2.4随机变量函数的分布

问题的提出在实际中，人们有时对随机变量的函数更感兴趣。如:已知圆轴截面直径D的分布,§2.4随机变量函数的分布求截面面积的分布。2/4AD一般地，设随机变量X的分布已知，求Y=g(X)(设g是连续函数)的分布。这个问题无论在理论上还是在实际中都非常重要。Y的可能值为;2,1,0,)1(2222即0,1,4.解:}0{}0{}0{2XPXPYP,41.2的分布律求的分布律为设XYXXp210141414141例1:2.4.1离散型随机变量函数的分布)}1()1{(}1{}1{2XXPXPYP}1{}1{XPXP,214141}2{}4{}4{2XPXPYP,41故Y的分布律为Yp410412141由此归纳出离散型随机变量函数的分布律的求法.离散型随机变量的函数的分布的分布律为若也是离散型随机变量其函数是离散型随机变量如果XXgYX.)(,Xkpkxxx21kppp21的分布律为则)(XgYkp)(XgYkppp21)()()(21kxgxgxg.,)(合并应将相应的中有值相同的若kkpxg2.4.2连续型随机变量函数的分布解：设Y的分布函数为FY(y)，则例2：设随机变量X有概率密度.,0,40,8/)(其他xxxfX求Y=2X+8的概率密度。(){}YFyPYy82{()/}PXy82[()/].XFy28{}PXy于是Y的密度函数,21]2/)8[()()(yfdyydFyfXYY注意到.,0,40,8/)(其他xxxfX得.,0,168,328)(其他yyyfY如何验证对否？)(yXyP求导可得.0,0,0,)()(21)()(yyyfyfydyydFyfXXYY当y0时,)()(yYPyFY)(2yXP.)()(yFyFXX例3：设X具有概率密度fX(x)，求Y=X2的密度。解：设Y和X的分布函数分别为FY(y)和FX(x),注意到Y=X2≥0，故当y≤0时，FY(y)=0；.0,0,0,)()(21)()(yyyfyfydyydFyfXXYY从上述两例中可以看到,在求P{Y≤y}的过程中,关键的一步是设法从{g(X)≤y}中解出X,从而得到与{g(X)≤y}等价的X的不等式。例如:用{X≤(y-8)/2}代替{2X+8≤y},用代替{X2≤y}。}{yXy这样做是为了利用已知的X的分布，求出相应的Y的分布函数FY(y)。这是求随机变量函数Y=g(X)的分布函数的一种常用方法。下面给出一个定理，当定理的条件满足时，可直接求随机变量函数的概率密度。min((),()),max((),()),()().gggghygx其中是的反函数000(),,(),()(()),(),[()](),,(),.XXYXfxxgxgxgxYgXfhyhyyfy　　定理　设随机变量具有概率密度又设函数处处可导且恒有或恒有则是连续型随机变量其概率密度为其他定理的证明与前面的解题思路类似。其中x=h(y)是y=g(x)的反函数，注意:若X的概率密度fX(x)在区间(a，b)之外取值为零，就只需g(x)在区间(a，b)是处处可导的严格单调函数,则随机变量Y=g(X)是连续型随机变量，概率密度为0[()]|()|,,(),.Yfhyhyyfy其他min{(),()},max{(),()}.gagbgagb证明：X的概率密度为.,eπ21)(222)(xσxfσμxX(),ygxaxb,)(abyyhx得.01)(ayh知.)0(,),(~2也服从正态分布性函数的线试证明设随机变量abaXYXσμNX例4：()(0),(,)gxay222)(eπ211σμabyσa.,eπ2122)(2)]([yσaaσaμby.),(1)(yabyfayfXY的概率密度为得其它由公式baXYyyhyhfyfXY.,0,,)()]([)())(,(~2aσbaμNbaXY得结论：22~(,),~(,()XNYaXbNaba若则)特别的，X~(0,1).N22212xXfxex解：由题设，知X的密度函数为例5：已知2~(,),,XXNYe求Y的密度函数.0.y所以当0y时，有lnxyexy因函数是严格增加的，它的反函数为．yyfyfXYlnlnyy12lnexp212222102200lnexp,,Yyyfyyy因此得Y的密度函数为2120ln,,yxyx（）－解:X的概率密度为：例6：已知X服从U(0,1)分布.求随机变量Y的概率密度.212221()ln().YXYX0.y212(),yhye所以当0y时，有2(),yxhye反函数：1010,(),Xxfx其它2211()[()]|()|yYXfyfhyhye＝210200,,yYeyfyy所以Y=－2lnX的概率密度为222140,,yxyx（）13.y1221(),hyy－2(),yxhy-1反函数：的概率密度为221YX1132210,(),Yyyfy其它注意：若函数g(x)在X的概率密度非零区间上不单调，不能用公式求Y=g(X)的概率密度，只能用定义法.例7：设随机变量X的概率密度为.,0,0,2)(2其他xxxf求Y=sinX的概率密度。解：注意到,0Y1.当y≤0时，FY(y)=0；当y≥1时，FY(y)=1；yydxxdxxarcsin2arcsin0222当0y1时,)(sin)()(yXPyYPyFY)arcsin()arcsin0(XyPyXP，)()(dyydFyfYY而对FY(y)求导，得222211)arcsin(211arcsin2)(yyyyyfY所以.,0,10,12)(2其他yyyfY.122y1.离散型随机变量的函数的分布:)(的分布律为且若XXgYXkpkxxx21kppp21的分布律为则)(XgYkp)(XgYkppp21)()()(21kxgxgxg小结2.连续型随机变量的函数的分布方法2.,0,,)()]([)(其他yyhyhfyfXY条件:函数y=g(x)在X的概率密度非零区间上单调可导.(){}{()}YFyPYyPgXy()()Xgxyfxdx方法1()Y().YYFyfy对求导得到的密度