【高中数学必修4学习课件】――人教A版3-1-3二倍角的正弦、余弦、正切公式

第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式提高篇课时作业预习篇课堂篇巩固篇1.会推导并记住二倍角公式.2.能够运用二倍角公式及其变形解决有关化简、求值和证明问题.学习目标重点：二倍角公式的推导；难点：二倍角公式的变形应用.重点难点预习篇01新知导学在公式sin(α＋β)，cos(α＋β)，tan(α＋β)中，令，就可得到相应的二倍角的三角函数公式：sin2α＝cos2α＝二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导α＝β2sinαcosαcos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2αtan2α＝2tanα1－tan2α上面三组公式，称为倍角公式．1．倍角公式中的“倍角”是什么意思？答：倍角公式不仅可运用于2α是α的二倍的情况，还可运用于4α作为2α的二倍，α作为α2的二倍，3α作为3α2的二倍，α＋β作为α＋β2的二倍等情况．2．公式S2α，C2α，T2α的适用范围是否相同？答：在公式S2α，C2α中，角α可以为任意角；但公式T2α只有当α≠π2＋kπ，且α≠π4＋kπ2(k∈Z)时才成立，否则不成立(因为当α＝π2＋kπ，k∈Z时，tanα的值不存在；当α＝π4＋kπ2，k∈Z时，tan2α的值不存在)．当α＝π2＋kπ，k∈Z时，虽然tanα的值不存在，但tan2α的值是存在的，这时求tan2α的值可利用诱导公式，即tan2α＝tan2(π2＋kπ)＝tan(π＋2kπ)＝tanπ＝0.倍角公式的变形(sinα±cosα)21．1±sin2α＝；1＋cos2α＝；1－cos2α＝.2．sin2α2＝1－cosα2；cos2α2＝1＋cosα2；tan2α2＝1－cosα1＋cosα.2cos2α2sin2α3．已知角α的某个三角函数值后，能唯一确定角2α的三角函数值吗？答：一般不能，在知道了角α的某个三角函数值，同时知道2α的终边所在的象限时，就可以唯一确定角2α的三角函数值了．4．二倍角公式及变形公式的作用是什么？答：利用上述公式不仅可以促成二倍角与单角的互化，同时还可以实现式子次数的转化．(1)要注意公式运用的前提是所含各三角函数有意义．(2)倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是3α2的2倍．这里蕴含着换元思想．(3)注意倍角公式的灵活运用，要会正用、逆用、变形用．(4)由任意角的三角函数的定义可知，S2α，C2α中的角α是任意的，但要使T2α有意义，需要α≠±π4＋kπ且α≠π2＋kπ(k∈Z)．课堂篇02合作探究【例1】求下列各式的值：(1)cosπ12cos5π12；(2)(cosπ12－sinπ12)(cosπ12＋sinπ12)；(3)12－cos2π8；(4)sin10°sin30°sin50°sin70°.给角求值问题【分析】(1)先将余弦化为正弦，再添加系数2，即可逆用倍角公式；(2)利用平方差公式之后，再逆用倍角公式；(3)提取系数12后产生倍角公式的形式；(4)利用诱导公式将正弦化为余弦，添加因式凑出二倍角公式的形式，然后再逆用二倍角公式．【解】(1)原式＝cosπ12sinπ12＝12×2cosπ12sinπ12＝12sinπ6＝14.(2)原式＝cos2π12－sin2π12＝cosπ6＝32.(3)原式＝12(1－2cos2π8)＝－12cosπ4＝－24.(4)原式＝12cos20°cos40°cos80°＝2sin20°cos20°cos40°cos80°4sin20°＝sin40°cos40°cos80°4sin20°＝sin80°cos80°8sin20°＝116·sin160°sin20°＝116.通法提炼解答此类题目，一方面要注意角的倍数关系，另一方面要注意函数名称的转化方法，同角三角函数的关系及诱导公式是常用方法.求下列各式的值：(1)1－2sin2750°；(2)2tan150°1－tan2150°；(3)1sin10°－3cos10°.解：(1)原式＝cos(2×750°)＝cos1500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos60°＝12.(2)原式＝tan(2×150°)＝tan300°＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－3.(3)原式＝cos10°－3sin10°sin10°cos10°＝212cos10°－32sin10°sin10°cos10°＝4sin30°cos10°－cos30°sin10°2sin10°cos10°＝4sin20°sin20°＝4.【例2】若cos(π4－x)＝－45，5π4x7π4，且x≠32π.求sin2x－2sin2x1＋tanx的值．【分析】化简所求式，使其出现角(π4－x)，整体代入求解．给值求值问题【解】sin2x－2sin2x1＋tanx＝2sinxcosx－sinxcosxcosx＋sinx＝sin2xcosx－sinxcosx＋sinx＝sin2x1－tanx1＋tanx＝sin2xtan(π4－x)＝cos(π2－2x)tan(π4－x)＝[2cos2(π4－x)－1]tan(π4－x)，∵5π4x7π4，∴－3π2π4－x－π.又∵cos(π4－x)＝－45，∴sin(π4－x)＝35，tan(π4－x)＝－34.∴原式＝(2×1625－1)×(－34)＝－21100.通法提炼先化简，再求值，化简时要注意已知条件和结论中各角之间的相互关系.尽量出现条件中的角，以便能整体代入，减少运算量.已知sin(π4－x)＝513，0xπ4，求cos2xcosπ4＋x的值．解：原式＝sinπ2＋2xcosπ4＋x＝2sinπ4＋xcosπ4＋xcosπ4＋x＝2sin(π4＋x)．∵sin(π4－x)＝cos(π4＋x)＝513，且0xπ4，∴π4＋x∈(π4，π2)，∴sin(π4＋x)＝1－cos2π4＋x＝1213，∴原式＝2×1213＝2413.【例3】证明下列恒等式(1)1＋sin2θ－cos2θ1＋sin2θ＋cos2θ＝tanθ；(2)cos2α1tanα2－tanα2＝14sin2α.三角函数式的化简与证明【证明】(1)左边＝1＋2sinθcosθ－1－2sin2θ1＋2sinθcosθ＋2cos2θ－1＝2sinθcosθ＋sinθ2cosθsinθ＋cosθ＝sinθcosθ＝tanθ＝右边，所以原式成立．(2)方法一：左边＝cos2αcosα2sinα2－sinα2cosα2＝cos2αcos2α2－sin2α2sinα2cosα2＝cos2αsinα2cosα2cos2α2－sin2α2＝cos2αsinα2cosα2cosα＝sinα2cosα2cosα＝12sinαcosα＝14sin2α＝右边，∴原式成立．方法二：左边＝cos2αtanα21－tan2α2＝12cos2α·2tanα21－tan2α2＝12cos2α·tanα＝12cosαsinα＝14sin2α＝右边，∴原式成立．通法提炼化简下列各式(1)11－tanθ－11＋tanθ；(2)2cos2α－12tanπ4－αsin2π4＋α.解：(1)原式＝1＋tanθ－1－tanθ1－tanθ1＋tanθ＝2tanθ1－tan2θ＝tan2θ.(2)原式＝cos2α2tanπ4－αcos2π2－π4－α＝cos2α2tanπ4－αcos2π4－α＝cos2α2sinπ4－αcosπ4－α＝cos2αsin2×π4－2α＝cos2αcos2α＝1.提高篇03自我超越——规范解答系列——二倍角公式的综合应用问题【例】已知函数f(x)＝sin2ωx＋3sinωxsin(ωx＋π2)(ω0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求函数f(x)在区间0，2π3上的取值范围．【思路分析】(1)已知函数解析式是含有二次的三角函数式，可利用二倍角公式降幂，化为y＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式．由给出的函数的最小正周期为π，可利用T＝2πω确定出ω的值．(2)由区间0，2π3求f(x)的取值范围，一定要先确定ωx＋φ的范围，再求f(x)的取值范围．【规范解答】(1)f(x)＝1－cos2ωx2＋32sin2ωx①＝32sin2ωx－12cos2ωx＋12＝sin(2ωx－π6)②＋12.因为函数f(x)的最小正周期为π，且ω0，所以2π2ω＝π.解得ω＝1.(2)由(1)得f(x)＝sin(2x－π6)＋12.因为0≤x≤2π3，所以－π6≤2x－π6≤7π③6，所以－12≤sin(2x－π6)≤1.所以0≤sin(2x－π6)＋12≤32，即f(x)在区间0，2π3上的取值范围为0，32.【解后反思】(1)若不能熟练地应用二倍角公式进行降幂，则在①处就会出现三角名称或符号的错误，直接影响后面的求解．(2)若不能熟练逆用两角和差公式，则在②处会出现三角函数名称或角度的错误，这在解题中直接导致对ω的误解．(3)若由x的取值范围，没有正确地求得2x－π6的取值范围，即在③处出现错误，则直接导致对函数f(x)的取值范围的求解错误．已知函数f(x)＝2cos2ωx＋2sinωxcosωx＋1(x∈R，ω0)的最小正周期为π2.(1)求ω的值；(2)求函数f(x)的最大值，并且求使f(x)取得最大值的x的集合．解：(1)f(x)＝2·1＋cos2ωx2＋sin2ωx＋1＝sin2ωx＋cos2ωx＋2＝2(sin2ωxcosπ4＋cos2ωxsinπ4)＋2＝2sin(2ωx＋π4)＋2.由已知函数f(x)的最小正周期为π2，可得2π2ω＝π2，所以ω＝2.(2)由(1)知f(x)＝2sin(4x＋π4)＋2.当4x＋π4＝π2＋2kπ(k∈Z)，即x＝π16＋kπ2(k∈Z)时，sin(4x＋π4)取得最大值1，函数f(x)的最大值是2＋2，此时x的集合为{x|x＝π16＋kπ2，k∈Z}．温示提馨请做：巩固篇04（点击进入）温示提馨请做：课时作业28（点击进入）