3.4 基本不等式

边城高级中学张秀洲2abab1．理解并掌握基本不等式及变形应用．2．会用基本不等式求最值问题和解决简单的实际问题．自学教材P97—P100解决下列问题一、理解并掌握基本不等式及变形应用．二、《创新设计》自学导引.三、《教材》P100练习1、2、3、4.下图是在北京召开的第24届国际数学大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图案中找出一些相等关系和不等关系吗？ABCDEFGHab22ab设AE=a,BE=b,则正方形ABCD的面积是______,这4个直角三角形的面积之和是_________,a2+b22ab222abab当且仅当a=b时，等号成立4SS正方形ABCD直角三角形结论：222abab文字叙述为:两数的平方和大于或等于它们积的2倍。一般地，对于任意实数a、b，总有当且仅当a=b时，等号成立特别地，若a0，b0，则_____2abab≥通常我们把上式写作：(0,0)2ababab当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.通常我们把上式写作：(0,0)2ababab当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.2abab证明：要证只要证2abab①要证①，只要证20abab②要证②，只要证2()0ab③显然,③是成立的.当且仅当a=b时,③中的等号成立.分析法执果索因对基本不等式的几何意义作进一步探究2ababRt△ACD∽Rt△DCB，BCDC所以DCAC2DCBCACab所以ABCDEabO如图,AB是圆的直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______2abab对基本不等式的几何意义作进一步探究2ababABCDEabO如图,AB是圆的直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______2abab③OD与CD的大小关系怎样?OD_____CD＞≥2abab几何意义：半径不小于半弦基本不等式：(0,0)2ababab注意：（1）不等式使用时,注意“一正,二定,三相等”;（2）当且仅当a=b时取等号；（3）叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数；2abab均值不等式解：如图设BC=x，CD=y，则xy=100，篱笆的长为2(x+y)m.2xyxy≥210020,xy≥2()40xy≥当且仅当时，等号成立因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.xy此时x=y=10.x=yABDC1001010xyxxyy解，可得例1：(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？若x、y皆为正数，则当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时，x+y有最小值_______.2P22xyxyP≥解：如图，设BC=x，CD=y，则2(x+y)=36,x+y=18矩形菜园的面积为xym22xyxy得xy≤81当且仅当x=y时，等号成立因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积是81m21892即x=y=9xyABDC例1：(2)如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？若x、y皆为正数，则当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，xy有最大值_______；214S21422≤≤xySxyxyS①各项皆为正数；②和或积为定值；③注意等号成立的条件.一“正”二“定”三“相等”利用基本不等式求最值时，要注意已知x,y都是正数,P,S是常数.(1)xy=Px+y≥2P(当且仅当x=y时,取“=”号).(2)x+y=Sxy≤S2(当且仅当x=y时,取“=”号).14【例2】某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。解：设水池底面一边的长度为xm，则水池的宽为,水池的总造价为y元，根据题意，得1600x48001600150120(2323)3yxx1600240000720()xx16002400007202xx＋240000720240297600.＋当160040xxx即时y有最小值297600所以将水池的地面设计成边长为40m的正方形时总造价最低，最低造价是297600元2020年2月24日星期一三、《教材》P100练习1、2、3、4.基本不等式的功能在于和与积的互化，应用基本不等式求最值时一定要注意其“一正、二定、三相等”的条件，实际解题时主要技巧是“拆项”，“添项”，“配凑因式”．22222222(1)222(2)(,)1122(3)2(,)(4).abababababababRabbaabababcabbcca；；同调和几何算；术平方号题型一：利用基本不等式证明不等式利用基本不等式求函数的最值，要满足：(1)函数式中各项必须都是正数；(2)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数(定值);(3)等号成立条件必须存在．1,,1.1111118abcabcabc、已知为正实数，且求证：,,1,112112121,1.111222111=8abcabcabcbcaaaaacabbbccbcacababcabc证明：为正实数，且同理由上述三个不等式两边均为正，分别相乘2、已知a，b，c为不全相等的正实数．求证a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ca.【证明】∵a＞0，b＞0，c＞0，∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca.∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)，即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.(1)设0＜x＜32，求函数y＝4x(3－2x)的最大值；【解】(1)∵0＜x＜32，∴3－2x＞0，∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2[2x＋3－2x2]2＝92.当且仅当2x＝3－2x，即x＝34时，等号成立．∵34∈(0，32)，∴函数y＝4x(3－2x)(0＜x＜32)的最大值为92.(2)已知x＞0，y＞0，且1x＋9y＝1，求x＋y的最小值．(2)∵x＞0，y＞0，1x＋9y＝1，∴x＋y＝(1x＋9y)(x＋y)＝yx＋9xy＋10≥6＋10＝16.当且仅当yx＝9xy，又1x＋9y＝1，即x＝4，y＝12时，上式取等号．故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.(1)已知x＜3，求f(x)＝4x－3＋x的最大值；(2)已知x＞1，求y＝x2x－1的最小值．解：(1)∵x＜3，∴x－3＜0.∴f(x)＝4x－3＋x＝4x－3＋(x－3)＋3＝－[43－x＋(3－x)]＋3≤－243－x－x＋3＝－1，当且仅当43－x＝3－x，即x＝1时取等号．∴f(x)的最大值为－1.(1)已知x＜3，求f(x)＝4x－3＋x的最大值；(2)已知x＞1，求y＝x2x－1的最小值．(2)y＝x2x－1＝x2－1＋1x－1＝x＋1＋1x－1＝x－1＋1x－1＋2≥2＋2＝4，当且仅当1x－1＝x－1，即(x－1)2＝1时，等式成立，∵x＞1，∴当x＝2时，ymin＝4.2020年2月24日星期一你学会了吗?※对自己说，你有什么收获？※对同学说，你有什么提示？※对老师说，你有什么疑惑？求最值时注意把握“一正，二定，三相等”已知x,y都是正数,P,S是常数.(1)xy=Px+y≥2P(当且仅当x=y时,取“=”号).(2)x+y=Sxy≤S2(当且仅当x=y时,取“=”号).142、利用基本不等式求最值本节课主要探究基本不等式的证明与初步应用1、两个重要的不等式（1）（2）(当且仅当a=b时，等号成立)22,R,2()abababab那么当且仅当时取号(0,0)2ababab【总复习】课本P103-P104《复习参考题》必做题：《教材》P100-P101A组2、4题选做题：《创新设计》变式2（1）（3）1次2020年2月24日