《三角函数的诱导公式》教学设计

1/151.3三角函数的诱导公式（名师：杨峻峰）一、教学目标（一）核心素养从对称性出发，获得一些三角函数的性质.会选择合适的诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数.（二）学习目标1.牢固掌握五组诱导公式.2.理解和掌握公式的内涵及结构特征，熟练运用公式进行三角函数的求值、化简及恒等证明.3.通过诱导公式的推导，培养学生的观察能力、分析归纳能力.4.渗透把未知转化为已知以及分类讨论的数学思想.（三）学习重点熟练、准确地运用公式进行三角函数求值、化简及证明.（四）学习难点相关角终边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识，诱导公式的推导、记忆及符号判断.二、教学设计（一）课前设计1.阅读教材第23页至第27页，填空：（1）如图，的终边与角的终边关于原点对称；（2）如图，的终边与角的终边关于x轴对称；（3）如图，的终边与角的终边关于y轴对称；（4）如图，2的终边与角的终边关于直线y＝x对称；2/15（5）诱导公式：公式二：sinsin，coscos，tantan；公式三：sinsin，coscos，tantan；公式四：sinsin，coscos，tantan；公式五：sin2cos，cos2sin；公式六：sin2cos，cos2sin．2．预习自测1.下列选项错误的是（）A.利用诱导公式二可以把第三象限的三角函数化为第一象限的三角函数.B.利用诱导公式三可以把负角的三角函数化为正角的三角函数.C.sincos2.D.若为第四象限角，则sincos2.答案：C.（二）课堂设计1．知识回顾3/15（1）任意角的正弦、余弦、正切是怎样定义的？在角的终边上任取一点,Pxy，则22sinyxy，22cosxxy，tanyx.当P为角的终边和单位圆的交点时，有sinα=y，cosα=x，tanyx.（2）诱导公式一：sin2sin;cos2cos;tan2tan,kkkkZ（3）终边相同的角的同名三角函数值相等，即公式一.利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数转化为0°到360°(0到2)内的角的三角函数值.对于任何一个0,2内的角，以下四种情况有且只有一种成立：0,2,23,232,22，当，当，当，当（其中为锐角）所以，我们研究，，2与的同名三角函数即可.2．问题探究探究一角与角之间的关系●活动①结合图象，探究角与角终边之间的关系结合图象思考：①锐角的终边与角的终边位置关系如何？②它们与单位圆的交点的位置关系如何？4/15③任意角与呢？引导学生充分利用单位圆，并和学生一起讨论：①无论为锐角还是任意角，的终边都是的终边的反向延长线；②角的终边与单位圆的交点关于原点对称.●活动②结合定义，辨析角与角三角函数之间的关系设任意角的终边与单位圆的交点坐标为1,Pxy，由对称可知，角的终边与单位圆的交点坐标为2,Pxy.由三角函数的定义得：siny，cosx，tanyx；siny，cosx，tanyx.从而，我们得到诱导公式二：sinsin，coscos，tantan.探究二角、与角之间的关系●活动①结合图象，探究角、与角终边之间的关系结合图象思考：①任意角、的终边与角的终边位置关系如何？②它们与单位圆的交点的位置关系如何？引导学生充分利用单位圆，并和学生一起讨论：①任意角的终边与任意角的终边关于x轴对称，与单位圆的交点也关于x轴对称；②任意角角的终边与角的终边关于y轴对称，与单位圆的交点也关于y轴对5/15称.●活动②类比探究一，辨析角、与角三角函数之间的关系引导学生类比探究一的方法，得到：公式三：sinsin，coscos，tantan.公式四：sinsin，coscos，tantan.探究三理解公式的内涵及结构特征●活动①互动交流、初步实践引导学生观察分析公式三的特点，得出公式四的用途：可将求角的三角函数值转化为求角的三角函数值.让学生分析总结诱导公式的结构特点，概括说明，加强记忆.我们可以用下面一段话来概括公式一~四：2kkZ，、的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号.进一步简记为：“函数名不变，符号看象限”.点拨、引导学生注意公式中的是任意角.●活动②巩固基础，理解升华例1利用公式求下列三角函数值.（1）cos225；（2）11sin3；（3）16sin3；（4）cos2040.【知识点】公式一~四．【数学思想】化归思想6/15【解题过程】解：（1）2cos225cos180+45cos452；（2）113sinsin4sin3332．（3）16163sinsinsin5sin33332；（4）1cos2040cos2040cos120cos18060cos602．【思路点拨】利用公式一~四把任意角的三角函数转化为锐角三角函数．【答案】（1）22；（2）32；（3）32；（4）12．通过例1运用讲解，引导学生归纳，任意角的三角函数转化为锐角三角函数的一般步骤：变式训练化简：1+2sin290cos430sin250cos790【知识点】公式一~四．【数学思想】【解题过程】解：1+2sin290cos430sin250cos7901+2sin36070cos36070sin18070cos7207012sin70cos70sin70cos70cos70sin70cos70sin701．7/15【思路点拨】利用公式一~四把任意角的三角函数转化为锐角三角函数．【答案】1探究四角2与角之间的关系●活动①探究角2与角之间的关系设任意角的终边与单位圆的交点坐标为1,Pxy．由于角2的终边与角的终边关于直线y＝x对称，角2的终边与单位圆的交点2P与点1P关于直线y＝x对称，因此点2,Pyx，从而有：cosx，siny；cos2y，sin2x．所以得到公式五：sincos2，cossin2．●活动②探究角2与角之间的关系我们可以类比探究2与角三角函数之间的关系，进行角2与角之间关系的探究．另一方面，由于22，是否可以结合公式四及公式五推导出角2与角三角函数之间关系呢？请学生进行推导．可以得到公式六：sincos2，8/15cossin2．我们可以用下面一段话来概括公式五、六：正弦(余弦)函数值，分别等于的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号．进一步可以简记为：函数名改变，符号看象限．●活动③探究角32与角之间的关系例2证明：（1）3sincos2；（2）3cossin2【知识点】诱导公式四、五．【数学思想】【解题过程】证明：（1）3sinsinsincos222；（2）3coscoscossin222．【思路点拨】将32变形为2利用公式四、五进行转化．【答案】（1）cos；(2)sin．学了六组诱导公式及上例的结果后,能否进一步归纳概括诱导公式．诱导公式一~四，函数名称不改变，这些公式左边的角分别是2kkZ，，（可看作0）．其中2k，，0是横坐标轴上的角，因此，上述公式可归结为横坐标轴上的角，函数名称不改变．而公式五、六及上面的例2，这些公式左边的角分别是2，32，其中2，32是纵坐标轴上的角，因此这些公式可归结为纵坐标上的角，函数名称要改变．两类诱导公式的符号的考查是一致的，故而所有的诱导公式可用十个字来概括：纵变横不变，符号看象限．●活动④灵活应用，融会贯通例3化简9/1511sin2coscoscos229cossin3sinsin2aa．【知识点】诱导公式一~六．【数学思想】【解题过程】解：11sin2coscoscos229cossin3sinsin2aasincossincos52cossinsinsin422sincoscos2cossinsinsin2sintancos．【思路点拨】合理利用诱导公式，抓住“负化正，大化小，化到锐角终了”的原则．【答案】tan变式训练已知cos16mm，求2sin3的值．【知识点】诱导公式六．【数学思想】【解题过程】解：∵2362，∴2326∴2sin3=sin26=cos6m．【思路点拨】当两个角的和或差是2的整数倍时，它们的三角函数值可通过诱导公式联系起来．【答案】m10/153.课堂总结①有关角的终边对称性1)的终边与角的终边关于原点对称；2)的终边与角的终边关于y轴对称；3)的终边与角的终边关于x轴对称；4)2的终边与角的终边关于直线y＝x对称．②利用五组诱导公式就可以将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数．其化简方向仍为：“负化正，大化小，化到锐角终了”．③纵变横不变，符号看象限．（三）课后作业基础型自主突破1．210sin（）A．23B．21C．23D．21【知识点】诱导公式．【数学思想】化归思想．【解题过程】2130sin)30180sin(210sin．【思路点拨】根据诱导公式求值．【答案】D．2．)240cos(（）A．23B．21C．23D．21【知识点】诱导公式．【数学思想】化归思想．【解题过程】2160cos)60180cos(240cos)240cos(．【思路点拨】根据诱导公式求值．【答案】D．11/153．67cos（）A．23B．21C．23D．21【知识点】诱导公式．【数学思想】化归