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3cmA5cmBCDEF8cmAbBCDEFac全等三角形专题课——截长补短教学目标1.知识技能:使学生掌握运用截长补短的方法解决线段的和差问题。2.数学思考:①通过观察、操作、归纳等教学活动,积累数学活动经验。感受数学思维过程的条理性,进一步提高学生的数学思维能力。②通过对线段的和差问题的探究,体会辅助线在数学中的作用。3.解决问题:学会运用“截长补短法”作辅助线解决问题。4.情感态度①使学生经历探索线段的和差问题的解决过程,感受数学活动充满探索以及数学方法确定性。②培养学生积极主动参与学习数学活动的意识,增强学好数学的信心。培养学生与他人合作交流的意识和能力。教学过程:一.问题创设:(3分钟)如图,△ABC中,AD是∠CAB的平分线,且∠C=2∠B,求证:AB=AC+CD(学生思考:如何解决关于线段和差问题)问题一:如何证明此题?(学生提出截长补短)问题二:你这样做辅助线的理由是什么?(可以得到全等,证明截下的线段等于CD)总结:二.课题引入:同学们,为了解决像这样线段与线段关系的题目,今天我们来学习截长补短法。如图:问题一:已知三条线段AB、CD、EF的长度分别为8cm,5cm,3cm,你能用CD和EF表示AB吗?(AB=CD+EF)问题二:如果图中线段长度分别变为a、b、c,并且a=b+c,你能采用适当的工具证明AB=CD+EF吗?DCBA21EEDCBADCBA34方法一:用圆规在AB上截取b,再用圆规测量余下的部分(a-b),与c相比较,得到a-b=c,即证明。方法二:在CD(EF)补一部分EF(CD)得到b+c,再用圆规和a进行比较得到a=b+c。像刚才这样,通过在较长截取另一条线段,在较短线段上补一条线段研究线段间的关系,这种方法称为“截长补短”。三、例题讲解回头来看刚在的例题:例1:如图,△ABC中,AD是∠CAB的平分线,且∠C=2∠B,求证:AB=AC+CD法一:截长法证明:在AB上截取AE,使得AE=AC,连接DE∵AD平分∠BAC∴∠1=∠2∵AE=AB∠1=∠2AD=AD∴△AED≌△ACD(SAS)∴∠3=∠CCD=DE(全等三角形的性质)又∵∠C=2∠B∴∠3=2∠B又∵∠3=∠4+∠B(外角定理)∴∠4=∠B∴EB=DE=CD(等角对等边)∵AB=AE+EBAE=AC,EB=CD∴AB=AC+CD(等量代换)学生小组交流讨论补短法法二:补短法证明:延长AC至点E,使AE=AB,连接DE∵AD平分∠BAC∴∠EAD=∠CAD∵AE=AB∠EAD=∠CADAD=AD∴△AED≌△ACD(SAS)∴∠E=∠C又∵∠ACB=2∠CDCBA注:1.讲解时强调辅助线的做法和书写方式2.体现数学思想:截长补短是为了证明线段与线段间的关系,截长补短后构造全等三角形,利用三角形的全等性将线段进行转化。3.注意学生的书写格式4.教师板书截长法,展示学生的补短法EADBCEABCDP∴∠ACB=2∠E∵∠ACB=∠E+∠CDE∴∠E=∠CDE∴CE=CD(等角对等边)∵AE=AC+CEAE=AB,EC=CD∴AB=AC+CD四.变式训练:如图:已知正方形ABCD中,∠BAC的平分线交BC于E,求证:AB+BE=AC(1、3、5、7列的同学用截长法,2、4、6、8列同学用补短法,时间3分钟,同桌之间相互交流不同的方法,在黑板上两个学生展示板书)五.学以致用请对下面的题进行分析,要求只做出辅助线,并简要说明解题思路。1.如图,四边形ABCD中,AB∥DC,BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD,且点E在AD上。求证:BC=AB+DC。(截长补短皆可)辅助线:解题简要步骤:2.已知,在△ABC中,ABAC,AD是∠BAC的平分线,P为AD上的一点,求证:AB-AC>PB-PC。辅助线:解题简要步骤:DCBA另一种的补短法通过证明两次等腰注:补短时注意是否合理简单,一般补短应在有角平分线的角一边,充分利用角平分线构造全等。补:这里补短还可以叙述为:延长AC至点E,使得CE=CD,然后证明△AED≌△ACD3.如图,已知正方形ABCD中,AF为∠EAD的角平分线,求证:EF=BE+DF.辅助线:解题简要步骤:4.选做,思考题如图,在ABC中,60BAC,AD是BAC的平分线,且ACABBD,求ABC的度数.总结:1.什么样的题型适合截长补短?(题的共同特征)有角平分线,并且都求的是线段与线段的关系;(说明:并不是所有有角平分线、线段关系就用截长补短,并且有的题只能用截长或补短一种)2.数学思想方法:通过截长补短,构造全等三角形,利用全等性对所求线段进行转化。作业:将以上题目过程完整写出。DCBA
本文标题:截长补短教案
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