《物理光学》第二章-光波的叠加和分析

前言§1波的独立传播和叠加原理§2两束同频振动方向平行的标量波的叠加§3两束同频振动方向垂直的标量波的叠加§4不同频率的两个平面单色波的叠加§5光波的分析前言首先讲述作为矢量波的光波，在某些情况下可看作标量波；光波在空间传播时在一些特定条件下满足独立传播原理进而介绍关于光的叠加原理。在此基础上，作为特殊情况，讲解两束光波在不同情况下的叠加结果：规律、概念及应用。几束简单的光波复杂的光波叠加分解第一节波的独立传播和叠加原理一、标量波和矢量波光波是横波，选择传播方向为直角坐标系的z方向，则矢量就变成了二维矢量，可将之分解为x，y方向的分量EB描述光波的物理量和是矢量光波本质上是矢量波若光波传播的媒质对这两个方向上的分量有相同的性质，则这两个分量有相同的传播规律，于是任一个分量的波函数就可代表其对应的矢量波，则矢量波的处理变为标量波处理。波的独立传播原理：当两列波或多列波在同一波场中传播时，每一列波的传播方式都不因其他波的存在而受到影响注意：波的叠加原理和独立性原理成立于线性介质中二、波的独立传播原理三、光波的叠加原理和线性媒质光波叠加原理的数学基础：如果光波和都是方程的解，则它们的线性叠加也显然是该方程的解，并且构成一个复杂的波微分波动方程的解的叠加性，构成了光波叠加原理的数学基础。),(1trE),(2trE222tEE11223(,)(,)CErtCErtC当存在两个或多个光波同时传播时，如果光波的独立传播原理成立，则它们叠加的空间区域内，每一点的扰动将等于各个光波单独存在时该点的扰动之和。这就是光波的叠加原理，即真空中，光波叠加原理普遍成立媒质中，光波电磁场与媒质内部物质的相互作用满足线性条件时，光波叠加原理成立。当光强很强时，光与介质相互作用产生了非线性光学效应，光的叠加原理不再成立光波叠加原理的成立也是有条件的媒质分为‘线性媒质’和‘非线性媒质’线性媒质：波在其中传播时服从叠加原理和独立传播原理的媒质非线性媒质：波在其中传播时不服从叠加原理和独立传播原理的媒质一、同向传播的平面波的叠加假设有两个简谐平面波，其时间频率为ω，振幅分别为E10和E20，初始位相分别为和，传播方向沿着z轴，它们被表示为：第二节两束同频振动方向平行的标量波的叠加本节讨论两个频率相同、振动方向平行的光波的叠加，显然这两个光波可视作标量波，于是问题就是两个标量波叠加的问题102011010expEEikzt22020expEEikzt这两个光波叠加后的合成波可以表示为：10102020,expexpEztEikztEikzt（2.2.1）10102020expexpexpEiEiikzt0expEikzt(2.2.2)010102020expexpEEiEi1010202010102020coscossinsinEEiEE00expEi其中：21102020102202100)]cos(2[||EEEEE]coscossinsinarctan[20201010202010100EEEE（2.2.3）（2.2.4）上式中：由以上分析得到合成波的表达式为：表明：合成波还是一个与分量波时间频率相同，传播方向相同，其它空间、时间参量以及位相速度都没有变化的简谐平面波，只是有了新的振幅和初位相，而且合成波的振幅和位相均取决于分量波的振幅和初始位相。00(,)||expEztEikzt当E10=E20时，由（2.2.3）有]2/)cos[(2||1020100EE可见，此时合成波的振幅取决于两个分量波的位相差当E10=E20时，由（2.2.4）得：2/)(20100可见，合成波的初位相等于两个分量波初位相的平均值当E10=E20时，总的合成波函数为所以，当E10=E20且φ10=φ20时，合成波与分量波振动状态相同，只是振幅增大一倍而在φ10-φ20=±π情况下，可知合成振幅为零。1010201020,2cos2exp2EztEikzt物理光学2020年2月24日星期一两列波在空间相遇的情况波的独立传播原理：几列波在相遇点所引起的扰动是各列波在该点所引起的扰动的叠加（矢量的线性叠加，矢量和）当两个或多个光波在空间相遇时，如果振动不是十分强，各列波将保持各自的特性不变，继续传播。相互之间没有影响。波的叠加原理成立条件1)、传播介质为线性介质；2)、振动不是十分强，在振动很强的时候，线性介质会变为非线性介质；注意波的叠加不是强度的叠加，也不是振幅的简单相加，而是振动矢量的叠加线性媒质：波在其中传播时服从叠加原理和独立传播原理的媒质非线性媒质：波在其中传播时不服从叠加原理和独立传播原理的媒质一、同向传播的平面波的叠加假设有两个简谐平面波，其时间频率为ω相同，振幅分别为E10和E20，初始位相分别为和，振动方向平行，传播方向沿着z轴，它们被表示为：102011010expEEikzt22020expEEikzt010102020expexpEEiEi00expEi12220102010202010||[2cos()]EEEEE10102020010102020sinsinarctan[]coscosEEEE上式中：10102020expexp,expEztikzEiEit0expikztE其中：二、反向传播的平面波的叠加——驻波及其实验(1)、驻波波函数假设两个简谐平面标量波的时间频率为ω，振幅分别E10和E20，初始位相为和，一列波沿着z轴正向传播另一列沿z轴负向传播，假定E10=E20=E0，即有：合成波各点都按照圆频率ω做简谐振动，但是此合成波有其固有的特点201010expEEikzt2020expkzEEit10010020,expexpEztEikztEikzt0201020102cos2exp2ktEiz叠加后的合成波可以表示为：表示：(1)对某一Z点，E随时间以频率ω作简谐振动，某一时刻，振幅随Z不同而变（振幅不是常数）;020201010(,2cos2exp2)itkEtEzz(2)称振幅最大值和最小值的位置为波腹、波节的位置，它们不随时间而变;波腹位置：(m为整数)波节位置：(m为整数)20102kzm2010212kzm(3)相邻波腹（或波节）之间距为λ/2，相邻波腹与波节间距为λ/4;(4)合成波的位相因子与空间坐标位置z无关。(6)因的取值可正可负，所以在每一波节两边的点，其振动是反相的(5)驻波的位相因子与z无关，不存在位相的传播问题，故把这种波称为驻波，反之称为行波。2010cos2kz驻波：由于节点静止不动，所以波形没有传播。能量以动能和势能的形式交换储存，亦传播不出去。驻波当两个分量波的振幅不相等时，例如，E10=E20+ΔE，则有合成波是一个驻波和行波之和，因此合成波在波节处振幅不再为零，波节处的振动完全是由行波引起的，其它考察点的振幅则由行波和驻波共同引起的，并且由于行波的存在，将会有能量的传播。010201020,2cos2exp2EztEkzitkz10expEitkz(2)、驻波实验实验装置如右图所示。M是镀银的平面反射镜，I是正入射到镜面上的单色简谐平面波，经反射后得到反射波R。G是一块极薄的感光乳胶底片，它与镜面间有一微小夹角。I和R形成驻波，G位于这个驻波场中，经感光和显影，在G上呈现亮暗相间的条纹，相邻亮条纹(或暗条纹)之间的距离按图示的几何关系与λ/2相对应MIRGλ/2λ/2λ/2λ/4维纳实验底片G上感光的位置应该是驻波波腹的位置。三、任意方向传播的平面波的叠加上面两部分只考虑了两束光波的传播方向在一条直线上的情况，分量波与合成波的空间分布比较简单，只和空间变量z有关。现在考虑两个时间频率相同、振动方向平行的简谐平面光波不共线传播相遇叠加的情况。维纳实验证明：1、驻波的存在维纳实验发现，紧贴镜面处的底片没有感光，而感光条纹的位置都与电场波腹位置相一致。维纳实验证明：2、乳胶感光的是光的电场而不是磁场两个频率相同、振动方向平行的简谐平面光波不共线传播相遇叠加zk1zk2xk2zxk1k1xE1k2E2O设两个分量波的频率都为ω，振幅分别为E10和E20，初始位相为和，波矢分别为k1和k2，则它们的波函数可以表示成如下：对于叠加区域，如图所示选取坐标系Oxyz，y轴方向垂直于纸面向外。假设振动方向沿着y方向，分量波的波矢k1和k2均平行于xz平面，注意，这时所有的函数都与y坐标无关。10201101110,,expxzExztEikxkzt2202220,,expxzExztEikxkzt叠加后的合成波可以表示为：E(x,z,t)=E1(x,z,t)+E2(x,z,t)=E0exp(-iωt)其中：E0=E10exp[i(k1xx+k1zz+)]+E20exp[i(k2xx+k2zz+)]=|E0|exp(i)而且有：211020121220102202100)]()()cos[(2[||zkkxkkEEEEEzzxx])cos()cos()sin()sin(arctan[2022201011102022201011100zkxkEzkxkEzkxkEzkxkEzxzxzxzx10200其中：21xxxkkk21zzzkkk2010212xxxkkk212zzzkkk201002合成波与前面所讨论到的合成波都不一样：1、振幅分布上有驻波的特点；2、位相上有行波的特点；3、其时间频率仍然是ω不变01002cos()2(,,)exp[22()]xzxzkkExzExztjkxkzt考虑当E10=E20时的特殊情况，有第三节两束同频振动方向垂直的标量波的叠加假定两束光沿着z轴方向传播，而其振动方向分别与x、y轴方向相同，设这两束光波的波函数如下：其中的、是直角坐标系Oxyz中x、y方向上的单位矢量。两束光波叠加，合成波函数为：xeˆyeˆ12EEE11010ˆ(,)cos()xEzteEkzt22020ˆ(,)cos()yEzteEkzt（2.3.1）（2.3.2）E显然合成波在xy平面内，其方向垂直于传播方向z轴，但是一般而言它不再与x或y轴同向。如右图所示，E与x轴的夹角α满足：合成波与分量波矢量2020211010cos()||||cos()EkztEtgEEkzt显然α是z和t的函数，E的方向一般是不固定的，将随着z和t而变化，利用(2.3.1)和(2.3.2)，消去(kz-ωt)，得：其中22212122210201020||||||||2cossinEEEEEEEE1020（2.3.3）右图中画出了kz-ωt为某一确定值时的E以及它与x轴的夹角，这个椭圆既可以理解为1、位置z确定时E的端点随着时间t的变化轨迹；2、时间t确定时E的端点随着位置z的变化轨迹在x-y平面上的投影，后