近世代数--图形的对称变换群

2020/2/2500:17近世代数第二章群论§11图形的对称变换群、群的应用2020/2/2500:17一、图形的对称变换群定义1:使图形不变形地变到与它重合的变换称为这个图形的对称变换.定义2：图形的一切对称变换关于变换的乘法构成群，称为这个图形的对称变换群.2020/2/2500:17例1正三角形的对称变换群.设正三角形的三个顶点分别为1、2、3.显然，正三角形的每一对称变换都导致正三角形的三个顶点的唯一一个置换.反之，由正三角形的三个顶点的任一置换都可得到正三角形的唯一一个对称变换，从而可用3{(1),(12),(13),(23),(123),(132)}S表示正三角形的对称变换群.2020/2/2500:17其中(1)为恒等变换,(12),(13),(23)分别表示关于正三角形的三个对称轴的反射变换,(123),(132)分别表示关于正三角形的中心按逆时针方向旋转120度、240度的旋转变换.l3Ol1l2231l2l1l3l4O12342020/2/2500:17例2正方形的对称变换群.正方形的四个顶点分别可用1、2、3、4来表示.于是正方形的每一对称变换可用一个4次置换来表示.显然，不同的对称变换所对应的置换也不同，而对称变换的乘积对应了置换的乘积.这说明，正方形的对称变换群可用一置换群来表示.2020/2/2500:17容易看出,正方形的对称变换有两类:第一类:绕中心的分别旋转90度，180度，270度，360度的旋转，这对应于置换(1234)，(13)(24)，(1432)，(1).第二类:关于正方形的4条对称轴的反射,(12)(34)，(24)，(14)(23)，(13).这对应于置换所以,正方形的对称变换群有上述8个元素.这是四次对称群的一个子群.2020/2/2500:17S(K)={(1),(1234),(13)(24),(1432),(14)(23),(12)(34),(24),(13)}1{,2,3,4,5,6,7,8}平面上正方形ABCD的对称变换群2020/2/2500:171：ABCD2Pi2020/2/2500:17：2ABCD2PiABCDPi22020/2/2500:17：3ABCD2PiABCDPi2020/2/2500:17：4ABCD2PiABCD3Pi----22020/2/2500:17：5ABCDABCD2020/2/2500:17：6ABCDABCD2020/2/2500:17：7ABCDABCD2020/2/2500:17：8ABCDABCD2020/2/2500:17定理1正n边形的对称变换群阶为2n.这种群称为2n元二面体群.记为Dn1123,n22123,n11123,nnn,01,02(31),nn2020/2/2500:17D66{D123456(1),(123456),(135)(246),(14)(25)(36),(153)(264),(165432),(26)(35),(13)(46),(15)(24),(16)(25)(34),(12)(36)(45),(14)(23)(56)}2020/2/2500:17二、置换类型2个2-循环，n个n-循环,组成，则称1212nn型置换，其中1212.nnn例：5S中(123)(123)(4)(5)是一个2113型置换(12345)是一个15型置换(12)(34)(12)(34)(5)是一个1212型置换是一个一个n次置换，如果其循环置换分解式是由1个1-循环，2020/2/2500:17三、项链问题问题的提法：用n种颜色的珠子做成有m颗珠子的项链，问可做成多少种不同类型的项链？这里所说的不同类型的项链，指两个项链无论怎样旋转与翻转都不能重合。2020/2/2500:17数学上的确切描述设由m颗珠子做成一个项链，可用一个正m边形来代表它，它的每个顶点代表一颗珠子。12354678沿逆时针方向给珠子标号，由于每一颗珠子的颜色有n种选择，因而用乘法原理，这些有标号的项链共有nm种。但其中有一些可以通过旋转一个角度或翻转180度使它们完全重合，我们称为是本质相同的，我们要考虑的是无论怎么旋转、翻转都不能使它们重合的项链类型数。2020/2/2500:17设X={1，2，…m},代表m颗珠子的集合，它们逆时针排列组成一个项链，由于每颗珠子标有标号，我们称这样的项链为有标号的项链.12,,,nAaaa为n种颜色的集合.则每一个映射:XA代表一个有标号的项链.|:XAmn，它是全部有令标号项链的集合，显然有，是全部有标号项链的数目.2020/2/2500:1712km12iiiimkmgD12km12cccckmkcA设，其中现在考虑二面体群对集合的作用：mD2020/2/2500:17g12m11m212m12iiiccccccgggmgge111211212gggggg111211212gggggg1212gggg定义则，所以.对的作用为2020/2/2500:17mgDmgD12g2其直观意义是，对的作用就是使对项链的点号作一个旋转变换或翻转变换，因而1与是同一类型的属于同一轨道.21与mD因此，每一类型的项链对应一个轨道，不同类型项链数目就是对，可用Burnside引理求解.作用下的轨道数目2020/2/2500:17mgDg下一个关键问题是：如何求在上的不动点数gf12ggg的循环置换分解式可表为对应式（1）中同一循环置换（1）中的珠子有相同的颜色.g，这与的置换类型有关.g1212mm是一个型置换.设2020/2/2500:176123645gD1112332123456aaaaaa例如，设，则1112332(1)(2)(3)(4)(5)(6))(gggggggaaaaaa1112332216543aaaaaa1g故是的一个不动点.2020/2/2500:17g2122332123456aaaaaa2g反之，若对应，则故不是的不动点.的循环置换分解式中某个循环置换中号码的珠子有不同的颜色，例如2122332(1)(2)(3)(4)(5)(6))(gggggggaaaaaa122332216543aaaaaa22020/2/2500:17gf|,gfggg下面我们来进一步计算不动点数而满足的，对应于的同一循环置换中的珠子的颜色必须相同，因而，每一个循环置换中的珠子颜色共有n种选择.g12m而所含的循环置换个数为12mn所以满足条件的项链颜色有种选择g2020/2/2500:1712mgfn121mmgmNnDDmD1221112,12,,mmmNnmDmc,,12,cm故将它代入Burnside公式，就得项链的种类数为其中和式是对进一步表示为其中和式是对所有可能的不同置换类型求和.中每一个置换求和.为同一类型的群元素个数，2020/2/2500:17例用3种颜色做成有6颗珠子的项链，可做多少种？解1234566{D(1),(123456),(135)(246),(14)(25)(36),(153)(264),(165432),(26)(35),(13)(46),(15)(24),(16)(25)(34),(12)(36)(45),(14)(23)(56)}2020/2/2500:17按类型计算每一个群元素的不动点数：6163gf型置换有1个，每一个元素的不动点数为221243gf型置换有3个，每一个元素的不动点数为3233gf型置换有4个，每一个元素的不动点数为2323gf型置换有2个，每一个元素的不动点数为16型置换有2个，每一个元素的不动点数为3gf所以643213422392333312N.2020/2/2500:17作业：用黑白两种颜色的珠子，串成有5个珠子的项链。问有多少种不同类型的项链？12345(1)1525(12345)512(13524)51(14253)51(15432)51(25)(34)112223(13)(45)1122(15)(24)1122(14)(23)1122(12)(35)112253142582210N