第四章-1 线性方程组的理论1

第四章线性方程组的理论线性方程组有解的条件线性相关性的理论线性方程组解的结构在第一章用消元法讨论线性方程组第一节线性方程组有解的条件11112211211222221122,,nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb（1）的求解问题.第三章中(1)式写成以向量x为未知元的方程mnAxb（2）定理1线性方程组(1)有解的充分必要条件是有无穷多个解.A为系数矩阵，B为增广矩阵.；当时，方程组(1)RARBRARBn只有唯一解；RARBrn时，方程组(1)证明线性方程组(1)经初等变换后可化为：1111221112222221,,,0,00,00,rrnnrrnnrrrrnnrrcxcxcxcxdcxcxcxdcxcxdd（3）其中0,1,2,,.iicir那么，相应的矩阵的行初等变换将方程组(1)的系数矩阵A和增广矩阵B分别化成1112112222000,000000000000rnrnrrrncccccccccA而初等变换不改变矩阵的秩，所以,RARAr111,0,,0.rrrdRBRBrd由第一章知，线性方程组有解的充要条件是，所以R(A)=R(B)10rd因为1112111222221000.00000000000000rnrnrrrnrrccccdcccdccdBd,AB都是阶梯型矩阵，所以可以看出RAr而111,0,,0.rrrdRBrd定理2n元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩.mnAxbRAn推论1当时，齐次线性方程组只有唯一的零解.RAn0mnAx推论2当时，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是.mn0mnAx0A定理3矩阵方程有解的充分必要条件是.,RARABAXB例1解齐次线性方程组解对系数矩阵A作初等变换变为最简形：123412341234123440,20,2250,3360.xxxxxxxxxxxxxxxx1114111222153316A213141231111002600130026rrrrrr令，将之写成为通常的参数形式2142,xcxc112213242,3,,xccxcxcxc其中为任意实数，写成列向量形式12,cc11221123242,11,103,03,01xccxcccxcxc原方程的同解方程组为2343221114000000130000rrrr32311114001300000000rrr1211030013.00000000rr124340,0.xxxxx取为自由变量，即得24,xx1243424,3,xxxxxxx可任意取值例2求解非齐次线性方程组.3222,2353,132432143214321xxxxxxxxxxxx解对增广矩阵B进行初等变换，322122351311321B13122rrrr23rr200001045011321,3)(,2)(BRAR显然，故方程组无解．例3求解非齐次方程组的通解.2132130432143214321xxxxxxxxxxxx解对增广矩阵B进行初等变换2132111311101111B2121001420001111~.00000212100211011~,2BRAR由于故方程组有解，且有2122143421xxxxx42442342242102120021xxxxxxxxxxxx.02102112000011424321xxxxxx所以方程组的通解为.,42为任意实数其中xx例4设有线性方程组123123123212131321xxxxxxxxx（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多个解？并在有无穷多个解时求其通解．问为何值时，此线性方程组解因为方程的个数与未知量的个数相同，故可从系数矩阵的行列式入手讨论．因为A22133201100111故由克拉默法则知，当，，时,0110,AB当时，写出对应方程组的增广矩阵，0B002101310031方程组有唯一解．并把它化成行阶梯形矩阵12rr0131002100313232rr01310021500022,RA3,RBRARB所以方程组无解．当时，1B1121133111231121021000042131rrrr2,RA3,RBRARB所以方程组无解．当时，1B1121113111412131rrrr112100100020312rr110100100000所以方程组有无穷多个解．23RARB取为自由未知量，得原方程组的同解方程组为2x1222310xxxxx1223110100xxxx即令为任意常数，则得方程组的通解为2xk123110100xxkx练习1设有线性方程组23213213211xxxxxxxxx??,有无穷多个解有解取何值时问解21111111B1111111~2作初等行变换，对增广矩阵),(bAB2222111011011~32222120011011~22112100111011,11时当000000001111~B.,3方程组有无穷多解BRAR其通解为33223211xxxxxxx.,32为任意实数xx,12时当22120011011~B这时又分两种情形：:,3,2)1方程组有唯一解时BRAR.21,21,212321xxx.,故方程组无解BRAR,2)2时300063304211~B练习2求出它的一切解．在有解的情况下，是有解的充要条件证明方程组.054321515454343232121aaaaaaxxaxxaxxaxxaxx解证对增广矩阵B进行初等变换，方程组的增广矩阵为543211000111000011000011000011aaaaaB5143210000011000011000011000011~iiaaaaa051iiaBRAR.051iia是方程组有解的充要条件由于原方程组等价于方程组454343232121axxaxxaxxaxx由此得通解：544543354322543211xaxxaaxxaaaxxaaaax.5为任意实数x