X4-4-2

RJ·A版·数学新课标高考总复习（文）RJ·A版·数学新课标高考总复习（文）考纲要求考情分析1.了解参数方程，了解参数的意义．2．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.从近两年的高考试题来看，参数方程部分多考查直线与圆的参数方程及应用，属容易题．以直线与圆的参数方程为命题的热点，同时考查参数思想的运用.RJ·A版·数学新课标高考总复习（文）(对应学生用书P217)知识梳理1．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数：x＝fty＝gt，并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y之间关系的变数t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．RJ·A版·数学新课标高考总复习（文）2．几种常见曲线的参数方程(1)直线经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程是x＝x0＋tcosαy＝y0＋tsinα(t为参数)．RJ·A版·数学新课标高考总复习（文）提示：(1)t表示在直线上过定点P0(x0，y0)与直线上的任一点P(x，y)构成的有向线段P0P的数量．(2)|P1P2|＝|t1－t2|＝t1＋t22－4t1t2.问题探究1：在直线的参数方程x＝x0＋tcosαy＝y0＋tsinα(t为参数)中，(1)t的几何意义是什么？(2)如何利用t的几何意义求直线上任两点P1、P2的距离？RJ·A版·数学新课标高考总复习（文）问题探究2：对于椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的参数方程x＝acosθ，y＝bsinθ(θ为参数)，θ是椭圆上的点与原点连线的倾斜角吗？提示：不是，如图，θ是离心角．RJ·A版·数学新课标高考总复习（文）(2)圆以O′(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是x＝a＋rcosαy＝b＋rsinα，其中α是参数．当圆心在(0,0)时，方程为x＝rcosα，y＝rsinα.(3)椭圆中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两种情况：椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的参数方程是x＝acosφy＝bsinφ，其中φ是参数．椭圆x2b2＋y2a2＝1(ab0)的参数方程是x＝bcosφy＝asinφ，其中φ是参数．RJ·A版·数学新课标高考总复习（文）自主检测1．若直线的参数方程为y＝1＋2ty＝2－3t(t为参数)，则直线的斜率为()A.23B．－23C.32D．－32解析：直线的斜率即t前面系数的比值．答案：DRJ·A版·数学新课标高考总复习（文）2．参数方程为x＝3t2＋2y＝t2－1(0≤t≤5)的曲线为()A．线段B．双曲线的一支C．圆弧D．射线解析：消去t2得x＝3(y＋1)＋2即x－3y－5＝0，又x＝3t2＋2∈[2,77]∴为线段．答案：ARJ·A版·数学新课标高考总复习（文）3．由方程x2＋y2－4tx－2ty＋5t2－4＝0(t为参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是()A．一个定点B．一个椭圆C．一条抛物线D．一条直线解析：圆心(x，y)，则x＝2ty＝t，∴y＝x2.答案：D4．若x2＋y2＝4，则x－y的取值范围是________．答案：－22≤x－y≤22RJ·A版·数学新课标高考总复习（文）5．参数方程x＝t＋1ty＝2(t为参数)表示的曲线是________．解析：由x＝t＋1t知x≥2或x≤－2，∴曲线方程为y＝2(x≥2或x≤－2)，表示两条射线．答案：两条射线RJ·A版·数学新课标高考总复习（文）6．若直线2x＋ky－1＝0(k∈R)与曲线x＝cosθ，y＝－1＋sinθ(θ为参数)相切，则k值为________．解析：把曲线的参数方程转化为普通方程为x2＋(y＋1)2＝1.由题意得|2×0＋－1·k－1|22＋k2＝1，解得k＝32.答案：32RJ·A版·数学新课标高考总复习（文）(对应学生用书P218)考点1参数方程与普通方程的互化1.将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法，平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参如sin2θ＋cos2θ＝1等．2．将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．RJ·A版·数学新课标高考总复习（文）例1(2011年广东高考)已知两曲线参数方程分别为x＝5cosθy＝sinθ(0≤θπ)和x＝54t2y＝t(t∈R)，它们的交点坐标为________．RJ·A版·数学新课标高考总复习（文）【解析】由x＝5cosθy＝sinθ(0≤θπ)消去θ得x25＋y2＝1(－5x≤5，0≤y≤1)由x＝54t2y＝t(t∈R)消去θ得y2＝45x(x≥0)代入x25＋y2＝1消去y得x2＋4x－5＝0解得x＝1或x＝－5(舍)当x＝1时y2＝45，y＝±255，又0≤y≤1，∴y＝255故两曲线交点坐标为(1，255)．【答案】(1，255)RJ·A版·数学新课标高考总复习（文）将下列参数方程化为普通方程(1)x＝3k1＋k2，y＝6k21＋k2(k为参数)；(2)x＝1－sin2θ，y＝sinθ＋cosθ(θ为参数)；(3)x＝1－t21＋t2，y＝t1＋t2(t为参数)．RJ·A版·数学新课标高考总复习（文）解：(1)两式相除，得k＝y2x，将其代入，得x＝3·y2x1＋y2x2，化简得所求的普通方程是4x2＋y2－6y＝0(y≠6)．(2)由(sinθ＋cosθ)2＝1＋sin2θ＝2－(1－sin2θ)，得y2＝2－x.又x＝1－sin2θ∈[0,2]，得所求的普通方程为y2＝2－x，x∈[0,2]．RJ·A版·数学新课标高考总复习（文）(3)由(1－t21＋t2)2＋(2t1＋t2)2＝1，得x2＋4y2＝1，又x＝1－t21＋t2≠－1，得所求的普通方程是x2＋4y2＝1(x≠－1)．RJ·A版·数学新课标高考总复习（文）例2(2011年湖北高考)如图，直角坐标系xOy所在的平面为α，直角坐标系x′Oy′(其中y′与y轴重合)所在平面为β，∠xOx′＝45°.(1)已知平面β内有一点P′(22，2)，则点P′在平面α内的射影P的坐标为________；(2)已知平面β内的曲线C′的方程是(x′－2)2＋2y′2－2＝0，则曲线C′在平面α内的射影C的方程是________．RJ·A版·数学新课标高考总复习（文）【解析】(1)如图P′(22，2)在α上坐标P(x，y)x＝22cos45°＝22×22＝2，y＝2，∴P(2,2)．(2)β内曲线C′的方程x′－222＋y′2＝1同上解法．中心(1,0)即投影后变成圆(x－1)2＋y2＝1.RJ·A版·数学新课标高考总复习（文）【答案】(1)P(2,2)(2)(x－1)2＋y2＝1由曲线的普通方程化为参数方程，必须先指定参数或给出参数与x，y中之一的函数关系，同一个普通方程，由于选择的参数不同，得到的曲线的参数方程也不相同，因此同一个曲线可以用不同的参数方程表示．RJ·A版·数学新课标高考总复习（文）在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆x23＋y2＝1上的一个动点，则S＝x＋y的最大值为________．解析：设x＝3cosθ，y＝sinθ，∴S＝3cosθ＋sinθ＝2sin(θ＋π3)，∴最大值为2.答案：2RJ·A版·数学新课标高考总复习（文）考点2直线的参数方程1.过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准式为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)，t的几何意义是直线上的点P到点P0(x0，y0)的数量，即t＝|PP0|时为距离．使用该式时直线上任意两点P1、P2对应的参数分别为t1、t2，则|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2的中点对应的参数为12(t1＋t2)．2．对于形如x＝x0＋at，y＝y0＋bt(t为参数)，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题．RJ·A版·数学新课标高考总复习（文）例3过点P(102，0)作倾斜角为α的直线与曲线x2＋2y2＝1交于点M、N，求|PM|·|PN|的最小值及相应的α的值．【分析】设出过点P的直线的参数方程，利用参数t的几何意义求解．RJ·A版·数学新课标高考总复习（文）【解】设直线的参数方程为x＝102＋tcosαy＝tsinα(t是参数)，代入曲线方程并整理得(1＋sin2α)t2＋(10cosα)t＋32＝0，设M、N对应的参数分别为t1、t2，而由参数t的几何意义得|PM|＝|t1|，|PN|＝|t2|，则|PM|·|PN|＝|t1t2|＝321＋sin2α，所以，当sin2α＝1，即α＝π2时，|PM|·|PN|有最小值34，此时α＝π2.RJ·A版·数学新课标高考总复习（文）已知直线l的参数方程为x＝3＋12t，y＝2＋32t(t为参数)，曲线C的参数方程为x＝4cosθ，y＝4sinθ(θ为参数)．(1)将曲线C的参数方程化为普通方程；(2)若直线l与曲线C交于A、B两点，求线段AB的长．RJ·A版·数学新课标高考总复习（文）解：(1)x2＋y2＝16.(2)将x＝3＋12ty＝2＋32t代入x2＋y2＝16，并整理得t2＋33t－9＝0.设A、B对应的参数为t1、t2，则t1＋t2＝－33，t1t2＝－9.|AB|＝|t1－t2|＝t1＋t22－4t1t2＝37.RJ·A版·数学新课标高考总复习（文）考点3圆与圆锥曲线的参数方程及应用解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．RJ·A版·数学新课标高考总复习（文）例4(2011年福建高考)在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为x＝3cosα，y＝sinα(α为参数)．(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为(4，π2)，判断点P与直线l的位置关系；(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．RJ·A版·数学新课标高考总复习（文）【解】(1)把极坐标系下的点P(4，π2)化为直角坐标，得P(0,4)．因为点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方程x－y＋4＝0，所以点P在直线l上．(2)因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(3cosα，sinα)，从而点Q到直线l的距离为：d＝|3cosα－sinα＋4|2＝2cosα＋π6＋42＝2cos(α＋π6)＋22，由此得，当cos(α＋π6)＝－1时，d取得最小值，且最小值为2.RJ·A版·数学新课标高考总复习（文）已知P(x，y)是圆x2＋y2－2y＝0上的动点．(1)求2x＋y的取值范围．(2)若x＋y＋c≥0恒成立，求实数c的取值范围．RJ·A版·数学新课标高考总复习（文）解：方程x2＋y2－2y＝0变形为x2＋(y－1)2＝1.其参数方程为x＝cosθ，y＝1＋sinθ(θ为参数)．(1)2x＋y＝2cosθ＋sinθ＋1＝5sin(θ＋φ)＋1(其中φ由sinφ＝25，cosφ＝15确定)．∴1－5≤2x＋y≤1＋5.(2)若x＋y＋c≥0恒成立，即c≥－(cosθ＋sinθ＋1)对一切θ∈R恒成立．∵－(cosθ＋sinθ＋1)的最大值是2－1.∴当且仅当c≥2－1时，x＋y＋c≥0恒成立．RJ·A版·数学新课标高考总复习（文）考点4极坐标、参数方程的综合应用例5(2011年高考课标卷)在直线坐标系xOy