)已知椭圆的长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是()．A.x216＋y27＝1B.x216＋y27＝1或x27＋y216＝1C.x216＋y225＝1D.x216＋y225＝1或x225＋y216＝13．(2012·上海)对于常数m、n，“mn0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆”的()．考点自测单击题号显示结果答案显示单击图标显示详解DBB(0,1)或(0,-1)123453A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．(2011·浙江)设F1，F2分别为椭圆x23＋y2＝1的左，右焦点，点A，B在椭圆上．若F1A→＝5F2B→，则点A的坐标是________．5．(2012·四川)椭圆x24＋y23＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A、B.当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是________．考向一椭圆定义的应用【例1】►(2012·中山调研)已知F1、F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1→⊥PF2→.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.解【审题视点】关键抓住点P为椭圆C上的一点，从而有|PF1|＋|PF2|＝2a，再利用PF1→⊥PF2→进而得解．【方法锦囊】椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|；通过整体代入可求其面积等．由题意知|PF1|＋|PF2|＝2a，PF1→⊥PF2→∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|＝4c2，∴2|PF1|·|PF2|＝4a2－4c2＝4b2.∴|PF1|·|PF2|＝2b2，∴S△PF1F2＝12|PF1|·|PF2|＝12×2b2＝b2＝9.∴b＝3.考向一椭圆定义的应用【训练1】已知△ABC的顶点B，C在椭圆x23＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是()．A．23B．6C．43D．12【审题视点】仍然抓住点B、C为椭圆上的一点，从而利用椭圆定义求得【方法锦囊】椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|；通过整体代入可求其面积等．解析由椭圆的定义知：|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a(F是椭圆的另外一个焦点)，∴周长为4a＝43.答案C考向二求椭圆的标准方程【例2】►过点(3，－5)，且与椭圆y225＋x29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．【审题视点】利用定义法或待定系数法求解用待定系数法求椭圆标准方程时，若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A0，B0，A≠B)．【方法锦囊】解法1解椭圆y225＋x29＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)即c＝4.由椭圆的定义知，2a＝3－02＋－5＋42＋3－02＋－5－42，解得a＝25.由c2＝a2－b2可得b2＝4.所以所求椭圆的标准方程为y220＋x24＝1.解法1完方法1方法2考向二求椭圆的标准方程【例2】►过点(3，－5)，且与椭圆y225＋x29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．【审题视点】利用定义法或待定系数法求解用待定系数法求椭圆标准方程时，若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A0，B0，A≠B)．【方法锦囊】解法2解方法1方法2因为所求椭圆与椭圆y225＋x29＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.设它的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0)．因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①又点(3，－5)在所求椭圆上，即5a2＋3b2＝1.②所以－52a2＋32b2＝1，由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为y220＋x24＝1.方法2完【训练2】已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5、3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，则椭圆的方程为________．解析设所求的椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)或y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)，由已知条件得2a＝5＋3，2c2＝52－32，解得a＝4，c＝2，b2＝12.故所求方程为x216＋y212＝1或y216＋x212＝1.53用待定系数法求椭圆标准方程时，若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A0，B0，A≠B)．【方法锦囊】考向二求椭圆的标准方程当焦点可能在不同轴但形状固定时，x、y交换位置即得两种情况下的方程。若形状不固定则不可。这时需要【例3】►(2012·天津)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点．(1)若直线AP与BP的斜率之积为－12，求椭圆的离心率；(2)若|AP|＝|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|3.考向三椭圆几何性质的应用【审题视点】(1)根据椭圆的性质直接求离心率；(2)将直线方程与椭圆方程联立，利用ab0建立不等式求解．(1)解设点P的坐标为(x0，y0)．由题意，有x20a2＋y20b2＝1.①由A(－a,0)，B(a,0)，得kAP＝y0x0＋a，kBP＝y0x0－a.由kAP·kBP＝－12，可得x20＝a2－2y20，代入①并整理得(a2－2b2)y20＝0.由于y0≠0，故a2＝2b2.于是e2＝a2－b2a2＝12，所以椭圆的离心率e＝22.考向三椭圆几何性质的应用【审题视点】(1)根据椭圆的性质直接求离心率；(2)将直线方程与椭圆方程联立，利用ab0建立不等式求解．(2)证明法一依题意，直线OP的方程为y＝kx，设点P的坐标为(x0，y0)．由条件得y0＝kx0，x20a2＋y20b2＝1.消去y0并整理得x20＝a2b2k2a2＋b2.②由|AP|＝|OA|，A(－a,0)及y0＝kx0，得(x0＋a)2＋k2x20＝a2.整理得(1＋k2)x20＋2ax0＝0.而x0≠0，于是x0＝－2a1＋k2，代入②，整理得(1＋k2)2＝4k2ab2＋4.由ab0，故(1＋k2)24k2＋4，即k2＋14，因此k23，所以|k|3.考向三椭圆几何性质的应用【方法锦囊】求椭圆的离心率，常见的有三种方法：一是通过已知条件列方程组，解出a，c的值；二是由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．法二依题意，直线OP的方程为y＝kx，可设点P的坐标为(x0，kx0)．由点P在椭圆上，有x20a2＋k2x20b2＝1.因为ab0，kx0≠0，所以x20a2＋k2x20b21，即(1＋k2)x20a2.③由|AP|＝|OA|，A(－a,0)，得(x0＋a)2＋k2x20＝a2，整理得(1＋k2)x20＋2ax0＝0，于是x0＝－2a1＋k2.代入③，得(1＋k2)4a21＋k22a2，解得k23，所以|k|3.(2)设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，由题意可得|OF2|＝|OA|＝|OB|＝|OF1|＝c，由y＝－3x得∠AOF2＝2π3，【训练3】(1)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是()．A.45B.35C.25D.15(2)(2013·福州质检)直线y＝－3x与椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)交于A、B两点，以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为()．A.32B.3－12C.3－1D．4－23解析(1)由题意知，2a＋2c＝2(2b)，即a＋c＝2b，又c2＝a2－b2，消去b，整理得5c2＝3a2－2ac，即5e2＋2e－3＝0，解得e＝35或e＝－1(舍去)．考向三椭圆几何性质的应用23∠AOF1＝π3.∴|AF2|＝3c，|AF1|＝c.由椭圆的定义知，|AF1|＋|AF2|＝2a，∴c＋3c＝2a，∴e＝ca＝3－1.热点突破22——高考中椭圆离心率的求解问题揭秘3年高考【命题研究】通过近三年的高考试题分析，以椭圆的标准方程及几何性质为主要考查对象，尤其是考查椭圆的离心率问题是重中之重，常以选择题和填空题的形式出现，难度中等．揭秘3年高考【示例】►(2012·新课标全国)设F1，F2是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左，右焦点，P为直线x＝3a2上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为()．A.12B.23C.34D.45第1步：【教你审题】画图，得出结论|PF2|＝|F1F2|.第2步：抓住“△F2PF1是底角为30°的等腰三角形”可得|PF2|.第3步：列出等式求解．解令c＝a2－b2.如图，据题意，|F2P|＝|F1F2|，∠F1PF2＝30°，∴∠F1F2P＝120°，∴∠PF2x＝60°，∴|F2P|＝2