概率论与数理统计(浙大版)第五章第六章课件

1第五章大数定律和中心极限定理关键词：契比雪夫不等式大数定律中心极限定理2§1大数定律背景本章的大数定律，对第一章中提出的“频率稳定性”，给出理论上的论证为了证明大数定理，先介绍一个重要不等式222225.1,0,1XEXDXPXEXPXEX定理契比雪夫不等式：设随机变量具有数学期望方差则对于任意都有：定理的为：等价形式,fx证明：仅就X为连续型时证之设X的概率密度为xPXfxdx则22xxfxdx221xfxdx222DX()fx5例1：在n重贝努里试验中，若已知每次试验事件A出现的概率为0.75，试利用契比雪夫不等式估计n,使A出现的频率在0.74至0.76之间的概率不小于0.90。nA解：设在重贝努里试验中，事件出现的次数为X，,0.75bn则X,0.75,0.1875,EXnpnDXnpqnnXfAn又0.740.760.750.01XPPXnnn而20.187510.01nn187510.90n18750n6随机变量序列依概率收敛的定义1235.1,,,,0,0,nnnXXlimPXXpn。定义：设随机变量序列X若存在某常数，使得均有：则称随机变量序列依概率收敛于常数，记为：X()pXgxxnpgXgn性质：已知，并知函数在=处连续，则122115.2,,,,101limlim1nnnkknnknnkXXnYXnPYPXn定理契比雪夫不等式的特殊情形：设随机变量序列X相互独立，且具有相同的数学期望和相同的方差，作前个随机变量的算术平均：则，有：111,nnkkEYEXnnn证明：由于11nnkkDYDXn211nkkDXn2221nnn22111nkknPXn由契比雪夫不等式得：111nknklimPXn[辛钦大数定理（弱大数定理）]设X1,X2,…,Xn…为独立、同分布的随机变量，且有相同的数学期望E（Xi）=（i=1,2,…），则对0，有11lim1niinXnP1nii=1XXn或者，序列以概率收敛于PX即903,3,4分大数定律的重要意义：贝努里大数定律建立了在大量重复独立试验中事件出现频率的稳定性，正因为这种稳定性，概率的概念才有客观意义，贝努里大数定律还提供了通过试验来确定事件概率的方法，既然频率nA/n与概率p有较大偏差的可能性很小，我们便可以通过做试验确定某事件发生的频率并把它作为相应的概率估计，这种方法即是在第7章将要介绍的参数估计法，参数估计的重要理论基础之一就是大数定理。5.3,0,1AAnApnnnAlimPpn定理贝努里大数定理设事件在每次试验中发生的概率为，记为次独立重复试验中发生的次数则有：,,Anbnp证明：利用契比雪夫不等式，因故：11,AAnEEnnppnnn20,1AnpqPpnn于是，有2211AAnpqDDnnpqnnnn1AnnlimPpn即得：11§2中心极限定理背景：有许多随机变量，它们是由大量的相互独立的随机变量的综合影响所形成的，而其中每个个别的因素作用都很小，这种随机变量往往服从或近似服从正态分布，或者说它的极限分布是正态分布，中心极限定理正是从数学上论证了这一现象，它在长达两个世纪的时期内曾是概率论研究的中心课题。5.4定理独立同分布的中心极限定理2110,1.(,),()()().nniinYNNnnbnanPaXbnnnii＝此定理表明，当充分大时，近似服从即：X（近似）～从而，1Xnii=1思考题：X的近似n分布是什么？2(,)Nn答案：2122112,,,,,0,1,2,1,2niiniinnitxinnnXXEXDXiXnnYnXnxRlimPYxlimPxedtn设随机变量X相互独立同分布，则前个变量的和的标准化变量为：有：证明略。在实用上，n≥3002，4，3分145.5定理德莫佛--拉普拉斯定理2215.4,(1)2txAnnnplimPxedtnpp由定理10iiAiA第次试验时发生证明：令X第次试验时未发生2201,1lim(),(1)2AtxAnnnAPAppnnpxPxedtxnpp设为次贝努里试验中发生的次数，则对任意，有：12,,,,~(1,).nXXbpi则X相互独立同分布,X12,AnnXXX由于()~(,(1)).NnpnppA即:n近似()(1)()(1)APanbbnpnppanpnpp二项分布和正态分布的关系示意例图16例2：设某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现随机取得16只，设它们的寿命是相互独立的,求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率。121616,,,,XX解：记只电器元件的寿命分别为X16116iiX则只电器元件的寿命总和为X,2100,100iiEXDX由题设1611610016000,14100400iiXXN根据独立同分布的中心极限定理:Y近似服从192011920PXPX19201600140010.80.211917例3：某保险公司的老年人寿保险有1万人参加，每人每年交200元,若老人在该年内死亡，公司付给受益人1万元。设老年人死亡率为0.017，试求保险公司在一年内这项保险亏本的概率。200PX,,10000,0.017bnpnp解：设X为一年中投保老人的死亡数，则X由德莫佛--拉普拉斯中心极限定理，保险公司亏本的概率为：1000010000200PX20011npnpp12.3210.0110思考题：求保险公司至少盈利万元的概率。答案：0.93718例4：设某工厂有400台同类机器，各台机器发生故障的概率都是0.02，各台机器工作是相互独立的，试求机器出故障的台数不小于2的概率。4000.020.982.8121(1)170.99382.8npqnpPXPXnpq,400,0.02b解：设机器出故障的台数为X则X，分别用三种方法计算：1.用二项分布计算400399210110.984000.020.980.9972PXPXPX2.用泊松分布近似计算4000.028210110.0003350.0026840.9969npPXPXPX查表得3.用正态分布近似计算19作业题•P95：1920第五章复习21222225.1,0,1XEXDXPXEXPXEX定理契比雪夫不等式：设随机变量具有数学期望方差则对于任意都有：定理的为：等价形式,fx证明：仅就X为连续型时证之设X的概率密度为xPXfxdx则22xxfxdx221xfxdx222DX()fx22122115.2,,,,101limlim1nnnkknnknnkXXnYXnPYPXn定理契比雪夫不等式的特殊情形：设随机变量序列X相互独立，且具有相同的数学期望和相同的方差，作前个随机变量的算术平均：则，有：111,nnkkEYEXnnn证明：由于11nnkkDYDXn211nkkDXn2221nnn22111nkknPXn由契比雪夫不等式得：111nknklimPXn[辛钦大数定理（弱大数定理）]设X1,X2,…,Xn…为独立、同分布的随机变量，且有相同的数学期望E（Xi）=（i=1,2,…），则对0，有11lim1niinXnP1nii=1XXn或者，序列以概率收敛于PX即大数定律的重要意义：贝努里大数定律建立了在大量重复独立试验中事件出现频率的稳定性，正因为这种稳定性，概率的概念才有客观意义，贝努里大数定律还提供了通过试验来确定事件概率的方法，既然频率nA/n与概率p有较大偏差的可能性很小，我们便可以通过做试验确定某事件发生的频率并把它作为相应的概率估计，这种方法即是在第7章将要介绍的参数估计法，参数估计的重要理论基础之一就是大数定理。5.3,0,1AAnApnnnAlimPpn定理贝努里大数定理设事件在每次试验中发生的概率为，记为次独立重复试验中发生的次数则有：,,Anbnp证明：利用契比雪夫不等式，因故：11,AAnEEnnppnnn20,1AnpqPpnn于是，有2211AAnpqDDnnpqnnnn1AnnlimPpn即得：5.4定理独立同分布的中心极限定理2110,1.(,),()()().nniinYNNnnbnanPaXbnnnii＝此定理表明，当充分大时，近似服从即：X（近似）～从而，1Xnii=1思考题：X的近似n分布是什么？2(,)Nn答案：2122112,,,,,0,1,2,1,2niiniinnitxinnnXXEXDXiXnnYnXnxRlimPYxlimPxedtn设随机变量X相互独立同分布，则前个变量的和的标准化变量为：有：证明略。在实用上，n≥305.5定理德莫佛--拉普拉斯定理2215.4,(1)2txAnnnplimPxedtnpp由定理10iiAiA第次试验时发生证明：令X第次试验时未发生2201,1lim(),(1)2AtxAnnnAPAppnnpxPxedtxnpp设为次贝努里试验中发生的次数，则对任意，有：12,,,,~(1,).nXXbpi则X相互独立同分布,X12,AnnXXX由于()~(,(1)).NnpnppA即:n近似()(1)()(1)APanbbnpnppanpnpp二项分布和正态分布的关系27第六章数理统计的基本概念关键词：总体个体样本统计量2分布t分布F分布28补充统计图：直方图和箱线图•直方图：概念演示;函数historimhist•频率直方图（概率直方图）概念2222222222222212212212212212212212212212212212212202202202202202192