第九章 方向导数与梯度

方向导数与梯度实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行．一、方向导数的定义讨论函数在一点P沿某一方向的变化率问题．),(yxfz．引射线内有定义，自点的某一邻域在点设函数lPPUyxPyxfz)(),(),().(),(,pUPlyyxxPlx上的另一点且为并设为的转角轴正向到射线设oyxlPxyP||PP,)()(22yx),,(),(yxfyyxxfz且,z考虑当沿着趋于时，PPl),(),(lim0yxfyyxxf是否存在？的方向导数．沿方向则称这极限为函数在点在，时，如果此比的极限存趋于沿着当之比值，两点间的距离与函数的增量定义lPPlPyxPPyxfyyxxf22)()(),(),(记为.),(),(lim0yxfyyxxflf依定义，函数),(yxf在点P沿着x轴正向}0,1{1e、y轴正向}1,0{2e的方向导数分别为yxff,；沿着x轴负向、y轴负向的方向导数是yxff,.方向导数的几何意义),(),(lim),(0000000yxfyyxxflyxfxyyyxxx00过直线作平行于z轴的平面与曲面z=f(x,y)所交的曲线记为CC上考察在对应的方向与lPP0),(),(0000yxfyyxxf表示C的割线向量的交角的正切值与lPP0即的斜率关于lPP0时当0),(),(0000yxyyxx即割线转化为切线上式极限存在就意味着当点),(00yyxx),(00yx趋于点曲线C在点P0有唯一的切线它关于方向的斜率l就是方向导数),(00yxlfLCM0TP0PMl定理如果函数),(yxfz在点),(yxP是可微分的，那末函数在该点沿任意方向L的方向导数都存在，且有sincosyfxflf，其中为x轴到方向L的转角．证明由于函数可微，则增量可表示为)(),(),(oyyfxxfyxfyyxxf两边同除以,得到)(),(),(oyyfxxfyxfyyxxf故有方向导数lf),(),(lim0yxfyyxxf.sincosyfxfcossin例1求函数yxez2在点)0,1(P处沿从点)0,1(P到点)1,2(Q的方向的方向导数.解这里方向l即为}1,1{PQ,故x轴到方向l的转角4.;1)0,1(2)0,1(yexz,22)0,1(2)0,1(yxeyz所求方向导数lz)4sin(2)4cos(.22例2求函数22),(yxyxyxf在点（1，1）沿与x轴方向夹角为的方向射线l的方向导数.并问在怎样的方向上此方向导数有（1）最大值；（2）最小值；（3）等于零？解由方向导数的计算公式知sin)1,1(cos)1,1()1,1(yxfflf,sin)2(cos)2()1,1()1,1(xyyxsincos),4sin(2故（1）当4时，方向导数达到最大值2;（2）当45时，方向导数达到最小值2;（3）当43和47时，方向导数等于0.推广可得三元函数方向导数的定义对于三元函数),,(zyxfu，它在空间一点),,(zyxP沿着方向L的方向导数，可定义为,),,(),,(lim0zyxfzzyyxxflf（其中222)()()(zyx）设方向L的方向角为,,,cosx,cosy,cosz同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点沿任意方向L的方向导数都存在，且有.coscoscoszfyfxflf例3设n是曲面632222zyx在点)1,1,1(P处的指向外侧的法向量，求函数2122)86(1yxzu在此处沿方向n的方向导数.解令,632),,(222zyxzyxF,44PPxxF,66PPyyF,22PPzzF故zyxFFFn,,,2,6,4,142264222n方向余弦为,142cos,143cos.141cosPPyxzxxu22866;146PPyxzyyu22868;148PPzyxzu22286.14故PPzuyuxunu)coscoscos(.711二、梯度的概念?最快沿哪一方向增加的速度函数在点P定义设函数),(yxfz在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点DyxP),(，都可定出一个向量jyfixf，这向量称为函数),(yxfz在点),(yxP的梯度，记为),(yxgradfjyfixf.设jiesincos是方向l上的单位向量，由方向导数公式知问题：}sin,{cos},{yfxfsincosyfxflfeyxgradf),(,cos|),(|yxgradf其中)),((,eyxgradf当1)),,(cos(eyxgradf时，lf有最大值.函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值．梯度的模为22|),(|yfxfyxgradf.gradfgradfP当xf不为零时，x轴到梯度的转角的正切为　xfyftan．),(yxfz在几何上表示一个曲面曲面被平面所截得cz,),(czyxfz所得曲线在xoy面上投影如图oyx1),(cyxf2),(cyxfPcyxf),(),(yxgradf梯度为等高线上的法向量等高线等高线的画法例如,图形及其等高线图形．函数xyzsin梯度与等高线的关系：向导数．的方于函数在这个法线方向模等高的等高线，而梯度的值较值较低的等高线指向数从数线的一个方向相同，且在这点的法高线的等的梯度的方向与点在点函数cyxfPyxPyxfz),(),(),(此时f(x,y)沿该法线方向的方向导数为2222yxyyyxxxffffffffnf0gradf故应从数值较低的等高线指向数值较高的等高线，梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数，这个法线方向就是方向导数取得最大值的方向。梯度的概念可以推广到三元函数三元函数),,(zyxfu在空间区域G内具有一阶连续偏导数，则对于每一点GzyxP),,(，都可定义一个向量(梯度).),,(kzfjyfixfzyxgradf类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.类似地,设曲面czyxf),,(为函数),,(zyxfu的等量面，此函数在点),,(zyxP的梯度的方向与过点P的等量面czyxf),,(在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数.例4求函数yxzyxu2332222在点)2,1,1(处的梯度，并问在哪些点处梯度为零？解由梯度计算公式得kzujyuixuzyxgradu),,(,6)24()32(kzjyix故.1225)2,1,1(kjigradu在)0,21,23(0P处梯度为0.例5求函数)(12222byaxz沿曲线12222byax在点)2,2(ba处的内法线方向的方向导数解一用方向导数计算公式即要求出从x轴正向沿逆时针转到内法线方向的转角在12222byax两边对x求导02222dxdybyax解得yaxbdxdy22abdxdyM0（切线斜率）故法线斜率为batan内法线方向的方向余弦为22cosbab22cosbaa而由)(12222byaxz得222,2byyzaxxzbyzaxzMM2,200coscosyzxzlz))(2()(22222baabbaba)(2122baab解二用梯度梯度是这样一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，它的模等于方向导数的最大值,即梯度是函数在这点增长最快的方向从等高线的角度来看，f(x,y)在点P的梯度方向与过点P的等高线f(x,y)=C在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线)(1),(2222byaxyxfz等高线为f(x,y)=C即Cbyax12222212111CCCC若椭圆122221Cbyax222221Cbyax大于椭圆因此12222byax在点)2,2(ba处的内法线恰好是梯度方向故22)()(||yzxzgradzlzPbyax424244)(2122baab1),(cyxf2),(cyxf三、小结1、方向导数的概念（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）2、梯度的概念（注意梯度是一个向量）3、方向导数与梯度的关系.),(最快的方向在这点增长梯度的方向就是函数yxf思考题讨论函数22),(yxyxfz在)0,0(点处的偏导数是否存在？方向导数是否存在？思考题解答xfxfxzx)0,0()0,(lim0)0,0(.||lim0xxx同理：)0,0(yzyyy||lim0故两个偏导数均不存在.沿任意方向},,{zyxl的方向导数,)0,0(),(lim0)0,0(fyxflz1)()()()(lim22220yxyx故沿任意方向的方向导数均存在且相等.练习题一、填空题:1、函数22yxz在点)2,1(处沿从点)2,1(到点)32,2(的方向的方向导数为_____________.2、设xyzyxzyxf22232),,(zyx623,则)0,0,0(gradf__________________.3、已知场,),,(222222czbyaxzyxu沿则u场的梯度方向的方向导数是__________________.4、称向量场a为有势场,是指向量a与某个函数),,(zyxu的梯度有关系__________________.三、设vu,都是zyx,,的函数,vu,的各偏导数都存在且连续,证明:ugradvvgraduuvgrad)(四、求222222czbyaxu在点),,(000zyxM处沿点的向径0r的方向导数,问cba,,具有什么关系时此方向导数等于梯度的模?二、求函数)(12222byaxz在点)2,2(ba处沿曲线12222byax在这点的内法线方向的方向导数.一、1、321；2、kji623；3、graduczbyax222222)2()2()2(；4、gradua.二、)(2122baab.四、cbazyxzyxuruM;),,(22020200000.练习题答案