金典艺术生高考数学复习资料--七直线和圆教师版

大毛毛虫★倾情奉献★精品资料大毛毛虫★倾情奉献★精品资料直线与圆1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，如果把x轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角。当直线l与x轴重合或平行时，规定倾斜角为0；（2）倾斜角的范围,0。如（1）直线023cosyx的倾斜角的范围是5[0][)66，，；（2）过点),0(),1,3(mQP的直线的倾斜角的范围m那么],32,3[值的范围是_42mm或_2、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k，即k＝tan(≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点111(,)Pxy、222(,)Pxy的直线的斜率为212121xxxxyyk；（3）直线的方向向量(1,)ak，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？（4）应用：证明三点共线：ABBCkk。如(1)两条直线钭率相等是这两条直线平行的既不充分也不必要条件；（2）实数,xy满足3250xy(31x)，则xy的最大值、最小值分别为_2,13__3、直线的方程：（1）点斜式：已知直线过点00(,)xy斜率为k，则直线方程为00()yykxx,它不包括垂直于x轴的直线。（2）斜截式：已知直线在y轴上的截距为b和斜率k，则直线方程为ykxb,它不包括垂直于x轴的直线。（3）两点式：已知直线经过111(,)Pxy、222(,)Pxy两点，则直线方程为121121xxxxyyyy，它不包括垂直于坐标轴的直线。（4）截距式：已知直线在x轴和y轴上的截距为,ab,则直线方程为1byax，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。（5）一般式：任何直线均可写成0AxByC(A,B不同时为0)的形式。如（1）经过点（2，1）且方向向量为v=(－1,3)的直线的点斜式方程是13(2)yx；（2）直线(2)(21)(34)0mxmym，不管m怎样变化恒过点(1,2)；（3）若曲线||yax与(0)yxaa有两个公共点，则a的取值范围是1a(4)过点(1,4)A，且纵横截距的绝对值相等的直线共有__3_条4.设直线方程的一些常用技巧：（1）知直线纵截距b，常设其方程为ykxb；（2）知直线横截距0x，常设其方程为0xmyx(它不适用于斜率为0的直线)；大毛毛虫★倾情奉献★精品资料大毛毛虫★倾情奉献★精品资料（3）知直线过点00(,)xy，当斜率k存在时，常设其方程为00()ykxxy，当斜率k不存在时，则其方程为0xx；（4）与直线:0lAxByC平行的直线可表示为10AxByC；（5）与直线:0lAxByC垂直的直线可表示为10BxAyC.提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。5、点到直线的距离及两平行直线间的距离：（1）点00(,)Pxy到直线0AxByC的距离0022AxByCdAB；（2）两平行线1122:0,:0lAxByClAxByC间的距离为1222CCdAB。6、直线1111:0lAxByC与直线2222:0lAxByC的位置关系：（1）平行12210ABAB（斜率）且12210BCBC（在y轴上截距）；（2）相交12210ABAB；（3）重合12210ABAB且12210BCBC。提醒：（1）111222ABCABC、1122ABAB、111222ABCABC仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件！为什么？（2）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；（3）直线1111:0lAxByC与直线2222:0lAxByC垂直12120AABB。如（1）设直线1:60lxmy和2:(2)320lmxym，当m＝__－1_____时1l∥2l；当m＝___12_____时1l2l；当31且mm时1l与2l相交；当m＝___3______时1l与2l重合；（2）已知直线l的方程为34120xy，则与l平行，且过点（—1，3）的直线方程是______；3490xy（3）两条直线40axy与20xy相交于第一象限，则实数a的取值范围是____；12a（4）设,,abc分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线sin0xAayc与sinsin0bxyBC的位置关系是____；垂直7、对称（中心对称和轴对称）问题——代入法：如（1）已知点(,)Mab与点N关于x轴对称，点P与点N关于y轴对称，点Q与点P关于直线0xy对称，则点Q的坐标为_______；(,)ba（2）已知直线1l与2l的夹角平分线为yx，若1l的方程为0(0)axbycab，那么2l的方程是___________；0bxayc（3）点Ａ（４，５）关于直线l的对称点为Ｂ(－2,7)，则l的方程是_________；（4）已知一束光线通过点Ａ（－３，５），经直线l:3x－4y+4=0反射。如果反射光线通过点Ｂ（２，15），则反射光线所在直线的方程是_________；3y=3x＋（5）已知ΔABC顶点A(3，－１)，ＡＢ边上的中线所在直线的方程为6x+10y－59=0，∠B的平分线所在的方程为x－4y+10=0，求ＢＣ边所在的直线方程；18x510y＋提醒：在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解。大毛毛虫★倾情奉献★精品资料大毛毛虫★倾情奉献★精品资料8、圆的方程：⑴圆的标准方程：222xaybr。⑵圆的一般方程：22220(DE4F0)＋－xyDxEyF，特别提醒：只有当22DE4F0＋－时，方程220xyDxEyF才表示圆心为(,)22DE，半径为22142DEF的圆（二元二次方程220AxBxyCyDxEyF表示圆的充要条件是什么？（0,AC且0B且2240DEAF））；(3)1122A,,,xyBxy为直径端点的圆方程12120xxxxyyyy如（1）圆C与圆22(1)1xy关于直线yx对称，则圆C的方程为22(1)1xy；（2）圆心在直线32yx上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________；9)3()3(22yx或1)1()1(22yx（3）如果直线l将圆：x2+y2-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么l的斜率的取值范围是____；[0，2]）（4）方程x2+y２－x+y+k=0表示一个圆，则实数k的取值范围为____；21k9、点与圆的位置关系：已知点00M,xy及圆222C0：x-aybrr，（1）点M在圆C外22200CMrxaybr；（2）点M在圆C内22200CMrxaybr；（3）点M在圆C上20CMrxa220ybr。如点P(5a+1,12a)在圆(x－１)２＋y2=1的内部,则a的取值范围是______131||a10、直线与圆的位置关系：直线:0lAxByC和圆222C：xaybr0r有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断：（1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：0相交；0相离；0相切；（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为d，则dr相交；dr相离；dr相切。提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。如（1）圆12222yx与直线sin10(,2xyRk，)kz的位置关系为____；相离（2）若直线30axby与圆22410xyx切于点(1,2)P，则ab的值__2__；（3）直线20xy被曲线2262xyxy150所截得的弦长等于45；大毛毛虫★倾情奉献★精品资料大毛毛虫★倾情奉献★精品资料（4）一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是4；（5）已知圆C：22(1)5xy，直线L：10mxym。①求证：对mR，直线L与圆C总有两个不同的交点；②设L与圆C交于A、B两点，若17AB，求L的倾斜角；③求直线L中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程.②60或120③最长：1y，最短：1x11、圆与圆的位置关系（用两圆的圆心距与半径之间的关系判断）：已知两圆的圆心分别为12OO，，半径分别为12,rr，则（1）当1212|OOrr时，两圆外离；（2）当1212|OOrr时，两圆外切；（3）当121212|OOrrrr时，两圆相交；（4）当1212|OO|rr时，两圆内切；（5）当12120|OO|rr时，两圆内含。12、圆的切线与弦长：(1)切线：①过圆222xyR上一点00(,)Pxy圆的切线方程是：200xxyyR，过圆222()()xaybR上一点00(,)Pxy圆的切线方程是：200()()()()xaxayayaR，一般地，如何求圆的切线方程？（抓住圆心到直线的距离等于半径）；②从圆外一点引圆的切线一定有两条，设A为圆1)1(22yx上动点，PA是圆的切线，且|PA|=1，则P点的轨迹方程为________；22(1)2xy）（2）弦长问题：常用弦心距d，弦长一半12a及圆的半径r所构成的直角三角形来解：2221()2rda；13.解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)!已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1，③圆心到直线l:x-2y=0的距离为55，求该圆的方程.如图，已知⊙M：x2+(y－2)2＝1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点，⑴如果324||AB，求直线MQ的方程；⑵求动弦AB的中点P的轨迹方程.⑴解（1）由324||AB可得,31)322(1)2||(||||2222ABMAMP由射影定理得,3||||||||2MQMQMPMB得在Rt△MOQ中，523||||||2222MOMQOQ，OxyQABPM大毛毛虫★倾情奉献★精品资料大毛毛虫★倾情奉献★精品资料故55aa或，所以直线AB方程是;0525205252yxyx或⑵连接MB，MQ，设),0,(),,(aQyxP由点M，P，Q在一直线上，得)(,22Axya由射影定理得|,|||||2MQMPMB即)(,14)2(222Bayx把（A）及（B）消去a，并注意到2y，可得).2(161)47(22yyx课本题P75练习2，3；P77练习2，3；P79练习2，3；P80习题7，8，9；P84练习3，4；P87练习2，3；P87习题4，6，7；P92练习3；P96练习2，3；P96习题14，15，16，17，18P102练习5，6；习题6，7，9，10P106练习3，4，5；P107练习2；P108习题5，67，8；高考题1.（全国一10）若直线1xyab通过点(cossin)M，，则（D）A．221ab≤B．221ab≥C．22111ab≤D．22111ab≥2.（全国二5）设变量xy，满足约束条件：222yxxyx，