最优化模型

最优化模型（一般使用lingo软件实现）例如销售商要根据市场需求和生产成本，如何确定产品的价格使得利润最高，投资者要考虑资金周转和市场回报率，如何决策投资领域使得收益最大，风险最小等问题。一般的，在一系列的限制条件下。寻求使问题的某一项或多项指标达到最大或最小的决策问题，这种决策问题就称为最优化问题。0,,..minmax21221122222121112121112211nmnmnmmnnnnnnxxxbxaxaxabxaxaxabxaxaxatsxcxcxcf一线性规划模型•目标函数与约束条件涉及的都是线性函数的规划问题称为线性规划。一般形式：案例一（一维下料问题）•a.问题的提出•某公司因为生产的需要，现需要加工制作100套工架，根据工架的加工要求，每套工架分别需用长为2.9m，2.1m和1.5m的圆钢各一根。已知现有的原材料长7.5m，为降低成本费用，请帮助建模分析，该公司应如何下料使得所用的原材料最省？•b.问题的假设•1.忽略原料钢管切割过程中的原料损耗.•2.忽略原料钢管切割过程因损坏而增加额外费用买进原料钢管的情况.•3.假设钢管的大小一致.•4.在制作工架过程中焊接没有损耗。•c.问题的分析之所以有这样的问题，是因为下料的方式有很多种，如何下料，就是每一种下料方式下了多少根钢材，显然这就是我们的决策变量．•如果在每一根原材料上各截取2.9m，2.1米和1.5米的钢料各一根做成一个工架，那么每根原材料就剩下料头0.9米，要完成100套工架，就要用100跟原材料，共剩余90米料头，相当于12跟完整的原材料，显然这种做法是非常浪费的，所以为了节省原材料，选择一个合理的决策方案是非常重要的。这里就采用线性规划模型即可。•经分析可知，一根管可能的组合下料方案共有六种，如下表所示。•设xi为选用方案i下料的原材料根数，其中i=①...⑥。①②③④⑤⑥2.9米1201012.1米0022111.5米312031合计7.47.37.27.16.66.5料头00.10.20.30.80.9.0,,,,,1003231002210029.08.03.02.01.00mi6543216532165436421654321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxnz•d.模型的建立•根据以上分析，要求完成100套工架的下料任务，所用的原材料最省，也就等价于求余下的料头总和最少，于是可以建立模型如下：•e.模型的求解•lingo的简单介绍•在lingo中建立优化模型。都是由MODEL语句开头，由END语句结束，编程分三步，第一步定义集合，第二步列出数据，第三步利用函数写出约束条件及目标函数。•本题的程序如下•MODEL:•sets:!开始定义集合•num_i/1,2,3/:b;!约束条件等式右边的三个值组成的3维数组•num_j/1..6/:x,c;!xi的系数组成的6维数组•link（num_i,num_j）:a;!约束条件中的系数矩阵•endsets!集合定义完毕•data:!开始写入数据•b=100,100,100;•c=0,0.1,0.2,0.3,0.8,0.9;•a=1,2,0,1,0,1•0,0,2,2,1,1•3,1,2,0,3,1;•enddata!数据输入完毕•[obj]min=@sum(num_j(j):c(j)*x(j));!目标函数•@for(num_i(i):@sum(num_j(j):a(i,j)*x(j))=b(i););•!约束条件前三个•@for(num_j(j):x(j)=0;);!约束条件中非负•END•f.模型的结果及分析•由以上程序，可得问题的最优解为x1=30,x2=10,x4=50,x3=x5=x6=0,最优值为16.•也就是说，按方案①下料30根，方案②下料10根，方案④下料50根。共需要材料九十根，剩余料头为16米。•g.模型的检验•按方案①下料30根：就有2.9米的三十根，1.5米的90根，料头0米•按方案②下料10根：就有2.9米的二十根，1.5米的10根，料头1米•按方案④下料50根：就有2.9米的五十根，2.1米的一百根，料头15米。•h.模型的评价及改进•下料问题的建模主要有两部分组成•一是确定下料模式•二是构造优化模型•对于下料规格不太多时，可以采用枚举出下料模式，对规格太多的，则本模型就不能解决了。就需要寻找更精密的模型来解决问题。案例二（产销平衡的运输问题）•a.问题的提出•某产品有m个生产地Ai(i=1...m),n个销售地Bj(j=1..n)。各生产地的产量ai与各销售地的需求量bj，以及各生产地运往各销售地的单位运价cij如下表所示，且设总的产量等于总的销量，问在满足各地需求以及生产能力允许的条件下，如何安排调运方案使得总运费最少。B1B2...Bn产量A1c11c12...c1na1A2c21c22...c2na2..................Amcm1cm2...cmnam需求量b1b2...bn•b.模型的假设•1.假设生产没上限，需要多少就能生产多少；•2.假设总产量等于总销量•3.假设运输过程中没有损耗•4.假设销售价格及成本不变。•e.模型的分析•因为问题假设总产量等于总销量，所以该问题是一个标准的产销平衡问题的运输问题，即由生产地Ai运往各销售地的产品总量应该等于Ai的生产量，同时由各生产地运往销售地Bj的产品总量应该等于Bj的需求量。•设xij表示从生产地Ai运往销售地Bj的数量，总运费为z。•f.模型的建立•目标函数为使得总运费最少，建立模型如下：njmixnjbxmiaxtsxcijjmiijinjijminjijij,...,1;,...,10,...,1,...,1,..zmin1111•g.模型的求解（lingo）•MODEL:•sets:•num_i/1..m/:a;•num_j/1..n/:b;•link(num_i,num_j):c,x;•endsets•data:•a=a(1),a(2),...,a(m);•b=b(1),b(2),...,b(n);•c=c(1,1),c(1,2),...,c(1,n),•c(2,1),c(2,2),...,c(2,n),•.............•c(m,1),c(m,2),..,c(m,n);•enddata•[obj]min=@sum(link(i,j):c(i,j)*x（i,j）);•@for(num_i(i):@sum(num_j(j):x(i,j)=a(i););•@for(num_j(j):@sum(num_i(i):x(i,j)=b(j););•@for(link(i,j):x(i,j)=0;);•END•h.模型的结果（略）•i.模型的分析及推广•这是一个产销平衡的运输问题的一般形式。对于任何一个具体的问题。只要代入相应数值即可，对于平衡问题，约束条件都是取等号，所以该问题还可以推广到产销不平衡的运输问题，即产大于销或者销大于产，只需要对约束条件的等号经行调整为相应的不等号即可。