《走向高考》2014高三数学二轮专题复习课件：3-1等差、等比数列的通项、性质与前n项和

专题三数列专题三第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学专题三第一讲等差、等比数列的通项、性质与前n项和专题三第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学考向聚焦核心整合高频考点3课后强化作业4专题三第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学考向聚焦专题三第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学考向分析(1)数列的有关概念、数列的递推关系．(2)等差、等比数列的通项、前n项和及其性质．(3)等差、等比数列的判断与证明．专题三第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学命题规律(1)以客观题考查对基本概念、性质、通项及前n项和公式的掌握情况，主要是低档题，有时也命制有一定深度的中档题，与其他知识交汇命题也是这一部分的一个显著特征．(2)以大题形式考查综合运用数列知识解决问题的能力．专题三第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学核心整合专题三第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学知识方法整合1．等差数列(1)定义式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)；(2)通项公式：an＝a1＋(n－1)d；(3)前n项和公式：Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－1d2；(4)性质：①an＝am＋(n－m)d(n、m∈N*)；②若m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.专题三第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学2．等比数列(1)定义式：an＋1an＝q(n∈N*，q为非零常数)；(2)通项公式：an＝a1qn－1；(3)前n项和公式：Sn＝na1q＝1，a11－qn1－qq≠1.专题三第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学(4)性质：①an＝amqn－m(n，m∈N*)；②若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq(p、q、m、n∈N*)．注意：(1)a2n＝an－1an＋1是an－1，an，an＋1成等比数列的必要不充分条件．(2)利用等比数列前n项和的公式求和时，不可忽视对公比q是否为1的讨论．专题三第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学3．复习数列专题要把握等差、等比数列两个定义，牢记通项、前n项和四组公式，活用等差、等比数列的性质，明确数列与函数的关系，巧妙利用an与Sn的关系进行转化，细辨应用问题中的条件与结论是通项还是前n项和，集中突破数列求和的五种方法(公式法、倒序相加法、错位相减法、分组求和法、裂项相消法)．专题三第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学疑难误区警示1．应用an与Sn的关系，等比数列前n项和公式时，注意分类讨论．2．等差、等比数列的性质可类比掌握．注意不要用混．3．讨论等差数列前n项和的最值时，不要忽视n为整数的条件和an＝0的情形．4．等比数列{an}中，公比q≠0，an≠0.专题三第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学高频考点专题三第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学(文)(2013·江西文，16)正项数列{an}满足：a2n－(2n－1)an－2n＝0.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)令bn＝1n＋1an，求数列{bn}的前n项和Tn.等差数列、等比数列的基本运算、判定或证明专题三第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学[解析](1)由a2n－(2n－1)an－2n＝0，得(an－2n)(an＋1)＝0.由于{an}是正项数列，所以an＝2n.(2)an＝2n，bn＝1n＋1an，则bn＝12nn＋1＝12(1n－1n＋1)．Tn＝12(1－12＋12－13＋…＋1n－1－1n＋1n－1n＋1)＝12(1－1n＋1)＝n2n＋1.专题三第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学(理)(2013·全国大纲理，17)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a22，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项公式．专题三第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学[解析]设{an}的公差为d.由S3＝a22得3a2＝a22，故a2＝0或a2＝3.由S1，S2，S4成等比数列得S22＝S1S4.又S1＝a2－d，S2＝2a2－d，S4＝4a2＋2d，故(2a2－d)2＝(a2－d)(4a2＋2d)．若a2＝0，则d2＝－2d2，所以d＝0，此时Sn＝0，不合题意；若a2＝3，则(6－d)2＝(3－d)(12＋2d)，解得d＝0或d＝2.因此{an}的通项公式为an＝3或an＝2n－1.专题三第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学已知等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，且满足：a2＋a4＝14，S7＝70.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2Sn＋48n，数列{bn}中的最小项是第几项，并求出该项的值．专题三第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学[解析](1)设公差为d，则有2a1＋4d＝14，7a1＋21d＝70，即a1＋2d＝7，a1＋3d＝10，解得a1＝1，d＝3.所以an＝3n－2.专题三第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学(2)由(1)，知Sn＝n2[1＋(3n－2)]＝3n2－n2，所以bn＝3n2－n＋48n＝3n＋48n－1≥23n·48n－1＝23.当且仅当3n＝48n，即n＝4时取等号，故数列{bn}中的最小项是第4项，该项的值为23.专题三第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学(2013·湖北七市联考)数列{an}是公比为12的等比数列，且1－a2是a1与1＋a3的等比中项，前n项和为Sn；数列{bn}是等差数列，b1＝8，其前n项和Tn＝nλ·bn＋1(λ为常数，且λ≠1)．(1)求数列{an}的通项公式及λ的值；(2)比较1T1＋1T2＋1T3＋…＋1Tn与12Sn的大小．专题三第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学[解析](1)由题意得(1－a2)2＝a1(a3＋1)，即(1－12a1)2＝a1(14a1＋1)，解得a1＝12，∴an＝(12)n.又T1＝λb2，T2＝2λb3，即8＝λ8＋d，16＋d＝2λ8＋2d，解得λ＝12，d＝8或λ＝1，d＝0.(舍)，∴λ＝12.专题三第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学(2)由(1)知Sn＝1－(12)n，∴12Sn＝12－(12)n＋1≥14，①又Tn＝4n2＋4n，1Tn＝14nn＋1＝14(1n－1n＋1)，∴1T1＋1T2＋…＋1Tn＝14(1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1)＝14(1－1n＋1)14，②由①②可知1T1＋1T2＋…＋1Tn12Sn.专题三第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝4an－p(n∈N*)，其中p是不为零的常数．(1)证明：数列{an}是等比数列；(2)当p＝3时，若数列{bn}满足bn＋1＝an＋bn(n∈N*)，b1＝2，求数列{bn}的通项公式．专题三第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学[解析](1)证明：因为Sn＝4an－p(n∈N*)，则Sn－1＝4an－1－p(n∈N*，n≥2)，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4an－4an－1，整理得an＝43an－1.由Sn＝4an－p，令n＝1，得a1＝4a1－a，解得a1＝p3.所以{an}是首项为p3，公比为43的等比数列．专题三第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学(2)因为a1＝1，则an＝(43)n－1，由bn＋1＝an＋bn(n＝1,2，…)，得bn＋1－bn＝(43)n－1，当n≥2时，由累加法得bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝2＋1－43n－11－43＝3(43)n－1－1，当n＝1时，上式也成立．∴bn＝3·(43)n－1－1.专题三第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学[方法规律总结]1．求基本量的问题，熟记等差、等比数列的定义、通项及前n项和公式，利用公式、结合条件，建立方程求解．2．证明数列是等差(等比)数列时，应用定义分析条件，结合性质进行等价转化.专题三第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学(2012·河北临漳一中模拟)等差数列{an}前17项和S17＝51，则a5－a7＋a9－a11＋a13＝()A．17B．6C．3D．51等差、等比数列的性质[答案]C[解析]∵S17＝17a9＝51，∴a9＝3，∴a5－a7＋a9－a11＋a13＝(a5＋a13)＋a9－(a7＋a11)＝a9＝3.专题三第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学(2013·合肥市质检)以Sn表示等差数列{an}的前n项和，若S5S6，则下列不等关系不一定成立的是()A．2a33a4B．5a5a1＋6a6C．a5＋a4－a30D．a3＋a6＋a122a7[答案]D专题三第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学[解析]依题意得a6＝S6－S50,2a3－3a4＝2(a1＋2d)－3(a1＋3d)＝－(a1＋5d)＝－a60,2a33a4；5a5－(a1＋6a6)＝5(a1＋4d)－a1－6(a1＋5d)＝－2(a1＋5d)＝－2a60,5a5a1＋6a6；a5＋a4－a3＝(a3＋a6)－a3＝a60.综上所述，故选D.专题三第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学[方法规律总结]条件或结论中涉及等差或等比数列中的两项或多项的关系时，先观察分析下标之间的关系，再考虑能否应用性质解决，要特别注意等差、等比数列性质的区别.专题三第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学(文)(2013·四川理，16)在等差数列{an}中，a1＋a3＝8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{an}的首项、公差及前n项和．递推关系与求和专题三第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学[解析]设该数列公差为d，前n项和为Sn.由已知可得，2a1＋2d＝8，(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋8d)．所以，a1＋d＝4，d(d－3a1)＝0，解得a1＝4，d＝0，或a1＝1，d＝3，即数列{an}的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3.所以，数列的前n项和Sn＝4n或Sn＝3n2－n2.专题三第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学(理)(2013·湖北文，19)已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2＋a3＋a4＝－18.(1)求数列{an}的通项公式；(2)是否存在正整数n，使得Sn≥2013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由．专题三第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学[解析](1)设数列{an}的公比为q，则a1≠0，q≠0，由题意得S2－S4＝S3－S2，a2＋a3＋a4＝－18.即－a1q2－a1q3＝a1q2，a1q1＋q＋q2＝－18.解得a1＝3，q＝－2.故数列{an}的通项公式为an＝3×(－2)n－1.专题三第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学(2)由(1)有Sn＝3·[1－－2n]1－－2＝1－(－2)n.若存在n，使得Sn≥2013，则1－(－2)n≥2013，即(－2)n≤－2012.当n为偶数时，(－2)n0，上式不成立；当n为奇数时，(－2)n＝－2n≤－2012，即2n≥2012，则n≥11.综上，存在符合条件的正整数n，且所有这样的n的集合为{n|n＝2k＋1，k∈N，k≥5}．专题三第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学(文)(2012·河南六市联考)已知数列{an}的前n项和是Sn，且2Sn＝2－an.(1)求数列{an}的通项公式；(2)记bn＝an＋n，求数列{bn}的前n项和Tn.专题三第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学[解析](1)∵当n＝1时，2S1＝2－a1，∴2a1＝2－a1，∴a1＝23；当n≥2时，2Sn＝2－an2S