【步步高】(全国通用)2016版高考数学大二轮总复习 增分策略 专题七 概率与统计 第3讲 统计与统

第3讲统计与统计案例专题七概率与统计高考真题体验热点分类突破高考押题精练栏目索引高考真题体验12341.(2014·湖南)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则()A．p1＝p2p3B．p2＝p3p1C．p1＝p3p2D．p1＝p2＝p3解析由于三种抽样过程中，每个个体被抽到的概率都是相等的，因此p1＝p2＝p3.D12342.(2015·福建)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x(万元)8.28.610.011.311.9支出y(万元)6.27.58.08.59.81234根据上表可得线性回归方程y^＝b^x＋a^，其中b^＝0.76，a^＝y－b^x.据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为()A.11.4万元B.11.8万元C.12.0万元D.12.2万元1234解析由题意知，x＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.95＝10，y＝6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.85＝8，∴a^＝8－0.76×10＝0.4，∴当x＝15时，y^＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元).答案B12343.(2014·天津)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生.解析根据题意，应从一年级本科生中抽取的人数为44＋5＋5＋6×300＝60.6012344.(2014·江苏)为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100cm.1234解析底部周长在[80,90)的频率为0.015×10＝0.15，底部周长在[90,100)的频率为0.025×10＝0.25，样本容量为60，所以树木的底部周长小于100cm的株数为(0.15＋0.25)×60＝24.答案24考情考向分析1.以选择题、填空题的形式考查随机抽样、样本的数字特征、统计图表、回归方程、独立性检验等.2.在概率与统计的交汇处命题，以解答题中档难度出现.热点一抽样方法热点分类突破1.简单随机抽样特点是从总体中逐个抽取.适用范围：总体中的个体较少.2.系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取.适用范围：总体中的个体数较多.3.分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取.适用范围：总体由差异明显的几部分组成.例1(1)某月月底，某商场想通过抽取发票存根的方法估计该月的销售总额.先将该月的全部销售发票的存根进行了编号，1,2,3，…，然后拟采用系统抽样的方法获取一个样本.若从编号为1,2,3，…，10的前10张发票的存根中随机抽取1张，然后再按系统抽样的方法依编号顺序逐次产生第2张、第3张、第4张、……，则抽样中产生的第2张已编号的发票存根，其编号不可能是()A.13B.17C.19D.23解析因为第一组的编号为1,2,3，…，10，所以根据系统抽样的定义可知第二组的编号为11,12,13，…，20，故第2张已编号的发票存根的编号不可能为23.答案D(2)为了研究雾霾天气的治理，某课题组对部分城市进行空气质量调查，按地域特点把这些城市分成甲、乙、丙三组，已知三组城市的个数分别为4，y，z，依次构成等差数列，且4，y，z＋4成等比数列，若用分层抽样抽取6个城市，则乙组中应抽取的城市个数为________.解析由题意可得2y＝4＋z，y2＝4×z＋4，即y＝2＋z2，y2＝4z＋16，解得z＝12，或z＝－4(舍去)，故y＝8.所以甲、乙、丙三组城市的个数分别为4,8,12.因为一共要抽取6个城市，所以抽样比为64＋8＋12＝14.故乙组城市应抽取的个数为8×14＝2.答案2思维升华(1)随机抽样各种方法中，每个个体被抽到的概率都是相等的；(2)系统抽样又称“等距”抽样，被抽到的各个号码间隔相同；(3)分层抽样满足：各层抽取的比例都等于样本容量在总体容量中的比例.跟踪演练1(1)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为()7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A.08B.07C.02D.01解析从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08,02,14,07,02,01，其中第二个和第四个都是02，重复，去掉第四个02，得对应的数值为08,02,14,07,01，所以第5个个体编号为01.故选D.答案D(2)(2014·广东)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为()A.200,20B.100,20C.200,10D.100,10解析该地区中、小学生总人数为3500＋2000＋4500＝10000，则样本容量为10000×2%＝200，其中抽取的高中生近视人数为2000×2%×50%＝20，故选A.答案A热点二用样本估计总体1.频率分布直方图中横坐标表示组距，纵坐标表示频率组距，频率＝组距×频率组距.2.频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1.3.利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时易出错，应注意区分这三者.在频率分布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.例2(1)(2015·湖北)某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示.①直方图中的a＝________；②在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________.解析由频率分布直方图及频率和等于1可得0.2×0.1＋0.8×0.1＋1.5×0.1＋2×0.1＋2.5×0.1＋a×0.1＝1，解得a＝3.于是消费金额在区间[0.5,0.9]内频率为0.2×0.1＋0.8×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，所以消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为0.6×10000＝6000.答案①3②6000(2)(2014·陕西)设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi＝xi＋a(a为非零常数，i＝1,2，…，10)，则y1，y2，…，y10的平均数和方差分别为()A.1＋a,4B.1＋a,4＋aC.1,4D.1,4＋a解析x1＋x2＋…＋x1010＝1，yi＝xi＋a，所以y1，y2，…，y10的平均数为1＋a，方差不变仍为4.故选A.A思维升华(1)反映样本数据分布的主要方式：频率分布表、频率分布直方图、茎叶图.关于频率分布直方图要明确每个小矩形的面积即为对应的频率，其高低能够描述频率的大小，高考中常常考查频率分布直方图的基本知识，同时考查借助频率分布直方图估计总体的概率分布和总体的特征数，具体问题中要能够根据公式求解数据的平均数、众数和中位数、方差等.(2)由样本数据估计总体时，样本方差越小，数据越稳定，波动越小.跟踪演练2(1)某商场在庆元宵促销活动中，对元宵节9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为________万元.解析设11时至12时的销售额为x万元.由频率分布直方图可知：0.100.40＝2.5x，所以x＝10.答案10(2)PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，如图是根据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个PM2.5监测点统计的数据(单位：毫克/每立方米)列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是()A.甲B.乙C.甲乙相等D.无法确定解析x甲＝(0.042＋0.053＋0.059＋0.061＋0.062＋0.066＋0.071＋0.073＋0.073＋0.084＋0.086＋0.097)÷12≈0.0689，x乙＝(0.041＋0.042＋0.043＋0.046＋0.059＋0.062＋0.069＋0.079＋0.087＋0.092＋0.094＋0.096)÷12＝0.0675，s2甲＝112[(0.042－0.0689)2＋(0.053－0.0689)2＋…＋(0.097－0.0689)2]≈0.000212.s2乙＝112[(0.041－0.0675)2＋(0.042－0.0675)2＋…＋(0.096－0.0675)2]≈0.000429.所以甲、乙两地浓度的方差较小的是甲地.答案A热点三统计案例1.线性回归方程方程y^＝b^x＋a^称为线性回归方程，其中b^＝∑ni＝1xiyi－nxy∑ni＝1x2i－nx2，a^＝y－b^x，(x，y)称为样本点的中心.2.随机变量K2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d，其中n＝a＋b＋c＋d.例3(1)(2015·北京)高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生.从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是________；解析由散点图可知：越靠近坐标原点O名次越好，乙同学语文成绩好，而总成绩年级名次靠后；而甲同学语文成绩名次比总成绩名次差，所以应是乙同学语文成绩名次比总成绩名次靠前.乙②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是________.解析丙同学总成绩年级名次比数学成绩年级名次差，所以丙同学成绩名次更靠前的是数学.数学(2)(2014·江西)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是()表1成绩性别不及格及格总计男61420女102232总计163652表2视力性别好差总计男41620女122032总计163652表3智商性别偏高正常总计男81220女82432总计163652表4阅读量性别丰富不丰富总计男14620女23032总计163652A.成绩B.视力C.智商D.阅读量解析根据数据求出K2的值，再进一步比较大小.A中，a＝6，b＝14，c＝10，d＝22，a＋b＝20，c＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52，K2＝52×6×22－14×10220×32×16×36＝131440.B中，a＝4，b＝16，c＝12，d＝20，a＋b＝20，c＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52，K2＝52×4×20－16×12220×32×16×36＝637360.C中，a＝8，b＝12，c＝8，d＝24，a＋b＝20，c＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52，K2＝52×8×24－12×8220×32×16×36＝1310.D中，a＝14，b＝6，c＝2，d＝30，a＋b＝20，c＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52，K2＝52×14×30－6×2220×32×16×36＝3757160.∵1314401310637360