效益的合理分配

CH8.4效益的合理分配问题甲乙丙三人合作经商，若甲乙合作获利7元，甲丙合作获利5元，乙丙合作获利4元，三人合作获利11元。又知每人单干获利1元。问三人合作时如何分配获利？记甲乙丙三人分配为),,(321xxxx11321xxx457323121xxxxxx解不唯一(5，3，3)(4，4，3)(5，4，2)……1,,321xxx定义合作结果V（S）的分配为，其中表示第i人在这种合作下分配到的获利。显然，不同的合作应有不同的分配，问题归结为找出一个合理的分配原则来，被称为合作对策))(,),(()(1VVVN)(Vi)(V)(V1953年Shapley采用逻辑建模方法研究了这一问题。首先，他归纳出了几条合理分配原则应当满足的基本性质（用公理形式表示），进而证明满足这些基本性质的合作对策是唯一存在的，从而妥善地解决了问题。)(V)(V是否存在合理分配原则)(VShapley提出了以下公理：设V是I上的特征函数，是合作对策，则有)(V公理1合作获利对每人的分配与此人的标号无关。公理2，即每人分配数的总和等于总获利数。niiIVV1)()(公理3若对所有包含的i的子集S有：V(S-{i})=V(S)，=0。)(Vi即若第i人在他参加的任一合作中均不作出任何贡献，则他不应从合作中获利公理4若此n个人同时进行两项互不影响的合作，则两项合作的分配也应互不影响，每人的分配额即两项合作单独进行时应分配数的和。)()1IvVnii（niivVi,,2,1),()（212121),()()(0)(sssvsvssvv},,2,1{nI集合Shapley合作对策满足实函数，子集)(svIs[I,v]~n人合作对策，v~特征函数~n人从v(I)得到的分配，满足v(s)~子集s的获利))(,),(()(1VVVN利用上述公理可以证明满足公理1~4的是唯一存在的)(V存在的公式吗)(VShapley指出，可按下列公式给出：)(ViSSiiSVSVSWV})]{()(|)[(|)((8.1)i=1,…,nSi是I中包含i的一切子集所成的集合，|S|表示集合S中的元素个数，而!|)!|()!1|(||)(|nSnSSW(8.2)可视为i在合作S中所作的贡献W(|S|)可看作这种贡献的权因子三人(I={1,2,3})经商中甲的分配x1的计算1/31/61/61/3)]1\()()[(svsvsw)(sws)1\()(svsv)1\(sv)(sv1S11213I17511011416471/312/37/3x1=13/3类似可得x2=23/6,x3=17/6)]1\()()[(11svsvswxSs1223合作的获利真的不少于他单干时的获利吗对每一i∈I，有})({)(iVVi求证:证明:|S|=K时，包含i的子集S共有个11knC即个)!()!1()!1(KnKn)!()!1()!1(!)!()!1(|)(|||KnKnnKnKSWiSSKS故=1/n1|)(|(|)(|||1iiSSKSnKSSSWSW从而})({}){()(iViSVSV又根据性质，有})]{()([|)(|)(iSVSVSWViSSi})({|)(|})({iVSWiViSS故有合作对策的应用例2污水处理费用的合理分担20km38km河流三城镇地理位置示意图123•污水处理，排入河流•三城镇可单独建处理厂，或联合建厂(用管道将污水由上游城镇送往下游城镇)Q1=5Q3=5Q2=3Q~污水量，L~管道长度建厂费用P1=73Q0.712管道费用P2=0.66Q0.51L230)3(,160)2(,230573)1(712.0CCC35020566.0)35(73)2,1(51.0712.0C36538366.0)53(73)3,2(51.0712.0C46358566.0)55(73)3,1(51.0712.0C460)3()1(CC污水处理的5种方案1）单独建厂620)3()2()1(1CCCD总投资2）1,2合作3）2,3合作4）1,3合作580)3()2,1(2CCD总投资595)3,2()1(3CCD总投资合作不会实现55638)35(66.020566.0)535(73)3,2,1(51.051.0712.05CD5）三城合作总投资D5最小,应联合建厂建厂费：d1=73(5+3+5)0.712=45312管道费：d2=0.6650.5120=3023管道费：d3=0.66(5+3)0.5138=73D5城3建议：d1按5:3:5分担,d2,d3由城1,2担负城2建议：d3由城1,2按5:3分担,d2由城1担负城1计算：城3分担d15/13=174C(3),城2分担d13/13+d33/8=132C(2),城1分担d15/13+d35/8+d2=250C(1)不同意D5如何分担？230)3(160)2(230)1(CCC0)3()2()1(,0)(vvvv}3,2,1{I集合特征函数v(s)~联合(集s)建厂比单独建厂节约的投资),,(321xxxx~三城从节约投资v(I)中得到的分配40350160230)2,1()2()1()21(CCCv64556230160230)3,2,1()3()2()1()(0)31(25365230160)3,2()3()2()32(CCCCIvvCCCvShapley合作对策计算城1从节约投资中得到的分配x1)]1\()()[(svsvsw)(sws)1\()(svsv)1\(sv)(svs11213I0400640002504003912231/31/61/61/306.7013x1=19.7,城1C(1)-x1=210.4,城2C(2)-x2=127.8,城3C(3)-x3=217.8三城在总投资556中的分担x2=32.1,x3=12.2x2最大，如何解释？合作对策的应用例3派别在团体中的权重90人的团体由3个派别组成，人数分别为40,30,20人。团体表决时需过半数的赞成票方可通过。1)()32()31()21(,0)3()2()1(,0)(Ivvvvvvvv虽然3派人数相差很大若每个派别的成员同时投赞成票或反对票，用Shapley合作对策计算各派别在团体中的权重。3/1321xxx权重团体I={1,2,3}，依次代表3个派别否则，的成员超过定义特征函数045,1)(ssv优点：公正、合理，有公理化基础。如n个单位治理污染,通常知道第i方单独治理的投资yi和n方共同治理的投资Y,及第i方不参加时其余n-1方的投资zi(i=1,2,…n).确定共同治理时各方分担的费用。iijjzyiIv)\(其它v(s)均不知道,无法用Shapley合作对策求解Shapley合作对策小结若定义特征函数为合作的获利(节约的投资)，则有,)(),,2,1(0)(1YyIvniivnii缺点：需要知道所有合作的获利，即要定义I={1,2,…n}的所有子集(共2n-1个)的特征函数，实际上常做不到。),,(1nbbb记设只知道~)\(iIvbi无i参加时n-1方合作的获利~)(IvB及全体合作的获利0),,,,(21inxxxxxB的分配求各方对获利),,(),7,5,4(11321xxxxbB求，即已知求解合作对策的其他方法例.甲乙丙三人合作经商，若甲乙合作获利7元，甲丙合作获利5元，乙丙合作获利4元，三人合作获利11元。问三人合作时如何分配获利？（2）协商解00,AbAxTT11nniiibxxbxxBx11将剩余获利平均分配ixBnBbbnxBnxxiiiii1)(111),7,5,4(.Bb例模型以n-1方合作的获利为下限TTbxA求解iiibbnx11~xi的下限,3),1,3,4(ixBx)2,4,5()1,1,1(xx（3）Nash解),,(1nddd记为现状点（谈判时的威慑点）iiiiiidxBxtsdxxma..)(iixd在此基础上“均匀地”分配全体合作的获利B模型0id)(1iiidBndx平均分配获利B3）Nash解2）协商解（4）最小距离解的上限为记xxxxn),,(1iiiiiixxBxtsxxnmi..)(2模型第i方的边际效益iibBx若令nBbbnxiii111),7,5,4(.Bb例)(1Bxnxxiii4）最小距离解2）协商解,6),4,6,7(Bxxi)2,4,5()2,2,2(xx（5）满意解iiiiidedxu满意度Bxtsunmixmaiii..)(di~现状点(最低点)ei~理想点(最高点)模型iiiixexd,5）基于满意度的解2）协商解iiixed,0)(iiiiiiiiideudxdedBu的比例分配中在按iiiiixxBxxx~（6）Raiffi解jjxbBnjj获利为方合作时的原来无参与当,1)(jininxxxxxjiijj,,,1,)1(2,2:)1的分配基础上进行方合作获利的分配（在Bnx方再等分方平分，和先由11nnjxj得到再平均取,,,2,1njijjiiixnxnxnnx])1(212[11)4,6,7(),1,3,4(xx与协商解x=(5,4,2)比较11),7,5,4(.Bb例)1252,12113,324（x求解合作对策的6种方法（可分为三类）Shapley合作对策A类B类!)!1()!()(nssnswniisvsvswxiSsi,,2,1)],\()()[()(),\(IvBiIvbi只需Issv),(需要所有协商解)(1iiixBnxx下限~ixNash解)(1iiidBndx现状~id最小距离解)(1Bxnxxiii上限~ix满意解)(iiiiiiiiideudxdedBudi~现状,ei~理想iiiixexd,iibBx,1bAxB类4种方法相同例：有一资方(甲)和二劳方(乙,丙),仅当资方与至少一劳方合作时才获利10元，应如何分配该获利？Raiffi解C类)(),\(IvBiIvbi只需方再等分方平分，和先由上限对每个11,nnjxjj10)(),10,10,0(),\(.IvBbiIvbBi)67.1,67.1,67.6().(xShapleyA)0,0,10(,xbBxii)0,0,10(1TTbAx)83.0,83.0,34.8(xijjiiixnxnxnnxRaiffiC])1(212[11).()0,0,10(xB类：计算简单，便于理解，可用于各方实力相差不大的情况；一般来说它偏袒强者。C类：考虑了分配的上下限，又吸取了Shapley的思想，在一定程度上保护弱者。A类：公正合理；需要信息多，计算复杂。求解合作对策的三类方法小结