二面角及其度量

人造卫星部分记录名称国家发射日期轨道倾角卫星-1前苏联1957.10.465°探险者-1美国1958.1.3133.34°东方红-1中国1970.4.2468.44°地平线-1以色列1988.9.19142.9°修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度，如何从数学的观点认识这种现象？直线上的一点将直线分割成两部分，每一部分都叫做射线.射线射线平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，每一部分都叫做半平面。思考：平面上的一条直线将平面分割成两部分，每一部分叫什么名称？αl将一个平面沿平面上的一条直线折起，得到的空间图形称为什么？在平面几何中“角”是怎样定义的？答：从平面内一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。将一条直线沿直线上一点折起，得到的平面图形是一个角．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。l半平面半平面一、二面角定义lAB二面角－AB－l二面角－l－二面角C－AB－DABCD5OBA∠AOB二、二面角的表示方法：角BAO边边顶点从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。定义构成边—点—边（顶点）表示法∠AOBAB面面棱a从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。面—直线—面（棱）二面角—l—或二面角—AB—图形二面角对比平面角与二面角三、二面角的画法请同学们把自己的课本打开一定的角度，并改变放法归纳出两种画法：平卧式和直立式四、二面角的度量请同学们将书本打开、合上，注意观察这一过程中两个面的相对位置发现：各二面角的“开合程度”，即大小不一样想一想：该怎样度量二面角的大小呢？还用量角器吗？回归生活，应用新知你知道木工在测量工件的两个面所成角时，活动角尺是怎样放的吗？从二面角的棱上任一点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。αβB。OAB1。O1A1等角定理若一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向相同，则这两个角相等。小结：1.二面角就是用它的平面角来度量的。一个二面角的平面角多大，我们就说这个二面角是多少度的二面角。2.二面角的平面角与点（或垂直平面）的位置无任何关系，只与二面角的张角大小有关。演示二面角的平面角必须满足：3）与棱垂直1）点在棱上2）线在面内以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。10lOAB规定：二面角的范围是180,0平面角是直角的二面角叫做直二面角互相垂直的平面就是相交成直二面角的两个平面作二面角的平面角的常用方法①、点P在棱上②、点P在一个半平面上③、点P在二面角内ιpαβABABpαβιABOαβιp—定义法—三垂线定理法—垂面法二面角的计算：1、找到或作出二面角的平面角2、证明1中的角就是所求的角3、计算出此角的大小一“作”二“证”三“计算”161、如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上任一点，则二面角P-BC-A的平面角为:A.∠ABPB.∠ACPC.都不是练习2、已知P为二面角内一点，且P到两个半平面的距离都等于P到棱的距离的一半，则这个二面角的度数是多少？pαβιABOABCP60º二面角回忆：1.异面直线所成角：cos|cos,|ab2.直线与平面所成角：sincos,nAB||ABCD1DABOnabanlcoscos,ABCDABCDABCDDCBA类比：二面角：1.方向向量法注意：向量AB,CD的方向ll三、面面角：二面角的范围：[0,]2.法向量法1n1n2n2n12nn，12nn，12nn，12nn，cos12cos,nncos12cos,nn注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角例1、已知在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，CD=217cm，求二面角的度数CDAB222222()(217)6482cos,CDCAABBDCABDCABD1cos,21cos,2CABDACBD3EABCA`M例2、已知：如图⊿ABC的顶点A在平面M上的射影为点A`，⊿ABC的面积是S，⊿A`BC的面积是S`，设二面角A-BC-A`为求证：S`=SCOSD