1.1集合区间邻域

第一章分析基础函数极限连续—研究对象—研究方法—研究桥梁函数、极限与连续第一章二、两个常用的不等式三、函数一、邻域第一节函数四、初等函数首先回顾一下中学所学过的有关集合、数集、函数的概念。集合的概念集合具有某种特定性质的事物的总体.元素组成这个集合的事物称为该集合的元素.集合与元素的关系:,MaMa由无限个元素组成的集合称为无限集.由有限个元素组成的集合称为有限集.集合举例)1(年在福建地区出生的人.2010集合的概念集合举例)1()2()3()4(年在福建地区出生的人.方程0232xx的根.全体奇数.抛物线2xy上的所有点.集合表示方法.1例举法:{即在}中按任意顺序、不遗漏、不重复地列出集合的所有元素.例如)1(若A仅由有限个元素naaa,,,21组成,2010集合的概念.1例举法:即在{}中按任意顺序、不遗漏、不重复地列出集合的所有元素.例如)1(若A仅由有限个元素naaa,,,21组成,)2(}.,,,{21naaaA可记为由方程0232xx的根构成的集合,}.2,1{A可记为.2描述法:xxM|{所具有的特征}由方程0232xx的根构成的集合,)1(集合的概念.2描述法:xxM|{所具有的特征}由方程0232xx的根构成的集合,)1(可记为}.023|{2xxxM)2(全体奇数的集合,可记为}.,12|{ZnnxxM集合之间的关系若Ax,Bx则称是的子集,AB记为.BAAB就称集合和相等,若,BA且,AB集合的概念AB就称集合和相等,若,BA且,AB记为.BA例如,},2,1{A}023|{2xxxM记为AB则称集合是的真子集,若BA且,BA.MA空集不包含任何元素的集合,记为..BA规定:例如,.}01,|{2xRxx空集为任何集合的子集.集合的概念规定:空集为任何集合的子集.数集分类:N自然数集R实数集Z整数集Q有理数集数集间的关系:.RQZN注:如无特别说明,本课程中提到的数都是实数.数集元素都是数的集合称为数集.集合的运算设BA,是两个集合,定义)1(AB与的并集(简称并)};Bx)2(AB与的交集(简称交)};Bx)3(AB与的差集(简称差)};Bx)4(当所研究的问题限定在一个大的集合中进行,S所研究的其他集合都是的子集.SA定义的余集A与Axx|{BAU且Axx|{BAIBA且Axx|{BABABABA集合的运算)4(当所研究的问题限定在一个大的集合中进行,S所研究的其他集合都是的子集.SA定义的余集A或补集.ASA例如,在实数集中,R集合}10|{xxA的余集就是0|{xxA或}.1xASA集合的基本运算规律设CBA,,为任意三个集合,则有下列法则成立:)1(交换律,ABBAUU;ABBAII)2(结合律),()(CBACBAUUUU);()(CBACBAIIII)3(分配律),()()(CBCACBAIUIIU);()()(CBCACBAUIUUI)4(对偶律.)(BABAUI.)(BABAIU证)4()(BAxUBAxUAx且BxAx且BxBAxI集合的基本运算规律证)4()(BAxUBAxUAx且BxAx且BxBAxI,)(BABAIU注以上证明中,符号“”表示“等价”,另一个常用符号是“”,表示“推出”(或“蕴含”).两集合间的直积或笛卡尔)(Descartes乘积设BA,是任意两个集合,任取,,ByAx组成一个有序对),,(yx以这样的有序对的全体组成的记为集合称为集合与集合的直积,AB集合的基本运算规律设BA,是任意两个集合,任取,,ByAx组成一个有序对),,(yx以这样的有序对的全体组成的记为集合称为集合与集合的直积,ABAxyxBA|),{(且}.By如},|),{(RyRxyxRR即为xOy面上全体点的集合,RR常记作.2R区间定义介于某两个实数之间的全体实数称为区间,这两个实数叫做区间的端点.设,,Rba且,ba定义开区间};|{),(bxaxba闭区间};|{],[bxaxba半开区间},|{),[bxaxba};|{],(bxaxba无限区间},|{),[xaxa};|{),(bxxb特别地.),(R区间演示图),(R=;xO),(ba}{bxax=;xOba],[ba}{bxax=;xOba),[ba}{bxax=;xOba],(ba}{bxax=;xOba),[a}{xax=;xOa),(b}{bxx=.xOb区间无限区间},|{),[xaxa};|{),(bxxb特别地.),(R区间的长度两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.在本书中，当不需要特别辨明区间是否包含端点、是有限还是无限时，常将其简称为“区间”，并常用I表示。一、邻域的概念定义设与是两个实数,且数集}||{axx称为点的邻域.记为}.|{),(axaxaU其中,叫做该邻域的半径.点叫做该邻域的中心,记为即}.||0|{),(axxaU点的去心的邻域,以为中心的任何开区间均是点的邻域,记为).(aUaaa),,(aUaa,0a一、邻域的概念另外，今后还将用到以下的左、右邻域概念.开区间称为的右邻域,a开区间称为的左邻域,),(aaa),(aa二、两个重要的不等式三角不等式对于任意的实数和,都有ab||||||||bababa平均值不等式naaaaaann21n21对于任意个正数,恒有,nnaaa,,,21当且仅当全部相等时,上式等号才成立。naaa,,,21二、两个重要的不等式伯努利不等式nhhn1)1(这几个不等式在极限存在的证明中经常用到，对于正整数和实数,恒有n1h因此要牢牢记住。当且时,不等式严格成立.2n0h