交大版(第四版)大学物理上册答案

1-==\习题11-1．已知质点位矢随时间变化的函数形式为(cossin)r=Rωtiωtj其中为常量．求：（1）质点的轨道；(2)速度和速率。解：(1)由(cossin)r=Rωtiωtj，知：cosxRt，sinyRt消去t可得轨道方程：222xyR∴质点的轨道为圆心在（0，0）处，半径为R的圆；（2）由drvdt，有速度：sinRcosvRtitj而vv，有速率：1222[(sin)(cos)]vRtRtR。1-2．已知质点位矢随时间变化的函数形式为24(32)rtitj，式中r的单位为m，t的单位为s。求：（1）质点的轨道；（2）从0t到1t秒的位移；（3）0t和1t秒两时刻的速度。解：（1）由24(32)rtitj，可知24xt，32yt消去t得轨道方程为：x2(3)y，∴质点的轨道为抛物线。（2）由drvdt，有速度：82vtij从0t到1t秒的位移为：1100(82)42rvdttijdtij（3）0t和1t秒两时刻的速度为：(0)2vj，(1)82vij。1-3．已知质点位矢随时间变化的函数形式为22rtitj，式中r的单位为m，t的单位为s.求：（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。2解：(1)由drvdt，有：22vtij，dvadt，有：2ai；（2）而vv，有速率：12222[(2)2]21vtt∴tdvadt221tt，利用222tnaaa有：22221ntaaat。1-4．一升降机以加速度a上升，在上升过程中有一螺钉从天花板上松落，升降机的天花板与底板相距为d，求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。解法一：以地面为参照系，坐标如图，设同一时间内螺钉下落的距离为1y，升降机上升的高度为2y，运动方程分别为21012yvtgt（1）22012yvtat（2）12yyd（3）（注意到1y为负值，有11yy）联立求解，有：2dtga。解法二：以升降机为非惯性参照系，则重力加速度修正为'gga，利用21'2dgt，有：22'ddtgga。1yyx0vd2y0vo31-5．一质量为m的小球在高度h处以初速度0v水平抛出，求：（1）小球的运动方程；（2）小球在落地之前的轨迹方程；（3）落地前瞬时小球的drdt，dvdt，dvdt。解：（1）如图，可建立平抛运动学方程：0xvt，212yhgt，∴201()2rvtihgtj；（2）联立上面两式，消去t得小球轨迹方程：2202gxyhv（为抛物线方程）；（3）∵201()2rvtihgtj，∴0drvigtjdt，即：0vvigtj，dvgjdt在落地瞬时，有：2htg，∴02drvighjdt又∵v22220()xyvvvgt，∴2122220022[()]gghgtdvdtvghvgt。1-6．路灯距地面的高度为1h，一身高为2h的人在路灯下以匀速1v沿直线行走。试证明人影的顶端作匀速运动，并求其速度2v.证明：设人向路灯行走，t时刻人影中头的坐标为1x，足的坐标为2x，xy0vhOO1x2x1h2h4由相似三角形关系可得：12211xxhxh，∴11212hxxhh两边对时间求导有：11212dxhdxdthhdt，考虑到：21dxvdt，知人影中头的速度：21112dxhvvdthh影（常数）。1-7．一质点沿直线运动，其运动方程为2242ttx(m)，在t从0秒到3秒的时间间隔内，则质点走过的路程为多少？解：由于是求质点通过的路程，所以可考虑在0~3s的时间间隔内，质点速度为0的位置：tdtdxv44若0v解得st1，mxxx22)242(011mxxx8)242()32342(2133mxxx1021。1-8．一弹性球直落在一斜面上，下落高度cm20h，斜面对水平的倾角30，问它第二次碰到斜面的位置距原来的下落点多远(假设小球碰斜面前后速度数值相等，碰撞时人射角等于反射角)。解：1小球落地时速度为ghv20。52建立沿斜面的直角坐标系，以小球第一次落地点为坐标原点如图示，00060cosvvx→200060cos2160costgtvx（1）00060sinvvy→200060sin2160sintgtvy（2）第二次落地时：0y，代入（2）式得：gvt02，所以：2002002122cos60cos604802vghxvtgthcmgg。1-9．地球的自转角速度最大增加到若干倍时，赤道上的物体仍能保持在地球上而不致离开地球?已知现在赤道上物体的向心加速度约为2s/cm4.3，设赤道上重力加速度为2m/s80.9。解：由向心力公式：2FmR向，1赤道上的物体仍能保持在地球必须满足：2FmgmR向，2而现在赤道上物体的向心力为：20'FmamR向∴098016.98173.4mggmaa1-10．已知子弹的轨迹为抛物线，初速为0v，并且0v与水平面的夹角为。试分别求出抛物线顶点及落地点的曲率半径。解：（1）抛物线顶点处子弹的速度0cosxvv，顶点处切向加速度为0，法向加速度为g。6因此有：22011(cos)vvg，2201cosvg；（2）在落地点时子弹的0v，由抛物线对称性，知法向加速度方向与竖直方向成角，则：cosnag，有：202cosvg则：202cosvg。1-11．飞机以s/m1000v的速度沿水平直线飞行，在离地面高m98h时，驾驶员要把物品投到前方某一地面目标上，问：投放物品时，驾驶员看目标的视线和竖直线应成什么角度?此时目标距飞机下方地点多远?解：设此时飞机距目标水平距离为x有：tvx0┄①，221gth┄②联立方程解得：mx447，∴05.77arctanhx。1-12．设将两物体A和B分别以初速Av和Bv抛掷出去．Av与水平面的夹角为；Bv与水平面的夹角为，试证明在任何时刻物体B相对物体A的速度是常矢量。证明：两个物体初速度为0Av和0Bv，在任意时刻的速度为：00()cos(sin)AAAvtvivgtj00()cos(sin)BBBvtvivgtj0000()()(coscos)(sinsin)BABABABAvvtvtvvivvj与时间无关，故B相对物体A的速度是常矢量。1-13．一物体和探测气球从同一高度竖直向上运动，物体0vxyhOgyxg0v0vxvna7初速为s/m0.490v，而气球以速度s/m6.19v匀速上升，问气球中的观察者在第二秒末、第三秒末、第四秒末测得物体的速度各多少？解：物体在任意时刻的速度表达式为：gtvvy0vvvvvv物对球物对地地对球物对球物对地球对地故气球中的观察者测得物体的速度0yvvvvgtv代入时间t可以得到第二秒末物体速度：29.8mvs，（向上）第三秒末物体速度：30v第四秒末物体速度：49.8mvs（向下）。1-14．质点沿x轴正向运动，加速度kva，k为常数．设从原点出发时速度为0v，求运动方程)(txx。解：由于是一维运动，所以，由题意：kvdtdv，分离变量并积分有：001vtvdvkdtv，得：tkevv0又∵tkevdtdx0，积分有：dtevdxtktx000∴)1(0tkekvx1-15．跳水运动员自m10跳台自由下落，入水后因受水的阻碍而减速，设加速度2kva，1m4.0k.求运动员速度减为入水速度的10%时的入水深度。解：取水面为坐标原点，竖直向下为x轴。8跳水运动员入水时的速度：smghv1420，入水后速度减为入水速度的10%时：01.410tvmvs，列式：2dvkvdt，考虑到dvdvvdtdx，有：dxdvvdtdvkv2xvvkdxdvv010001，mkx76.510ln11-16．一飞行火箭的运动学方程为：)1ln()1(bttbuutx，其中b是与燃料燃烧速率有关的量，u为燃气相对火箭的喷射速度。求：（1）火箭飞行速度与时间的关系；（2）火箭的加速度。解：看成一维运动，直接利用公式：dxvdt，dvadt有：（1）)1ln(btudtdxv，（2）btubdtdva11-17.质点的运动方程为：cosxRt，sinyRt，2hzt，式中、、hR为正的常量。求：（1）质点运动的轨道方程；（2）质点的速度大小；（3）质点的加速度大小。解：（1）轨道方程为：222Ryx，thz2，这是一条空间螺旋线。空间螺旋线在Oxy平面上的投影，是圆心在原点，半径为R的圆，其螺距为h。（2）tRdtdxvxsin，cosydyvRtdt，2zdzhvdt，9∴2222224hRvvvvzyx；（3）tRaxcos2tRaysin20za∴222Raaayx思考题11-1．点作曲线运动，其瞬时速度为v，瞬时速率为v，平均速度为v，平均速率为v，则它们之间的下列四种关系中哪一种是正确的?（1）vvvv,；（2）vvvv,；（3）vvvv,；（4）vvvv,答：（3）1-2．质点的tx~关系如图，图中a，b，c三条线表示三个速度不同的运动．问它们属于什么类型的运动?哪一个速度大？哪一个速度小？答：匀速直线运动；abcvvv。1-3．结合tv~图，说明平均加速度和瞬时加速度的几何意义。答：平均加速度表示速度v在t时间内的平均变化率，它只能粗略地反映运动速度的变化程度和方向，而瞬时加速度能精确反映质点运动速度的变化及方向。1-4．运动物体的加速度随时间减小，而速度随时间增加，是可能的吗？答：是可能的。加速度随时间减小，说明速度随时间的10变化率减小。1-5．如图所示，两船A和B相距R，分别以速度Av和Bv匀速直线行驶，它们会不会相碰?若不相碰，求两船相靠最近的距离．图中和为已知。答：方法一：如图，以A船为参考系，在该参考系中船A是静止的，而船B的速度AvvvB。v是船B相对于船A的速度,从船B作一条平行于v方向的直线BC,它不与船A相交,这表明两船不会相碰.由A作BC垂线AC,其长度minr就是两船相靠最近的距离sinminRr作FD//AB,构成直角三角形DEF，故有：vvvABsinsinsin，在三角形BEF中,由余弦定理可得：)cos(222BABAvvvvvRvvvvvvrBABAAB)cos(2sinsin22min。方法二：两船在任一时刻t的位置矢量分别为：jirA)tsin)cos(BAvtv(jirB)tsin)cos(BBvtvR(jirrrA])sinsin[(])coscos([-BtvvtvvRABAB任一时刻两船的距离为：1122])sinsin[(])coscos([tvvtvvRrABAB令：0)(dttdrRvvvvvvtABABAB22)sinsin()coscos(coscosRvvvvvvrBABAAB)cos(2sinsin22min。1-6．若质点限于在平面上运动，试指出符合下列条件的各应是什么样的运动？（1）0drdt，0drdt；（2）0dvdt，0dvdt；（3）0dadt，0dadt答：(1)质点作圆周运动；(2