【热点重点难点专题透析】(新课标)2016届高考数学二轮复习 细致讲解 第1章 不等式 函数与导数课

第1章文热点重点难点专题透析·数学(文科)(QG)第二篇知识专题第1章文热点重点难点专题透析·数学(文科)(QG)年份题型考点2013年2014年2015年小题第5题:指数函数的性质第9题:函数图象第12题:分段函数,求参数的取值范围第14题:线性规划第5题:函数的奇偶性第11题:线性规划第12题:函数的零点第15题:解不等式第10题:指数、对数分段函数,求函数值第12题:函数图象对称性,求参数值第14题:通过求在某点处的切线方程进而求参数值第15题:线性规划大题第20题:函数与导数(指数函数、二次函数、切线,求参数值、函数的单调性和极值)第21题:函数与导数(对数函数、二次函数、切线,求参数值、求参数范围)第21题:函数与导数(e为底的指、对数函数,讨论函数零点个数、证明不等式)第1章文热点重点难点专题透析·数学(文科)(QG)【考向预测】纵观近三年高考题,函数是主线,不等式与导数是研究函数的重要工具.选择题、填空题主要考查简单不等式的求解,线性规划,初等函数的图象、单调性、奇偶性、对称性、最值.解答题以ex或lnx与一次函数、二次函数结合为载体,主要考查导数的几何意义及应用、求函数解析式、求参数范围、证明不等式等.预测2016年关于不等式、函数与导数的命题趋势,仍然是难易结合.小题可以是以不等式的性质,线性规划和函数的概念、性质、图象等为主,重点考查简单不等式的求解、线性规划、函数的单调性与奇偶性、函数零点、函数图象的应用等知识方法.第1章文热点重点难点专题透析·数学(文科)(QG)大题可以是以e为底的指数函数或对数函数与分式函数的乘积、再与一次或二次函数代数和的形式为背景的综合题,考查导数的几何意义,利用导数研究函数的单调性与极值(点)、研究函数的零点、求参数取值范围(最值)或证明不等式,同时考查函数方程思想、数形结合思想和分类讨论思想以及抽象思维能力、推理论证能力、运算求解能力.第1章文热点重点难点专题透析·数学(文科)(QG)【问题引领】1.下列函数中,既是奇函数又存在零点的是().A.y=1𝑥B.y=|x|C.y=ex-e-xD.y=ln(x+1)第1章文热点重点难点专题透析·数学(文科)(QG)【解析】选项B、D中的不是奇函数,故排除B、D.选项A中的是奇函数,但其图象与x轴没有交点,即选项A中的函数不存在零点,故选C.【答案】C第1章文热点重点难点专题透析·数学(文科)(QG)2.设ab1,c0,给出下列四个结论:①ac1;②acbc;③logb(a-c)loga(b-c);④aa-cbb-c.其中所有正确结论的序号是().A.①②B.②③C.①②③D.②③④第1章文热点重点难点专题透析·数学(文科)(QG)【解析】当a1,c0时,ac1,故①不正确.由指数函数的图象知,当ab1,c0时,acbc成立,故②正确.因为ab1,c0,所以a-cb-c1,结合对数函数、指数函数的图象知③正确,④不正确,故选B.【答案】B第1章文热点重点难点专题透析·数学(文科)(QG)3.设变量x、y满足约束条件𝑥-𝑦≤0,𝑥+3𝑦-4≤0,𝑥+2≥0,则z=y-2x的最大值为().A.1B.2C.4D.6第1章文热点重点难点专题透析·数学(文科)(QG)【解析】作出表示约束条件𝑥-𝑦≤0,𝑥+3𝑦-4≤0,𝑥+2≥0的可行域,得z的最大值为6,最小值为-1.【答案】D第1章文热点重点难点专题透析·数学(文科)(QG)4.(2015年北京卷)如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是().A.{x|-1x≤0}B.{x|-1≤x≤1}C.{x|-1x≤1}D.{x|-1x≤2}第1章文热点重点难点专题透析·数学(文科)(QG)【解析】令g(x)=y=log2(x+1),作出函数g(x)的图象如图.由𝑥+𝑦=2,𝑦=log2(x+1),得𝑥=1,𝑦=1.所以结合图象知不等式f(x)≥log2(x+1)的解集为{x|-1x≤1}.【答案】C第1章文热点重点难点专题透析·数学(文科)(QG)5.(2015年福建卷)若函数f(x)=2|x-a|(a∈R)满足f(1+x)=f(1-x),且f(x)在[m,+∞)上单调递增,则实数m的最小值等.第1章文热点重点难点专题透析·数学(文科)(QG)【解析】因为f(x)=2|x-a|,所以f(x)的图象关于x=a对称.又由f(1+x)=f(1-x),知f(x)的图象关于直线x=1对称,故a=1,且f(x)的增区间是[1,+∞),由函数f(x)在[m,+∞)上单调递增,知[m,+∞)⊆[1,+∞),所以m≥1,故m的最小值为1.【答案】1第1章文热点重点难点专题透析·数学(文科)(QG)6.已知函数f(x)=ex-12x2-ax(a∈R).(1)若函数f(x)的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b,求a,b的值;(2)若函数f(x)在R上是增函数,求实数a的取值范围;(3)如果函数g(x)=f(x)-(a-12)x2有两个极值点x1,x2,证明:ae2.第1章文热点重点难点专题透析·数学(文科)(QG)【解析】(1)因为f'(x)=ex-x-a,所以f'(0)=1-a=2,得a=-1.所以f(x)=ex-12x2+x,得f(0)=1,所以2×0+b=1,即b=1.(2)由题意知f'(x)=ex-x-a≥0恒成立,所以a≤ex-x恒成立,令h(x)=ex-x,则a≤h(x)min.因为h'(x)=ex-1,且当x0时,h'(x)0;当x0时,h'(x)0,所以h(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.所以h(x)min=h(0)=1,所以a≤1.即实数a的取值范围是(-∞,1].(3)由已知g(x)=ex-12x2-ax-(a-12)x2=ex-ax2-ax,则g'(x)=ex-2ax-a,第1章文热点重点难点专题透析·数学(文科)(QG)所以x1,x2是方程ex-2ax-a=0(*)的两个不等实数根.因为当x=-12时,方程(*)不成立,所以方程a=e𝑥2𝑥+1有两个不等实根.令φ(x)=e𝑥2𝑥+1,则φ'(x)=e𝑥(2x-1)(2𝑥+1)2.由φ'(x)=0,得x=12,且当x-12或-12x12时,φ'(x)0,当x12时,φ'(x)0,所以φ(x)在(-∞,-12),(-12,12)上单调递减,在(12,+∞)上单调递增,所以aφ(12)=e2.第1章文热点重点难点专题透析·数学(文科)(QG)【诊断参考】1.函数性质问题的考查常属于基础题,奇偶性是函数在其定义域上的整体性质,即奇偶函数的定义域关于坐标原点对称;函数的零点即函数图象与x轴交点的横坐标,亦即方程的根,解题时,一是紧扣定义,二是充分利用函数的性质(奇偶性、单调性、对称性、周期性)与函数图象的直观性进行分析转化,特别重视“奇函数若在x=0处有定义,则必有f(0)=0”的灵活应用.2.应用不等式性质时,一定要弄清楚性质成立的前提条件.判断数式的不等关系,既可利用不等式性质,也可灵活运用函数的单调性.利用基本不等式求最值时,要善于运用“拆、拼、配、凑”的技巧,同时满足基本不等式中“正、定、等”的条件,多第1章文热点重点难点专题透析·数学(文科)(QG)次使用基本不等式时,要确保取得等号的条件的一致性,否则容易出现解题错误.3.线性规划问题(非线性条件、非线性目标函数),一是正确画出约束条件表示的平面区域,二是明确目标函数的几何意义(截距、斜率、点线距或点点距),三是利用数形结合找到目标函数的最优解.解决此类问题的关键是灵活应用数形结合思想.4.求解不等式实际上是转化化归思想的应用:分式不等式可转化为整式不等式求解;高次不等式可转化为一次或二次不等式求解;指数不等式、对数不等式、三角不等式可转化为函数,并用函数的单调性进行求解.含参数的不等式,需要进行分类讨论,确定分类标准是解题关键.第1章文热点重点难点专题透析·数学(文科)(QG)5.求函数最值时,可先判断单调性,再由定义域确定函数最值.求参数最值时,可先求出参数的取值范围,再确定参数的最值.在处理分段函数问题时,不仅要研究每段函数的性质,而且要对整个函数性质进行研究.6.函数导数的应用,一是利用导数的几何意义求切线方程,此时要明确题给的已知点是“切点”还是“非切点”,以避免错解;二是应用导数研究函数的单调性、极值与最值,此时要重视函数的定义域,熟练掌握可导函数的单调性、极值与最值的判断方法,利用数形结合思想;三是运用导数与函数的单调性建立不等式求参数范围,此时不等号中切勿遗漏含等号情况;四是利用导数研究函数的零点、求参数范围、解(证)不等式、求函数最值等较难的综合问题,有时需构造函数,通过两次求导来解决问题,当解题思路受阻时,要善于搜寻信息,发掘条件,灵活变通.第1章文热点重点难点专题透析·数学(文科)(QG)【知识整合】一、不等式的基本性质(1)对称性:ab⇔ba.(2)传递性:ab,bc⇒ac.(3)加法法则:ab⇔a+cb+c.(4)乘法法则:ab,c0⇒acbc;ab,c0⇒acbc.(5)同向不等式可加性:ab,cd⇒a+cb+d.(6)同向同正可乘性:ab0,cd0⇒acbd.(7)乘方法则:ab0⇒anbn(n∈N,n≥1).(8)开方法则:ab0⇒𝑎𝑛𝑏𝑛(n∈N,n≥2).第1章文热点重点难点专题透析·数学(文科)(QG)二、不等式的解法1.一元二次不等式ax2+bx+c0(a≠0)的解法:先求ax2+bx+c=0的根,再由二次函数y=ax2+bx+c的图象写出解集.2.分式不等式:将右边化为零,左边通分,转化为整式不等式求解.3.一元三次(或高次)不等式,用“穿针引线法”求解.三、二元一次不等式(组)及简单的线性规划1.线性规划问题的有关概念:线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等.2.解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤:(1)画出可行域;(2)根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点;(3)求出目标函数的最值.第1章文热点重点难点专题透析·数学(文科)(QG)四、基本不等式1.a,b都是正实数,则𝑎+𝑏2≥𝑎𝑏,当且仅当a=b时,等号成立.2.使用基本不等式时,要注意“一正、二定、三相等”.五、不等式常用结论1.不等式恒成立、能成立问题的转化:(1)分离参数,向函数最值或值域转化;(2)向函数图象或Δ转化.2.恒成立问题:(1)不等式f(x)A在区间D上恒成立⇔在区间D上f(x)minA;(2)不等式f(x)B在区间D上恒成立⇔在区间D上f(x)maxB.3.能成立问题:(1)在区间D上存在实数x,使不等式f(x)A成立⇔在区间D上f(x)maxA;(2)在区间D上存在实数x,使不等式f(x)B成立⇔在区间D上f(x)minB.第1章文热点重点难点专题透析·数学(文科)(QG)六、函数的性质与图象1.函数的三要素:定义域、值域、对应法则;函数的表示方法:(1)解析法;(2)列表法;(3)图象法.2.函数解析式的常用求法:(1)待定系数法;(2)代换(配凑)法;(3)构造方程(组)法.3.函数定义域的常用求法:(1)依据解析式特点:偶次根式的被开方数不小于0、分母不能为0、对数中的真数大于0、对数中的底数大于0且不为1、0次幂的底数不为0等;(2)实际问题中要考虑变量的实际含义.4.函数值域(最值)的常用求法:(1)配方法(常用于二次函数);(2)换元法;(3)有界性法;(4)单调性法;(5)数形结合法;(6)判别式法;(7)不等式法;(8)导数法.第1章文热点重点难点专题透析·数学(文科)(QG)5.函数单调性的判断方法:(1)定义法;(2)导数法;(3)图象法;(4)特殊值法;(5)复合函数法.6.函数的奇偶性常利用定义(或其变形)或图象特征判断:(1)f(x)为奇函数