2017年士兵高中军校数学模拟卷

1军校模拟试卷（六）一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数1yxx的值域为（）．A．[0,)B．[0,2]C．[2,)D．[1,2]2．已知{(,)|2},{(,)|4}MxyxyNxyxy，则MN（）．A．3,1xyB．(3,1)C．{3,1}D．{(3,1)}3．若ln2ln3ln5,,235abc，则（）．A．abcB．cbaC．cabD．bac4．设nS是等差数列na的前n项和，若5359aa,则95SS的值等于（）．A．1B．1C．2D．215．等边△ABC中的边长为2，则AB·BC的值为()．A．4B．4C．2D．26．某学校召开学生代表大会，6个代表名额分配到高二年级的3个班，要求每班至少1名，则代表名额分配方案种数是（）．A．64B．36C．24D．107．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定8．已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x＋1)＝1f（x），若f(x)在[－1，0]上是减函数，那么f(x)在[2，3]上是()A．增函数B．减函数C．先增后减的函数D．先减后增的函数9．若锐角的终边上有一点(2sin3,2cos3)，则锐角的弧度数是（）．A．3B．3C．32D．32二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分，把答案填在题中横线上．1．若实数0,0xy，且3412xy，则lglgxy的最大值是_______________．2．函数2()2sinsin1fxxx的定义域是_______________．3．若sinsinsin0,coscoscos0,则cos()的值是．24．在21(2)2nxx的展开式中，2x的系数是224，则21x的系数是_______________．5．已知椭圆的焦点12(1,0),(1,0)FF，P是椭圆上一点，且12||FF是1||PF，2||PF的等差中项，则椭圆的标准方程是_______________．6．抛物线xy62的准线方程为_______________．7．点,AB到平面的距离分别为4cm和6cm，则线段AB的中点M到平面的距离为_______________．8.)2121211(lim2nx。三、解答题(共82分)：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．1．（本小题满分6分）已知loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n.2．（本小题满分10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2b－c)cosA－acosC＝0.(1)求角A的大小；(2)若a＝3，S△ABC＝334，试判断△ABC的形状，并说明理由．四．（本小题满分12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1且3an＋1＋2Sn＝3(n为正整数)．3(1)求{an}的通项公式；(2)若∀n∈N*，32k≤Sn恒成立，求实数k的最大值．五.(14分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列．(注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数字的中位数)六．（本小题满分13分）已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，若x＝23时，y＝f(x)有极值．(1)求a，b，c的值；(2)求y＝f(x)在[－3，1]上的最大值和最小值．4七．（本小题满分13分）已知双曲线C的两个焦点坐标分别为F1(－2，0)，F2(2，0)，双曲线C上一点P到F1，F2距离差的绝对值等于2.(1)求双曲线C的标准方程；(2)经过点M(2，1)作直线l交双曲线C的右支于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程．八．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．(1)证明：BE⊥DC；(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；(3)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F­AB­P的余弦值．答案与解析：5一、1．Ｄ2．D3．C4．A5．D6．D7．B8．A9．C7\(1)因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2＞1，从而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝|a·0＋b·0－1|a2＋b2＝1a2＋b2＜1，所以直线与圆相交．8\由题意知f(x＋2)＝1f（x＋1）＝f(x)，所以f(x)的周期为2，又函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x)在[－1，0]上是减函数，则f(x)在[0，1]上是增函数，所以f(x)在[2，3]上是增函数．二、1．lg32．53[2,2]{|2}()662kkxxkkZ3．124．145.22143xy6．32x7．5cm或1cm8.2三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．1．（本小题满分6分）已知loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n.∵loga2＝m，loga3＝n，∴am＝2，an＝3，∴a2m＋n＝(am)2·an＝22×3＝12.2．（本小题满分10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2b－c)cosA－acosC＝0.(1)求角A的大小；(2)若a＝3，S△ABC＝334，试判断△ABC的形状，并说明理由．解：(1)法一：由(2b－c)cosA－acosC＝0及正弦定理，得(2sinB－sinC)cosA－sinAcosC＝0，∴2sinBcosA－sin(A＋C)＝0，sinB(2cosA－1)＝0.∵0Bπ，∴sinB≠0，∴cosA＝12.∵0Aπ，∴A＝π3.法二：由(2b－c)cosA－acosC＝0及余弦定理，得(2b－c)·b2＋c2－a22bc－a·a2＋b2－c22ab＝0，整理，得b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝12，∵0Aπ，∴A＝π3.(2)△ABC为等边三角形．∵S△ABC＝12bcsinA＝334，即12bcsinπ3＝334，∴bc＝3，①∵a2＝b2＋c2－2bccosA，a＝3，A＝π3，6∴b2＋c2＝6，②由①②得b＝c＝3，∴△ABC为等边三角形．四．（本小题满分12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1且3an＋1＋2Sn＝3(n为正整数)．(1)求{an}的通项公式；(2)若∀n∈N*，32k≤Sn恒成立，求实数k的最大值．解：(1)当n＝1时，a1＝1，3an＋1＋2Sn＝3⇒a2＝13；当n≥2时，3an＋1＋2Sn＝3⇒3an＋2Sn－1＝3，得3(an＋1－an)＋2(Sn－Sn－1)＝0，因此3an＋1－an＝0，即an＋1an＝13，因为a2a1＝13，所以数列{an}是首项a1＝1，公比q＝13的等比数列，所以an＝13n－1.(2)因为∀n∈N*，32k≤Sn恒成立，Sn＝321－13n，即32k≤321－13n，所以k≤1－13n.令f(n)＝1－13n，n∈N*，所以f(n)单调递增，k只需小于等于f(n)的最小值即可，当n＝1时，f(n)取得最小值，所以k≤f(1)＝1－13＝23，实数k的最大值为23.五.(14分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列．(注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数字的中位数)解：(1)由古典概型的概率计算公式知所求概率为p＝C34＋C33C39＝584.(2)X的所有可能值为1，2，3，且P(X＝1)＝C24C15＋C34C39＝1742，P(X＝2)＝C13C14C12＋C23C16＋C33C39＝4384，P(X＝3)＝C22C17C39＝112.故X的分布列为X123P17424384112六．（本小题满分13分）7已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，若x＝23时，y＝f(x)有极值．(1)求a，b，c的值；(2)求y＝f(x)在[－3，1]上的最大值和最小值．解：(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0，①当x＝23时，y＝f(x)有极值，则f′23＝0，可得4a＋3b＋4＝0，②由①②，解得a＝2，b＝－4.由于切点的横坐标为1，所以f(1)＝4.所以1＋a＋b＋c＝4.所以c＝5.(2)由(1)，可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，f′(x)＝3x2＋4x－4.令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝23.当x变化时，f′(x)，f(x)的取值及变化情况如下表所示：x－3(－3，－2)－2－2，232323，11f′(x)＋＋0－0＋＋f(x)81395274所以y＝f(x)在[－3，1]上的最大值为13，最小值为9527.七．（本小题满分13分）已知双曲线C的两个焦点坐标分别为F1(－2，0)，F2(2，0)，双曲线C上一点P到F1，F2距离差的绝对值等于2.(1)求双曲线C的标准方程；(2)经过点M(2，1)作直线l交双曲线C的右支于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程．解：(1)依题意，得双曲线C的实半轴长为a＝1，焦半距为c＝2，所以其虚半轴长b＝c2－a2＝3.又其焦点在x轴上，所以双曲线C的标准方程为x2－y23＝1.(2)设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则3x21－y21＝3，3x22－y22＝3，两式相减，得3(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0.因为M(2，1)为AB的中点，所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.所以12(x1－x2)－2(y1－y2)＝0，即kAB＝y1－y2x1－x2＝6.故AB所在直线l的方程为y－1＝6(x－2)，即6x－y－11＝0.八．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．8(1)证明：BE⊥DC；(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；(3)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F­AB­P的余弦值．解：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系如图，可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)．由E为棱PC的中点，得E(1，1，1)．(1)证明：BE→＝(0，1，1)，DC→＝(2，0，0)，故BE→·DC→＝0，所以，BE⊥DC.(2)BD→＝(－1，2，0)，PB→＝(1，0，－2)．设n＝(x，y，z)为平面PBD的法向量，则n·BD→＝0，n·PB→＝0，即－x＋2y＝0，x－2z＝0.不妨令y＝1，可得n＝(2，1，1)为平面PBD的一个法向量．于是有cos〈n，BE→〉＝n·BE→|n|·|BE→|＝26×2＝33，所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为33.(3)BC→＝(1，2，0)，CP→＝(－2，－2，2)，AC→＝(2，2，0)，AB→＝(1，0，0)．由点F在棱PC上，设CF→＝λCP→，0≤λ≤1，故BF→＝BC→＋CF→＝BC→＋λCP→＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．由B