chapter 02MAXWELL方程

2.1电荷守恒定律自然界中最小的带电粒子包括电子和质子：-e、+e一般带电体的电荷量通常用q表示从微观上看，电荷是以离散的方式出现在空间中的从宏观电磁学的观点上看，大量带电粒子密集出现在某空间范围内时，可假定电荷是以连续的形式分布在这个范围中电荷的几种分布方式：空间中－体积电荷体密度面上－电荷面密度s线上－电荷线密度l一、电荷与电荷密度体电荷：电荷连续分布在一定体积内形成的电荷体体电荷密度的定义()r0()limVqdqrVdV在电荷空间V内，任取体积元，其中电荷量为Vq则()VqrdV体电荷密度面电荷：当电荷只存在于一个薄层上时，称电荷为面电荷面电荷密度的定义()sr0()limsSqdqrSdS在面电荷上，任取面积元，其中电荷量为Sq则()sSqrds面电荷密度线电荷：当电荷只分布在一条细线上时，称电荷为线电荷线电荷密度的定义()lr0()limllqdqrldl在线电荷上，任取线元，其中电荷量为lq则()llqrdl线电荷密度()()0,(),0,()1,VrqrrrrrrrrVrrrrdVVrr其中，不包含的点包含的点当电荷体体积非常小，可忽略其体积时，称为点电荷。点电荷可看作是电量q无限集中于一个几何点上。点电荷电流由定向流动的电荷形成，通常用i表示，定义为二、电流与电流密度0limtqdqitdt电流的物理意义：单位时间内流过曲面S的电荷量当电荷速度不随时间变化时，电流也不随时间变化，称为恒定（稳恒）电流I空间各点电荷的流动除快慢不同外，方向可能不同，仅用穿过某截面的电荷量无法描述电流的分布情况引入电流密度来描述电流的分布情况电荷的几种分布方式：空间中－体积电流体密度面上－电流面密度Js线上－线电流IJJ体电流密度电荷在一定体积空间内流动所形成的电流成为体电流如图，设P为空间中的任意点，过P取面积元dS。体电流密度定义JnnSSidiJeeiJdSSdS0lim方向：正电荷运动的方向物理意义：单位时间内通过垂直电流传播方向单位面积的电荷量反映空间各点电流流动的物理量，形成一个空间矢量场一般是时间t的函数，即。恒定电流是特殊情况如有N种带电粒子，则1NiidiJdS,JJrt（)PdS面电流密度定义：sJ面电流密度lSSnnlIdiJeeldlJindl01lim为薄导体层的法向单位矢量。1nhsJ1nlS当电流集中在一个厚度趋于零的薄层（如导体表面）中流动时，电流被认为是表面电流或面电流，其分布情况用面电流密度矢量来表示sJ电荷只在一条线上运动时，形成的电流即为线电流。电流元：长度为无限小的线电流元。Idl线电流和电流元SVI三、电流的连续性方程取电流流动空间中的任意一个体积V，设在时间内，V内流出S的电荷量为dtdq由电流强度定义：定律：时间内，V内电荷减少量为dqdt由电荷守恒()SdqIdtJrdSdt()()SVdqdJrdSrdVdtdt()VVJdVdVt0JJtt()sJrds()VdrdVdt即电荷守恒定律积分形式在等式的左端应用高斯散度定理，将闭合面上的面积分变为体积分，得电荷守恒定律微分形式2、当体积V为整个空间时，闭合面S为无穷大界面，将没有电流经其流出，电流连续性方程可写成0VdVt对电流连续性方程的进一步讨论即整个空间的总电荷是守恒的。1、积分形式反映的是电荷变化与电流流动的宏观关系，而微分形式则描述空间各点电荷变化与电流流动的局部关系3、对于恒定电流，当电流不随时间变化，空间中电荷分布也不改变，即：00Jtt则恒定电流的电流连续性方程为0J0sJds4、对于面电流，电流连续性方程为：意义：流入闭合面S的电流等于流出闭合面S的电流——基尔霍夫电流方程()sSlSJndldSt时变面电流()0SlJndl恒定面电流例在球面坐标系中，传导电流密度为J=er10r-1.5(A/m)，求：1）通过半径r＝1mm的球面的电流值；2）在半径r=1mm的球面上电荷密度的增加率；3）在半径r=1mm的球体内总电荷的增加率。解：（1）21.521000.5110sin|40|3.97()rmmSrmmIJdSrrddrA（2）在球面坐标系中21.522.58311105|1.5810/rmmddJrrdtrdrrAm（3）由电荷守恒定律得3.97()SdqJdSIAdt2.2真空中静电场基本规律一、库仑定律库仑定律描述了真空中两个点电荷间相互作用力的规律O'rrR'Rrr1q2q库仑定律内容：如图，电荷q1对电荷q2的作用力为：121212230044RqqqqFeRRR式中：RRRReR0为真空中介电常数。90110/36Fm对库仑定律的进一步讨论大小与电量成正比、与距离的平方成反比，方向在连线上多个电荷对一个电荷的静电力是各电荷力的矢量叠加，即连续分布电荷系统的静电力须通过矢量积分进行求解304iiiiiiqqFFRR二、电场强度矢量E电场的定义电场强度矢量用电场强度矢量表示电场的大小和方向E电场是电荷周围形成的物质，当另外的电荷处于这个物质中时，会受到电场力的作用静止电荷产生的电场称为静电场随时间发生变化的电荷产生的电场称为时变电场000limqFEq实验证明：电场中电荷q0所受的电场力大小与自身所带电量成正比，与电荷所在位置电场强度大小成正比，即对电场强度的进一步讨论电场强度是单位点电荷受到的电场力，只与产生电场的电荷有关对静电场和时变电场上式均成立点电荷产生的电场单个点电荷q在空间任意点激发的电场为02000()lim4RqFqEreqR01()4qRO'rrR'RrrqP00230044RqqqqFeRRROrRrqP特殊地，当点电荷q位于坐标原点时，'0r20001()lim()44rqFqqEreqrr多个点电荷组成的电荷系统产生的电场由矢量叠加原理，N个点电荷组成的电荷系统在空间任意点激发的电场为31014NiiiiqERR1q2qNqO1'r2'r'NrrNR1R2R()Pr()Pr1E2ENEE合'iiRrr式中:连续分布的电荷系统产生的电场连续分布于体积V中的电荷在空间任意点r产生的电场OdV'rrR()PrV处理思路：1)无限细分区域2）考查每个区域3）矢量叠加原理30(')'(,')'4rdVdErrRRrrR设体电荷密度为，图中dV在P点产生的电场为：()r则整个体积V内电荷在P点处产生的电场为：301(')()(,')'4VVrErdErrRdVR面电荷和线电荷产生的电场只需在上式中将电荷体密度、体积元和积分区域作相应替换即可，如0'14sVrRErdSR30'14llrRErdlR3线电荷面电荷例1图中所示为一个半径为r的带电细圆环，圆环上单位长度带电l，总电量为q。求圆环轴线上任意点的电场。r0ORdEzdlldEz解：将圆环分解成无数个线元，每个线元可看成点电荷l(r)dl，则线元在轴线任意点产生的电场为2014lRdldEeR由对称性和电场的叠加性，合电场只有z分量，则2033003300cos444244zlzzllzlzllllzzeEzedEdlReezzdldlRRrzqzeeRR结果分析（1）当z→0，此时P点移到圆心，圆环上各点产生的电场抵消，E=0（2）当z→∞，R与z平行且相等，rz，带电圆环相当于一个点电荷，有z204qEzeR例2求真空中半径为a，带电量为Q的导体球在球外空间中产生E。由球体的对称性分析可知：电场方向沿半径方向：电场大小只与场点距离球心的距离相关。解：在球面上取面元dS，该面元在P点处产生的电场径向分量为：201cos4srdSdERsindsadad式中：coscosraR222sin(cos)Rara24sQa230cossin4srradEaddR223000230020cossin4cossin24rrsssEdEaraddRaradRQr＝……导体球上电荷均匀分布在导体表面，其在球外空间中产生的电场分布与位于球心的相同电量点电荷产生的电场等效。结果分析亥姆霍兹定理告诉我们：矢量场的散度和旋度决定其性质，因此，静电场的基本方程即为电场的散度、旋度计算式。三、真空中静电场的散度高斯定理可以证明：真空中静电场的散度为00()()()rErrrr处无电荷处电荷密度为静电场高斯定理微分形式说明：1)电场散度仅与电荷分布相关，其大小()r2）对于真空中点电荷，有()0Er0()qEr或真空中静电场的散度二、真空中静电场的旋度环路定律()0Er物理意义：在静电场中将单位电荷沿任一闭合路径移动一周，静电力做功为零。静电场旋度处处为零，静电场中不存在旋涡源，电力线不构成闭合回路0CEdl01()4vrEdvRqABARBRl斯托克斯公式对环路定理的讨论静电场环路定律积分形式真空中静电场性质小结：微分形式0()()()0rErEr0()()0SCQErdSEr积分形式静电场性质：是一种有源无旋场，是保守场。静电场的源：电荷讨论：对静电场，恒有：()0Er()0E为标量函数静电场可以由一标量函数的梯度表示。001()()SVQErdSrdV求解的关键：高斯面的选择。高斯面的选择原则：只有当电荷呈某种对称分布时才可能满足以上原则，因此用高斯定理求解电场的方法只能适用于一些呈对称分布的电荷系统。1）场点位于高斯面上；2）高斯面为闭合面；3）在整个或分段高斯面上，或为恒定值。EEdS补充内容：利用高斯定理求解静电场求无限长线电荷在真空中产生的电场。E解：取如图所示高斯面。由高斯定律，有0()SQErdS0()(2)lrlErrle02lrEer分析：电场方向垂直圆柱面。电场大小只与r有关。r例1解：取如图所示高斯面。在球外区域：ra0()SQErdS20()(4)rQErre204rQEer分析：电场方向垂直于球面。电场大小只与r有关。半径为a的球形带电体，电荷总量Q均匀分布在球体内。求：()Er在球内区域：raarr0()SQErdS32043()(4)rrErre304rQrEea334QQVr例22.3真空中恒定磁场的基本规律0式中：21RRRrr为真空中介电常数。70410/Hm02211123()4IdlIdlRdFR安培定律的微分形式讨论：dF12≠－dF21，这与库存仑定律不同。这是因为孤立的稳恒电流元根本不存在，仅仅是数学上的表示方法而已一、安培力定律安培力定律描述了真空中两个电流回路间相互作用力的规律。C1上电流元对C2上电流元磁场力为11Idl22IdlOr2I2dl2C1r1C2I1dl1I2I1R12两个电流元的相互作用力两个电流环的相互作用力在回路C1上式积分，得到回路C1作用在电流元I2dl2上的力1011121