【高中数学必修三】1.3算法案例((公开课同课异构)

§1.3算法案例1、求两个正整数的最大公约数（1）求25和35的最大公约数（2）求49和63的最大公约数2、求8251和6105的最大公约数25（1）5535749（2）77639所以，25和35的最大公约数为5所以，49和63的最大公约数为7辗转相除法（欧几里得算法）观察用辗转相除法求8251和6105的最大公约数的过程第一步用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数8251=6105×1+2146结论：8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和6105的最大公约数，只要求出6105和2146的公约数就可以了。第二步对6105和2146重复第一步的做法6105=2146×2+1813同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。完整的过程8251=6105×1+21466105=2146×2+18132146=1813×1+3331813=333×5+148333=148×2+37148=37×4+0例2用辗转相除法求225和135的最大公约数225=135×1+90135=90×1+4590=45×2显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数显然45是90和45的最大公约数，也就是225和135的最大公约数思考1：从上面的两个例子可以看出计算的规律是什么？S1：用大数除以小数S2：除数变成被除数，余数变成除数S3：重复S1，直到余数为0辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构。8251=6105×1+21466105=2146×2+18132146=1813×1+3331813=333×5+148333=148×2+37148=37×4+0m=n×q＋r用程序框图表示出右边的过程r=mMODnm=nn=rr=0?是否《九章算术》——更相减损术算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。第一步：任意给顶两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减得：98－63＝3563－35＝2835－28＝728－7＝2121－7＝2114－7＝7所以，98和63的最大公约数等于7练习：课本P35练习第1题思考：把更相减损术与辗转相除法比较，你有哪些发现？课堂小结2、两个数21672，8127的最大公约数是（）A.2709B.2606C.2703D.2706复习引入:1、求两个数的最大公约数的两种方法分别是（）和（）。新课讲解:怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？计算多项式ｆ(ｘ)=ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１当x=5的值的算法：算法1：因为ｆ(ｘ)=ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１所以ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１=3125＋625＋125＋25＋5＋１=3906算法2：ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１=5×(5４＋5３＋5２＋5＋１)＋１=5×(5×(5３＋5２＋5＋１)＋１)＋１=5×(5×(5×(5２+5+１)+１)+１)+１=5×(5×(5×(5×(5+１)+１)+１)+１)+１算法1：因为ｆ(ｘ)=ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１所以ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１=3125＋625＋125＋25＋5＋１=3906算法2：ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１=5×(5４＋5３＋5２＋5＋１)＋１=5×(5×(5３＋5２＋5＋１)＋１)＋１=5×(5×(5×(5２+5+１)+１)+１)+１=5×(5×(5×(5×(5+１)+１)+１)+１)+１共做了1+2+3+4=10次乘法运算，5次加法运算。共做了4次乘法运算，5次加法运算。《数书九章》——秦九韶算法0111)(axaxaxaxfnnnn设f(x)是一个n次的多项式对该多项式按下面的方式进行改写：0111)(axaxaxaxfnnnn01211)(axaxaxannnn012312))((axaxaxaxannnn0121)))((axaxaxaxannn这是怎样的一种改写方式？最后的结果是什么？0121)))(()(axaxaxaxaxfnnn要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即11nnaxav然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即212naxvv323naxvv01axvvnn最后的一项是什么？这种将求一个n次多项式f(x)的值转化成求n个一次多项式的值的方法，称为秦九韶算法。通过一次式的反复计算，逐步得出高次多项式的值，对于一个n次多项式，只需做n次乘法和n次加法即可。秦九韶算法的特点：例：已知一个五次多项式为8.07.16.25.325)(2345xxxxxxf用秦九韶算法求这个多项式当x=5的值。解：将多项式变形：8.0)7.1)6.2)5.3)25(((()(xxxxxxf按由里到外的顺序，依此计算一次多项式当x=5时的值：272551v50v5.1385.35272v9.6896.255.1383v2.34517.159.6894v2.172558.052.34515v所以，当x=5时，多项式的值等于17255.2你从中看到了怎样的规律？怎么用程序框图来描述呢？程序框图：开始输入f(x)的系数：0,a1,a2,a3,a4a5输入x0n≤5?输出v结束v=vx0+a5-nn=n+1YNn=1v=a5),,2,1(10nkaxvvavknkkn这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，因此可用循环结构来实现。另解：（秦九韶算法的另一种直观算法）523.5-2.61.7-0.8X527138.5689.93451.217255.2+多项式的系数多项式的值25135692.53449.51725605(1)算法步骤：第一步：输入多项式次数n、最高次项的系数an和x的值.第二步：将v的值初始化为an，将i的值初始化为n-1.第三步：输入i次项的系数an.第四步：v=vx+ai,i=i-1.第五步：判断i是否大于或等于0，若是，则返回第三步；否则，输出多项式的值v。思考：你能设计程序把“秦九韶算法”表示出来吗？(2)程序框图：输入ai开始输入n,an,xi=0?输出v结束v=vx+aii=i-1YNi=n-1V=an（3）程序：INPUT“n=”；nINPUT“an=“;aINPUT“x=“;xv=ai=n-1WHILEi=0PRINT“i=“;iINPUT“ai=“;av=v*x+ai=i-1WENDPRINTvEND1、已知多项式f(x)=x5+5x4+10x3+10x2+5x+1用秦九韶算法求这个多项式当x=-2时的值。练习：2、已知多项式f(x)=2x4-6x3-5x2+4x-6用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的值。课堂小结：1、秦九韶算法的方法和步骤2、秦九韶算法的程序框图一、进位制1、我们了解十进制吗？所谓的十进制，它是如何构成的？十进制由两个部分构成例如：372101231011021071037213其它进位制的数又是如何的呢？第一、它有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个数字；第二、它有“权位”，即从右往左为个位、十位、百位、千位等等。2、二进制十进制是用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个数来描述的，二进制是用0、1两个数字来描述的。如11001等（１）二进制的表示方法区分的写法：11001（2）或者（11001）201234(2)212020212111001二、二进制与十进制的转换1、二进制数转化为十进制数例1将二进制数110011(2)化成十进制数解：根据进位制的定义可知012345)2(21212020212111001112116132151所以，110011（2）=51。练习将下面的二进制数化为十进制数？（1）11（2）111（3）1111（4）111112、十进制转换为二进制例2把89化为二进制数522212010余数11224889222201101将上式各步所得的余数从下到上排列，得到：89=1011001（2）练习将下面的十进制数化为二进制数？（1）10（2）20（3）128（4）2562、十进制转换为二进制例2把89化为二进制数解：根据“逢二进一”的原则，有89＝2×44＋144＝2×22＋022＝2×11＋011＝2×5＋15＝2×2＋189＝2×（2×（2×（2×（2×（2×（2×1＋0）＋1）＋1）＋0）＋0）＋189＝1×26＋0×25＋1×24＋1×23＋0×22＋0×21＋1×20结合“秦九韶算法”得：所以：89=1011001（2）例3把89化为五进制数3、十进制转换为其它进制解：根据除k取余法以5作为除数，相应的除法算式为：所以，89=324（5）。895175350423余数INPUTa,k,ni=1b=0t=aMOD10WHILEi=nb=b+t*^(i-1)a=a\10t=aMOD10i=i+1WENDPRINTbEND例题3的程序小结2、掌握二进制与十进制之间的转换1、进位制的概念