62离散傅里叶变换(DFT)

第3章离散傅里叶变换(DFT)3.1离散傅里叶变换的定义3.2离散傅里叶变换的基本性质3.3频率域采样3.4DFT的应用举例第3章离散傅里叶变换(DFT)第3章离散傅里叶变换(DFT)一.引言3.1离散傅里叶变换的定义我们已经学习了连续时间傅里叶变换、连续周期信号的傅里叶级数、离散时间傅里叶变换，他们都是信号处理领域中重要的数学变换。本章讨论离散傅里叶变换(DFT)，其开辟了频域离散化的道路，使数字信号处理可以在频域进行。DFT存在快速算法，使信号的实时处理得以实现。DFT不仅在理论上有重要意义，在各种信号处理中也起着核心作用。第3章离散傅里叶变换(DFT)二.四种信号傅里叶表示(1)周期为T的连续时间周期信号00()()jktkxtXke001()()tTjkttXkxtedtTFS时域周期频域离散。频谱特点:离散非周期谱(2)连续时间非周期信号()()1()()2jtjtXjxtedtxtXjedFT)()(nTtxtxT/20时域非周期频域连续。频谱特点：连续非周期谱第3章离散傅里叶变换(DFT)(3)离散非周期信号1()()2jjnxnXeednnjjenxeX)()(DTFT时域离散频域周期。频谱特点：周期为2的连续谱(4)周期为N的离散周期信号时域离散周期频域周期离散。频谱特点:周期为N的离散谱210210()()~1()()~NjnkNnNjnkNkXkxnekxnXkenNDFS第3章离散傅里叶变换(DFT)四种傅立叶变换:1.连续非周期连续非周期()FT2.连续周期离散非周期()FS3.离散非周期连续周期（）DTFT4.离散周期离散周期DFS切实理解四种FT之间的对应关系第3章离散傅里叶变换(DFT)三.离散付里叶级数(DFS)为了便于更好地理解DFT的概念，先讨论周期序列及其离散傅里叶级数（DFS）表示。然后讨论可作为周期函数一个周期的有限长序列的离散傅里叶变换(DFT)。()(),xnxnkNk周期序列因为周期序列不满足条件：。因此它的DTFT不存在。但是，正象连续时间周期信号可用傅氏级数表达，周期序列也可用离散的傅氏级数来表示。()nxn(1)DFS定义210()[()]()NjnkNnXkDFSxnxne正变换：2101()[()]()NjnkNkxnIDFSXkXkeN反变换：2jNNWe一般记：第3章离散傅里叶变换(DFT)(2)周期序列的离散傅里叶级数推导()(),xnxnkNk由可以展成傅里叶级数：()xn2()jknNkkxnaeka将上式两边乘以，并对n在一个周期N上求和得2jmnNe2221100()NNjmnjknjmnNNNknnkxneaee2210NjknjmnNNkknaee21()0NjkmnNne根据正交定理,0,Nkmkm210()NjmnNmnxneNa令k=m2101()NjknNknaxneN第3章离散傅里叶变换(DFT)2101()NjknNknaxneN令()kXkNa210()()NjnkNnXkxne()XkN21()0()NjnkNNnxne210()()NjnkNnxneXk依同样方法可推出：2101()()NjknNkxnXkeN所以，时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍是一个周期序列周期序列的离散傅立叶级数表明：可将周期为N的序列)(~nx分解成N个离散的谐波分量的加权和，各谐波的频率为，Nk2幅度为，其中)(~1kXN1,,1,0Nk表示其频谱分布规律第3章离散傅里叶变换(DFT)(3)周期序列的傅里叶变换表示因为周期序列不满足条件：。因此它的DTFT不存在。但是，通过引入奇异函数δ其DTFT可以用公式表示。()nxn2101()()NjknNkxnXkeN()(),xnxnkNk210:()()NjknNnXkxne其中22()()()jkXeXkkNN第3章离散傅里叶变换(DFT)四.离散付里叶变换周期序列实际上只有有限个序列值才有意义，因而它的离散傅里叶级数表示式也适用于有限长序列,这就得到有限长序列的傅里叶变换(DFT)。(1)时域周期序列看作是有限长序列x(n)的周期延拓(2)频域周期序列看作是有限长序列X(k)的周期延拓(3)把周期序列DFS的定义式（时域、频域）各取主值区间，就得到关于有限长序列时频域的对应变换对。（前面已证：时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍是同周期序列）具体而言，即：第3章离散傅里叶变换(DFT)(1)周期序列的主值区间与主值序列)(~)()()(~主值序列的是的周期延拓是nxnxnxnx()()(())()()()(())()NmNNNxnxnmNxnxnxnRnxnRn对于周期序列，定义其第一个周期n=0~N-1，为的“主值区间”，主值区间上的序列为主值序列x(n)。)(~nx)(~nxx(n)与的关系可描述为：)(~nx数学表示：表示先对n进行模N运算，然后对所得结果进行函数运算(())Nxn925,9,25nN7第3章离散傅里叶变换(DFT)......n)(~nx0N-1定义从n=0到(N-1)的第一个周期为主值序列或区间。N-1nx(n)0第3章离散傅里叶变换(DFT)11~~0011~~00()()(())11()()(())NNknknNNNnnNNknknNNNkkXkxnWxnWxnXkWXkWNN(2)从DFS到离散傅里叶变换如果x(n)的长度为N，且，则可写出的离散傅里叶级数表示为：()(())Nxnxn()xn从上式可知，DFS，IDFS的求和只限定在n=0到n=N-1,及k=0到N-1的主值区间进行。因此可得到新的定义，即有限序列的离散傅氏变换(DFT)的定义。1010()()()011()()(),01NnkNnNnkNkXkDFTxnxnWkNxnIDFTXkXkWnNN，有限长序列隐含着周期性。DFT第3章离散傅里叶变换(DFT)121242(1)(1)2(1)(1)(1)(0)1111(0)(1)1(1)(2)1(2)(1)1(1)NNNNNNNNNNNNNNNNDFTXWxXxX矩阵方程为:即:＝(3)离散傅里叶变换的矩阵方程10()()NnkNnXkxnW第3章离散傅里叶变换(DFT)273880038()()sin()2,0,1,,7sin()8jknknnNjkXkxnWekekk例3.1.1x(n)=R4(n)，求x(n)的8点和16点DFT。设变换区间N=8，则10()()NknNnXkxnW解：DFT定义式为：设变换区间N=16，则2153161600316()()sin()4,0,1,,15sin()16jknknnNjkXkxnWekekk第3章离散傅里叶变换(DFT)10()[()]()NnnXzZTxnxnz比较上面二式可得关系式:2()(),0kN-1(3.1.4)jkNXkXe(4)DFT和Z变换的关系10()[()]()0kN-1,NknNnXkDFTxnxnW(),0,1,,1xnnN2()(),0kN-1(3.1.3)jkNzeXkXz序列x(n)的N点DFT是x(n)的Z变换在单位圆上的N点等间隔采样序列x(n)的N点DFT是x(n)的DTFT在[0，2π]上的N点等间隔采样第3章离散傅里叶变换(DFT)图3.1.1X(k)与X(z),X(ejω)的关系Re(z)jIm(z)N2mN20z平面)1(2NN单位圆-11j-j第3章离散傅里叶变换(DFT)3.2离散傅里叶变换的基本性质一.基本概念1.序列的圆周移位(())()()NNxnmRnyn序列x(n)，长度为N，则x(n)的圆周移位定义为：()(())()NNynxnmRn周期延拓取主值序列左移m位()xn()(())Nxnxn()(())Nxnmxnm圆周移位的实质是将序列x(n)移位，移出主值区间的序列值又依次由另一侧进入主值区。循环移位过程：circshift(a,[0,-1])第3章离散傅里叶变换(DFT)图3.2.1循环移位过程示意图第3章离散傅里叶变换(DFT)2.序列的圆周卷积设和是两个具有相同长度N的有限长序列(若不等，对序列补零使其为N点，)，定义圆周卷积：)(1nx)(2nx1120()()(())()NNNmynxmxnmRn)()()()(1221nxnxnxnx12max(,)NNN圆周卷积过程：周期延拓移位反转2()xm22()(())Nxmxm1120()(())NNmxmxnm22()(())Nxmxm2((n))Nxm相乘相加取主值序列1120()(())()()NNNmxmxnmRnyn第3章离散傅里叶变换(DFT)222222222111(0)(1)(1)(0)(1)(0)(2)(1)(1)(2)(0)(1)(0)(1)(1)xxNxyxxxyxNxNxyNxxxNyHx循环矩阵圆周卷积的矩阵表示：循环右移第3章离散傅里叶变换(DFT)圆周卷积与线性卷积比较：有限长序列x1(n),0≤n≤N1-1;x2(n),0≤n≤N2-1则线性卷积为：12()()*()ynxnxn12()()mxmxnm11120()()NmxmxnmN(N≥max(N1,N2))点圆周卷积为：1120()(())()NNNmxmxnmRn12()()()cynxnxn22(())()NqxnxnqN22(())()NqxnmxnmqN11120()()()()NcNmqynxmxnmqNRn交换求和次序第3章离散傅里叶变换(DFT)11120()()()()NcNqmynxmxnmqNRn11120()()()NmxmxnmqNynqN()()()cNqynynqNRn序列的N点圆周卷积是序列线性卷积(以N为周期)周期延拓序列的主值序列。故，当N≥[N1+N2-1]时，线性卷积与圆周卷积相同。圆周卷积线性卷积是针对DFT引出的一种表示方法信号通过LTI系统时，输出等于输入与系统单位脉冲响应的卷积两序列长度必须等，不等时按要求补零两序列长度可相等，也可不等卷积结果长度与两信号长度相等，皆为N卷积结果长度N=N1+N2-1第3章离散傅里叶变换(DFT)图3.4.2线性卷积与圆周卷积0123451234h(n)x(n)nL＝60123451234nL＝867h(n)x(n)0123451234nL＝1067h(n)x(n)（d）（e）(f)0123451234nN＋M－1＝867h(n)x(n)*nM＝5012341x(n)nN＝401231h(n)（a）（b）（c）89*○*○*○－18910第3章离散傅里叶变换(DFT)121,041,04(),()0,