第四章 无动画 平面问题的极坐标解答03-08

第四章平面问题的极坐标解答要点：（1）极坐标中平面问题的基本方程：——平衡方程、几何方程、物理方程、相容方程、边界条件。（2）极坐标中平面问题的求解方法及应用应用：圆盘、圆环、厚壁圆筒、楔形体、半无限平面体等的应力与变形分析。主要内容§4-1极坐标中的平衡微分方程§4-2极坐标中的几何方程与物理方程§4-3极坐标中的应力函数与相容方程§4-4应力分量的坐标变换式§4-5轴对称应力与相应的位移§4-6圆环或圆筒受均布压力§4-7圆孔的孔边应力集中§4-8半平面体在边界上受法向集中力§4-9半平面体在边界上受法向分布力§4-10平面问题极坐标求解方法小结§4-1极坐标中的平衡微分方程1.极坐标中的微元体dxyOddPABCff()ddddddd体力：,ff应力：PA面,PB面,BC面dddAC面应力正向规定：正应力——拉为正，压为负；剪应力——ρ、的正面上，与坐标方向一致时为正；ρ、的负面上，与坐标方向相反时为正。2.平衡微分方程考虑微元体平衡（取厚度为1）：0,Fdd()dd()()ddd2dd2ddd0fdddddddddd2dd2dd2ddd2dd0fdd将上式化开：（高阶小量，舍去）xyOddrPABCff()ddddddddddddddd0fdd10f两边同除以：dd0,Fdddd()ddd2ddd2dd0fdd两边同除以，并略去高阶小量：dd210fxyOddrPABCff()ddddddd,0M——剪应力互等定理于是，极坐标下的平衡方程为：10f210f（4－1）方程（4－1）中包含三个未知量，而只有二个方程，是一次超静定问题，需考虑变形协调条件才能求解。xyOddrPABCff()ddddddd§4-2极坐标中的几何方程与物理方程1.几何方程dxyOPPABduAB1uud()uduud(1)只有径向变形，无环向变形。径向线段PA的相对伸长：PAPAAPPAPPAAuududu1（a）径向线段PA的转角：01（b）线段PB的相对伸长：PBPBBP()udddu（c）1环向线段PB的转角：PBPPBB()uudud1u11tan（d）只有径向位移时,应变为：u1u11111u(2)只有环向变形，无径向变形。径向线段PA的相对伸长：PAPAAP0ddd2径向线段PA的转角：2uududuuuddyxOPBdAPABuuud22环向线段PB的相对伸长：PBPBBPPBPPBBuudud1u2环向线段PB的转角：2u(3)总应变0uu12121uu121uuu（4－2）——极坐标下的几何方程2.物理方程平面应力情形：1()E1()E12(1)GE（4－3）平面应变情形：21()1E12(1)GE21()1E（4－4）：平衡微分方程：（4－1）10f210f几何方程：u1uu1uuu（4－2）物理方程：1()E1()E12(1)GE（4－3）(平面应力情形)3.弹性力学平面问题极坐标求解的基本方程汇总位移边界条件：应力边界条件：,suusuusslmfsslmf,uu为边界上已知位移，,ff为边界上已知的面力分量。ρρρ00000q/2/2/2/2000q000000rql4.边界条件例1,,00abab00bad00bad0badMρ0cossin0aaad0sincos0aaad00aaadM0xF0yF0OM0,1800,18000a取半径为a的半圆分析，由其平衡得：例2例3§4-3极坐标中的应力函数与相容方程1.直角坐标下变形调方程（相容方程）yxxyxyyx22222（2-20）2222()(1)yxxyffyxxy（2-21）（平面应力情形）0)(2222yxyx（2-23）4444422420xxyy(2-25)22xxfxy22yyfyx2xyxy(2-24)应力的应力函数表示：(,)xy2.极坐标下的应力分量与相容方程方法1：（步骤）（1）利用极坐标下的几何方程，求得应变表示的相容方程：2222()111（2）利用极坐标下的物理方程，得应力表示的相容方程：222211()0（常体力情形）（3）利用平衡方程求出用应力函数表示的应力分量：22211221（4）将上述应力分量代入应力表示的相容方程，得应力函数表示的相容方程：22222110（常体力情形）方法2：（用极坐标与直角坐标之间的变换关系求得到）xyOρPxy（1）极坐标与直角坐标间的关系：222xyarctanyxcosxsinycosxxsinyy2sinyx2cosxy（2）应力分量与相容方程的坐标变换：xxxsincossincosyyycossincossin应力分量的坐标变换(,)xy22sinsincoscosx222222sincossincos222222sincossin22coscossinsiny222222sincoscossin222222sincoscos(a)(b)xxyΦy2sincoscossinxy22222cossinsincossincos222222cossinsincos(c)xyOρPxy由直角坐标下应力函数与应力的关系（2－26）：2200xy2200yx200xyxyxy2221110,xy当时2200xy222222sincossincos2222202sincossin222200yx222222sincoscossin2222202sincoscos22211200xyxy22222cossinsincos2222220sincoscossinsincos1极坐标下应力分量计算公式：2222211,22111（4－5）可以证明：式（4－5）满足平衡方程（4－1）。说明：式（4－5）仅给出体力为零时的应力分量表达式。相容方程的坐标变换22222222sincossincosx222222sincossin22222222sincoscossiny222222sincoscos(a)(b)将式(a)与(b)相加，得2222xy22222112222xy22222112得到极坐标下的Laplace微分算子：22222211