高中数学必修5第二章：数列求和

第4课时数列求和求数列的前n项和的方法1．公式法(1)等差数列的前n项和公式Sn＝＝.基础知识梳理n(a1＋an)2na1＋n(n－1)2d(2)等比数列前n项和公式①当q＝1时，Sn＝na1；基础知识梳理②当q≠1时，Sn＝a1(1－qn)1－q＝a1－anq1－q.2．分组转化法把数列的每一项分成两项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．3．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．基础知识梳理4．倒序相加法把数列正着写和倒着写再相加(即等差数列求和公式的推导过程的推广)．5．错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．基础知识梳理答案：B三基能力强化1．数列{an}的前n项和为Sn，若an＝1n(n＋1)，则S5等于()A．1B.56C.16D.130A．13B．10C．9D．6答案：D三基能力强化2．已知数列{an}的通项公式是an＝2n－12n，其前n项和Sn＝32164，则项数n等于()3．数列{(－1)n·n}的前2010项的和S2010为()A．－2010B．－1005C．2010D．1005答案：D三基能力强化三基能力强化4．(教材习题改编)已知an＝n＋13n，则数列{an}的前n项和Sn＝________.答案：12(n2＋n＋1－13n)5．在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，则S100＝________.答案：2600三基能力强化分组转化求和就是从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前n项和的数列来求之．课堂互动讲练考点一分组转化求和课堂互动讲练例1已知数列{an}的前几项是3＋2－1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24－1，写出数列{an}的通项并求其前n项和Sn.【思路点拨】课堂互动讲练先求通项→转化为几个易求和数列形式→分别求和→得结论【解】由已知得，数列{an}的通项公式为an＝3n＋2n－1＝3n－1＋2n，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(2＋5＋…＋3n－1)＋(2＋22＋…＋2n)课堂互动讲练＝n(2＋3n－1)2＋2(1－2n)1－2＝12n(3n＋1)＋2n＋1－2.【规律小结】分组转化求和常见类型及方法．(1)an＝kn＋b，利用等差数列前n项和公式直接求解；(2)an＝a·qn－1，利用等比数列前n项和公式直接求解；(3)an＝bn±cn，数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，采用分组求和法求{an}的前n项和．提醒：应用等比数列前n项和公式时，要注意公比q的取值．课堂互动讲练课堂互动讲练互动探究例1中如果已知数列的通项公式an＝1an－1＋3n－2，求其前n项和Sn.解：前n项和为Sn＝(1＋1)＋(1a＋4)＋(1a2＋7)＋…＋(1an－1＋3n－2)＝(1＋1a＋1a2＋…＋1an－1)＋[1＋4＋7＋…＋(3n－2)]，课堂互动讲练设S1＝1＋1a＋1a2＋…＋1an－1，当a＝1时，S1＝n；当a≠1时，S1＝an－1an－an－1，S2＝1＋4＋7＋…＋(3n－2)＝(3n－1)n2.课堂互动讲练∴当a＝1时，Sn＝S1＋S2＝n＋(3n－1)n2＝(3n＋1)n2；当a≠1时，Sn＝S1＋S2＝an－1an－an－1＋(3n－1)n2.1．利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．课堂互动讲练考点二裂项相消求和课堂互动讲练2．一般情况如下，若{an}是等差数列，则1anan＋1＝1d(1an－1an＋1)，1an·an＋2＝12d(1an－1an＋2)．此外根式在分母上时可考虑利用有理化因式相消求和．课堂互动讲练例2已知等差数列{an}的首项a1≠0，前n项和为Sn，且S4＋a2＝2S3；等比数列{bn}满足b1＝a2，b2＝a4.(1)求证：数列{bn}中的每一项都是数列{an}中的项；(2)若a1＝2，设cn＝2log2bn·log2bn＋1，求数列{cn}的前n项和Tn.(3)在(2)的条件下，若有f(n)＝log3Tn，求f(1)＋f(2)＋…＋f(n)的和Tn.【思路点拨】(1)由已知条件寻找a1与d的关系，(2)表示出cn采用裂项法．【解】(1)证明：设等差数列{an}的公差为d，由S4＋a2＝2S3，得4a1＋6d＋a1＋d＝6a1＋6d，∴a1＝d，则an＝a1＋(n－1)d＝na1，∴b1＝2a1，b2＝4a1，课堂互动讲练课堂互动讲练等比数列{bn}的公比q＝b2b1＝2，则bn＝2a1·2n－1＝2n·a1，∵2n∈N*，∴{bn}中的每一项都是{an}中的项．课堂互动讲练(2)当a1＝2时，bn＝2n＋1，cn＝2(n＋1)(n＋2)＝2(1n＋1－1n＋2)则Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝2(12－13＋13－14＋…＋1n＋1－1n＋2)＝2(12－1n＋2)＝nn＋2.课堂互动讲练(3)f(n)＝log3Tn＝log3nn＋2.Tn＝f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＝log313＋log324＋…＋log3nn＋2＝log3(13·24·…·nn＋2)＝log32(n＋1)(n＋2).课堂互动讲练【规律总结】常见的拆项公式有：(1)1n(n＋1)＝1n－1n＋1；(2)1n(n＋k)＝1k(1n－1n＋k)；(3)1(2n－1)(2n＋1)＝12(12n－1－12n＋1)；课堂互动讲练(4)1n(n＋1)(n＋2)＝12[1n(n＋1)－1(n＋1)(n＋2)]；(5)1n＋n＋1＝n＋1－n；(6)1n＋n＋k＝1k(n＋k－n)．1．如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法．2．用乘公比错位相减法求和时，应注意课堂互动讲练考点三错位相减法求和(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．课堂互动讲练课堂互动讲练例3(2009年高考山东卷)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．(1)求r的值；(2)当b＝2时，记bn＝n＋14an(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.【思路点拨】(1)表示出an，利用等比数列的定义求得r；(2)采用错位相减法求和．【解】(1)由题意，Sn＝bn＋r，当n≥2时，Sn－1＝bn－1＋r.所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)．由于b0且b≠1，所以n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列，又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，课堂互动讲练课堂互动讲练a2a1＝b，即b(b－1)b＋r＝b，解得r＝－1.(2)由(1)知，n∈N*，an＝(b－1)bn－1＝2n－1，所以bn＝n＋14×2n－1＝n＋12n＋1.Tn＝222＋323＋424＋…＋n＋12n＋1，课堂互动讲练12Tn＝223＋324＋…＋n2n＋1＋n＋12n＋2，两式相减得12Tn＝222＋123＋124＋…＋12n＋1－n＋12n＋2＝12＋123×(1－12n－1)1－12－n＋12n＋2＝34－12n＋1－n＋12n＋2，故Tn＝32－12n－n＋12n＋1＝32－n＋32n＋1.【误区警示】利用错位相减法求和时，转化为等比数列求和．若公比是个参数(字母)，则应先对参数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和．课堂互动讲练对于由递推关系给出的数列，常借助于Sn＋1－Sn＝an＋1转换为an与an＋1的关系式或Sn与Sn＋1的关系式，进而求出an或Sn使问题得以解决．课堂互动讲练考点四数列求和的综合应用课堂互动讲练例4(解题示范)(本题满分12分)设数列{an}满足a1＝a，an＋1＝can＋1－c，n∈N*，其中a，c为实数且c≠0.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设a＝12，c＝12，bn＝n(1－an)，n∈N*，求数列{bn}的前n项和Sn.【思路点拨】(1)通过已知条件递推变形，构造等比数列或用迭代法求解an；(2)利用错位相减法求Sn.课堂互动讲练【解】(1)法一：∵an＋1－1＝c(an－1)，∴当a≠1时，{an－1}是首项为a－1，公比为c的等比数列．∴an－1＝(a－1)cn－1，即an＝(a－1)cn－1＋1.当a＝1时，an＝1仍满足上式.3分∴数列{an}的通项公式为an＝(a－1)cn－1＋1(n∈N*).4分课堂互动讲练法二：由题设得：n≥2时，an－1＝c(an－1－1)＝c2(an－2－1)＝…＝cn－1(a1－1)＝(a－1)cn－1.∴an＝(a－1)cn－1＋1.3分n＝1时，a1＝a也满足上式．∴{an}的通项公式为an＝(a－1)cn－1＋1(n∈N*).4分课堂互动讲练课堂互动讲练(2)由(1)得bn＝n(1－a)cn－1＝n(12)n，Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝12＋2(12)2＋…＋n(12)n，6分12Sn＝(12)2＋2(12)3＋…＋(n－1)(12)n＋n(12)n＋1，课堂互动讲练∴12Sn＝12＋(12)2＋…＋(12)n－n(12)n＋1，∴Sn＝1＋12＋(12)2＋…＋(12)n－1－n(12)n＝2[1－(12)n]－n(12)n.∴Sn＝2－(2＋n)(12)n.12分【名师点评】数列综合问题、数列通项、数列求和从近几年高考看考查力度非常大，常以解答题形式出现，同时数列与三角函数、解析几何以及不等式证明问题相结合更是高考考查的重点．本例既考查了数列通项，又考查了数列求和，同时也考查了不等式的证明，解题时注意分类讨论思想的应用．课堂互动讲练(本题满分12分)已知数列{an}满足an＝2an－1＋2n＋2(n≥2)，a1＝2.(1)求a2，a3，a4；成等差数列，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由；(3)求数列{an}的前n项和Sn.课堂互动讲练高考检阅(2)是否存在一个实数λ，使得数列{an＋λ2n}解：(1)a2＝4＋4＋2＝10，a3＝20＋8＋2＝30，a4＝60＋16＋2＝78.3分课堂互动讲练(2)假设存在一个实数λ，使得数列{an＋λ2n}成等差数列，则an＋λ2n－an－1＋λ2n－1＝2an－1＋2n＋2＋λ－2an－1－2λ2n课堂互动讲练＝1＋2－λ2n恒为常数，5分∴2－λ＝0即λ＝2，此时a1＋22＝2，a2＋222－a1＋22＝1.∴当λ＝2时数列{an＋λ2n}是首项为2、公差为1的等差数列.7分Sn＝2×2＋3×22＋4×23＋…＋(n＋1)2n－2n2Sn＝2×22＋3×23＋4×24＋…＋(n＋1)2n＋1－4n两式相减得：课堂互动讲练(3)由(2)得an＋22n＝a1＋22＋(n－1)＝n＋1∴an＝(n＋1)2n－29分－Sn＝2×2＋22＋23＋…＋2n－(n＋1)2n＋1＋2n＝－n×2n＋1＋2n∴Sn＝n×2n＋1－2n.12分课堂互动讲练1．求数列通项的方法技巧：(1)通过对数列前若干项的观察、分析，找出项与项数之间的统一对应关系，猜想通项公式；(2)理解数列的项与前n项和之间满足an＝Sn－Sn－1(n≥2)的关系，并能灵活运用它解决有关数列问题．规律方法总结2．数列求和，如果是等差、等比数列的求和，可直接用求和公式求解，公式要做到灵活运用．3．非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思路：(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成；规律方法总结(2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和，要将例题中的几类一般数列的求和方法记牢．规律方法总结随堂即时