【步步高高考数学总复习】第七编 不等式

1第七编不等式§7.1不等关系与不等式基础自测1.已知-1＜a＜0,那么-a,-a3,a2的大小关系是（）A.a2＞-a3＞-aB.-a＞a2＞-a3C.–a3＞a2＞-aD.a2＞-a＞-a3答案B2.若m＜0,n＞0且m+n＜0，则下列不等式中成立的是()A.-n＜m＜n＜-mB.-n＜m＜-m＜nC.m＜-n＜-m＜nD.m＜-n＜n＜-m答案D3.已知a＜0,-1＜b＜0,那么下列不等式成立的是（）A.a＞ab＞ab2B.ab2＞ab＞aC.ab＞a＞ab2D.ab＞ab2＞a答案D4.（2008·厦门模拟）yx＞1的一个充分不必要条件是（A.x＞yB.x＞y＞0C.x＜yD.y＜x＜0答案B5.设甲:m,n满足,30,42mnnm乙:m,n满足,32,10nm那么（A.2B.C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件,答案B例1（1）设x＜y＜0,试比较(x2+y2)(x-y)与(x2-y2)(x+y)的大小；（2）已知a,b,c∈{正实数}，且a2+b2=c2,当n∈N,n＞2时比较cn与an+bn的大小.解（1）方法一（x2+y2）(x-y)-(x2-y2)(x+y)=(x-y)［x2+y2-(x+y)2］=-2xy(x-y),∵x＜y＜0,∴xy＞0,x-y＜0,∴-2xy(x-y)＞0,∴(x2+y2)(x-y)＞(x2-y2)(x+y).方法二∵x＜y＜0,∴x-y＜0,x2＞y2,x+y＜0.∴(x2+y2)(x-y)＜0,(x2-y2)(x+y)＜0,∴0＜))(())((2222yxyxyxyx=xyyxyx22222＜1,∴(x2+y2)(x-y)＞(x2-y2)(x+y).(2)∵a,b,c∈{正实数}，∴an,bn,cn＞0,而nnncba=nca+ncb.∵a2+b2=c2,则2ca+2cb=1,∴0＜ca＜1,0＜cb＜1.∵n∈N,n＞2,∴nca＜2ca,ncb＜2cb,∴nnncba=nca+ncb＜222cba=1,3∴an+bn＜cn.例2已知a、b、c是任意的实数，且a＞b,则下列不等式恒成立的为（）A.(a+c)4＞(b+c)4B.ac2＞bc2C.lg|b+c|＜lg|a+c|D.(a+c)31＞(b+c)31答案D例3（12分）已知-1＜a+b＜3且2＜a-b＜4,求2a+3b的取值范围.解设2a+3b=m(a+b)+n(a-b),∴32nmnm,2分∴m=25,n=-21.4分∴2a+3b=25(a+b)-21(a-b).5分∵-1＜a+b＜3,2＜a-b＜4,∴-25＜25(a+b)＜215,-2＜-21(a-b)＜-1,8分∴-29＜25(a+b)-21(a-b)＜213,10分即-29＜2a+3b＜213.12分1.（1）比较x6+1与x4+x2的大小，其中x∈R;(2)设a∈R,且a≠0,试比较a与a1的大小.解（1）（x6+1）-（x4+x2）=x6-x4-x2+1=x4(x2-1)-(x2-1)=(x2-1)(x4-1)=(x2-1)(x2-1)(x2+1)=(x2-1)2(x2+1).当x=±1时，x6+1=x4+x2;4当x≠±1时，x6+1＞x4+x2.（2）a-a1=aa12=aaa)1)(1(当-1＜a＜0或a＞1时,a＞a1；当a＜-1或0＜a＜1时,a＜a1；当a=±1时,a=a1.2.适当增加不等式条件使下列命题成立：(1)若a＞b,则ac≤bc;(2)若ac2＞bc2,则a2＞b2;(3)若a＞b,则lg(a+1)＞lg(b+1);(4)若a＞b,c＞d,则da＞cb;(5)若a＞b,则a1＜b1.解(1)原命题改为：若a＞b且c≤0，则ac≤bc,即增加条件“c≤0”.(2)由ac2＞bc2可得a＞b,但只有b≥0时，才有a2＞b2,即增加条件“b≥0”.(3)由a＞b可得a+1＞b+1,但作为真数，应有b+1＞0,故应加条件“b＞-1”.（4）da＞cb成立的条件有多种，如a＞b＞0,c＞d＞0,因此可增加条件“b＞0,d＞0”.还可增加条件为“a＜0,c＞0,d＜0”.(5)a1＜b1成立的条件是a＞b,ab＞0或a＜0,b＞0,故增加条件为“ab＞0”.3.设f(x)=ax2+bx,1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围.解方法一设f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m,n为待定系数),则4a-2b=m(a-b)+n(a+b),即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b,于是得24mnnm,解得13nm,∴f(-2)=3f(-1)+f(1).又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,5∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,故5≤f(-2)≤10.方法二由bafbaf)1()1(,得)1()1(21)1()1(21ffbffa,∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1).又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,故5≤f(-2)≤10.方法三由4221baba确定的平面区域如图.当f(-2)=4a-2b过点A2123,时,取得最小值4×23-2×21=5,当f(-2)=4a-2b过点B(3,1)时,取得最大值4×3-2×1=10,∴5≤f(-2)≤10.一、选择题1.已知a,b,c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中不恒成立的是（）A.ab＞acB.cab＞0C.cb2＞ca2D.acca＜0答案C2.已知a、b、c满足c＜b＜a,且ac＜0,那么下列选项中一定成立的是（）A.ab＞acB.c(b-a)＜0C.cb2＜ab2D.ac(a-c)＞0答案A63.设a＞1＞b＞-1,则下列不等式恒成立的是（）A.ba11B.ba11C.221baD.ab2答案D4.(2009·杭州模拟)已知三个不等式：ab0，bc-ad0,bdac0(其中a,b,c,d均为实数),用其中两个不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,可组成的正确命题的个数是（A.0B.1C.2D.3答案D5.已知函数f(x)=log2(x+1),设a＞b＞c＞0,则aaf)(,bbf)(,ccf)(的大小关系为()A.aaf)(＜ccf)(＜bbf)(B.aaf)(＜bbf)(＜ccf)(C.ccf)(＜aaf)(＜bbf)(D.ccf)(＜bbf)(＜aaf)(答案B6.若x＞y＞1,且0＜a＜1,则①ax＜ay;②logax＞logay;③x-a＞y-a;④logxa＜logya.其中不成立的个数是（）A.1B.2C.3D.4答案C二、填空题7.已知a+b＞0，则2ba+2ab与a1+b1的大小关系是.答案2ba+2ab≥a1+b18.给出下列四个命题：①若a＞b＞0,则a1＞b1;②若a＞b＞0,则a-a1＞b-b1;③若a＞b＞0,则baba22＞ba;④设a,b是互不相等的正数，则|a-b|+ba1≥2.其中正确命题的序号是.（把你认为正确命题的序号都填上）7答案②三、解答题9.比较aabb与abba（a,b为不相等的正数）的大小.解abbababa=aa-bbb-a=baba,当a＞b＞0时，ba＞1,a-b＞0,∴baba＞1；当0＜a＜b时，ba＜1,a-b＜0,∴baba＞1.综上所述，总有aabb＞abba.10.已知奇函数f(x)在区间(-∞,+∞)上是单调递减函数,,,∈R且+＞0,+＞0,+＞0.试说明f()+f()+f()的值与0的关系.解由+＞0,得＞-.∵f(x)在R上是单调减函数,∴f()＜f(-).又∵f(x)为奇函数,∴f()＜-f(),∴f()+f()＜0,同理f()+f()＜0,f()+f()＜0,∴f()+f()+f()＜0.11.某个电脑用户计划使用不超过1000元的资金购买单价分别为80元、90元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买4盒，写出满足上述所有不等关系的不等式.解设买软件x片、磁盘y盒,则x、y满足关系：yxyxyx4300019080.12.已知a＞0,a2-2ab+c2=0,bc＞a2.试比较a,b,c的大小.解∵bc＞a2＞0,∴b,c同号.又a2+c2＞0,a＞0,∴b=aca222＞0,∴c＞0,由(a-c)2=2ab-2ac=2a(b-c)≥0,∴b-c≥0.当b-c＞0,即b＞c时,N+N+8由2222abcacabaca222·c＞a2(a-c)(2a2+ac+c2)＜0.∵a＞0,b＞0,c＞0,∴2a2+ac+c2＞0,∴a-c＜0,即a＜c,则a＜c＜b；当b-c=0,即b=c时,∵bc＞a2,∴b2＞a2,即b≠a.又∵a2-2ab+c2=(a-b)2=0a=b与a≠b矛盾,∴b-c≠0.综上可知:a＜c＜b.§7.2一元二次不等式及其解法基础自测1.下列结论正确的是（）A.不等式x2≥4的解集为{x|x≥±2}B.不等式x2-9＜0的解集为{x|x＜3}C.不等式(x-1)2＜2的解集为{x|1-2＜x＜1+2}D.设x1,x2为ax2+bx+c=0的两个实根，且x1＜x2,则不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}答案C2.（2007·湖南理,2）不等式12xx≤0的解集是（）A.（-∞,-1）2,1B.2,1C.（-∞,-1）,2D.2,1答案D93.（2008·天津理,8）已知函数f(x)=,0,1,0,1xxxx则不等式x+(x+1)·f(x+1)≤1的解集是()A.121|xxB.1|xxC.12|xxD.1212|xx答案C4.在R上定义运算:xy=x(1-y).若不等式(x-a)(x+a)＜1对任意实数x成立,则()A.-1＜a＜1B.0＜a＜2C.-21＜a＜23D.-23＜a＜21答案C5.(2008·江苏，4)A={x|(x-1)2＜3x-7}，则A∩Z的元素的个数为.答案0例1解不等式23352x≥21(x2-9)-3x.解原不等式可化为-23x2+25≥21x2-29-3x,即2x2-3x-7≤0.解方程2x2-3x-7=0,得x=4653.所以原不等式的解集为4654346543xx.例2已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为(,),且0＜＜,求不等式cx2+bx+a＜0的解集.解方法一由已知不等式的解集为(,)可得a＜0,∵，为方程ax2+bx+c=0的两根，∴由根与系数的关系可得00)(acab∵a＜0,∴由②得c＜0,①②10则cx2+bx+a＜0可化为x2+xcb+ca＞0,①÷②得cb=)(=-11＜0,由②得ca=1=1·1＞0,∴1、1为方程x2+cbx+ca=0的两根.∵0＜＜,∴不等式cx2+bx+a＜0的解集为11xxx或.方法二由已知不等式解集为(,),得a＜0,且，是ax2+bx+c=0的两根，∴+=-ab,=ac,∴cx2+bx+a＜0acx2+abx+1＞0()x2-(+)x+1＞0(x-1)(x-1)＞01x1x＞0.∵0＜＜,∴1＞1,∴x＜1或x＞1,∴cx2+bx+a＜0的解集为