选修2-2 导数及其应用 典型例题概要

华航教育·一对一课外辅导第1页共20页第一章导数及其应用1.1变化率与导数【知识点归纳】1.平均变化率：2.瞬时速度：3.导数及导函数的概念：4.导数的几何意义：拓展知识：5.平均变化率的几何意义：6.导数与切线的关系：【典型例题】题型一求平均变化率：例1.已知函数2()21yfxx的图像上一点（1,1）及其邻近一点(1,1)xy，则yx=_______.变式训练：1.以00(0)vv速度竖直向上抛出一物体，t秒时的高度为201()2stvtgt，求物体在0t到0tt这段时间的平均速度v.2.求正弦函数sinyx在0x和2x附近的平均变化率，并比较他们的大小.华航教育·一对一课外辅导第2页共20页题型二实际问题中的瞬时速度例2已知质点M按规律223st做直线运动（位移单位：cm，时间单位：s）（1）当2,0.01tt时，求st；（2）当2,0.001tt时，求st；（3）求质点M在t=2时的瞬时速度.题型三求函数的导数及导函数的值例3求函数1yxx在1x处的导数.题型四曲线的切线问题例4（1）已知曲线22yx上一点A（1，2），求点A处的切线方程.（2）求过点（-1，-2）且与曲线32yxx想切的直线方程.（3）求曲线321()53fxxx在x=1处的切线的倾斜角.（4）曲线3yx在点P处的切线斜率为3，求点P的坐标.华航教育·一对一课外辅导第3页共20页1.2导数的计算【知识点归纳】1.常见函数的导数：2.基本初等函数的导数公式：3.导数的运算法则：4.复合函数的导数：【典型例题】题型一基本初等函数导数公式运用例1给出下列结论：①1(cos)sin662；②若21yx，则32yx；③若()3fxx，则[(1)]3f；④.若3yx，则313yx其中正确的是_________________.题型二导数运算法则的应用例2求下列函数的导数：（1）531253yxx；（2）lgxyxe；（3）1cosxx；（4）sincos22xxyx.变式训练：判断下面的求导是否正确，如果不正确，加以改正.2221cos2(1cos)sin()xxxxxxx华航教育·一对一课外辅导第4页共20页题型三复合函数求导的应用例7求下列函数的导数.（1）3(1cos2)yx；（2）21sinyx.变式训练：求函数22(23)1yxx的导数题型四切线方程及应用例4曲线sinxyxe在点（0，1）处的切线方程是？变式训练：曲线32yxx在P处的切线平行于直线41yx，则点P的坐标为_________.题型五利用导数求参数问题例5若曲线3yxax在坐标原点处的切线方程是20xy，则实数a=_________变式训练：若函数()xefxx在x=a处的导数值为函数值互为相反数，求a的值华航教育·一对一课外辅导第5页共20页题型六对数求导数的应用（选讲）例6求下列函数的导数（1）(1)(2)(3)(3)yxxxx；（2）(1)(2)(3)1()212xxxyxx；题型七求导数的实际应用例7有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离s（单位：m）关于时间t（单位s）的函数为2()5259sstt.求函数在715t时的导数，并解释它的实际意义.华航教育·一对一课外辅导第6页共20页1.3导数在研究函数中的应用1.3.1函数的单调性与导数【知识点归纳】1.函数的单调性与其导数的关系：2.利用导数求函数的单调区间：3.导数的绝对值的大小与图像的关系（选讲）：【典型例题】题型一里用导数的信息确定函数大致图像例1已知导函数()fx的下列信息：当23x时，()0fx；当3x或2x时，()0fx；当3x或2x时，()0fx；试画出函数f（x）图像的大致形状.题型二判断或者证明函数的单调性例2试判断函数()lnfxxx在其定义域上的单调性.变式训练：证明：函数ln()xfxx在区间（0，2）上是单调递增函数.华航教育·一对一课外辅导第7页共20页题型三求函数的单调性例3确定函数32()267fxxx的单调区间.变式训练：求函数3yxx的单调性.题型四含有参数的函数的单调性例4已知函数2()ln(2)fxxaxax，讨论f（x）的单调性.变式训练：已知函数1()2axfxx在(2,)内单调递增，求实数a的取值范围.华航教育·一对一课外辅导第8页共20页1.3.2导数的极值与导数【知识点归纳】1.导数的极值的概念：2.导数的极值的判断和求法：【典型例题】题型一求函数的极值例1求下列函数的极值：（1）276yxx；（2）2lnyxx.变式训练：设32()1fxxaxbx的导数()fx满足(1)2,(2)fafb，其中常数,abR.（1）求曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程.（2）设()()xgxfxe，求函数()gx的极值.华航教育·一对一课外辅导第9页共20页题型二判断函数极值点的情况例2判断下列函数有无极值，若有极值，请求出极值；如果没有极值，请说明理由.（1）31()43fxx；（2）321()43fxxxx；（3）23()1(2)fxx.变式训练：设函数2()lnfxaxbx，其中0ab.证明：当0ab时，函数f（x）没有极值点，当0ab时,函数f（x）有且只有一个极值点，并求出极值.题型三导函数的图像与函数极值的关系例3函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点的个数为（）A1个B.2个C.3个D.4个华航教育·一对一课外辅导第10页共20页题型四极值的逆向问题例4已知函数44()ln(0)fxaxxbxcx在x=1处取得极值-3-c，其中a，b为常数.（1）试确定a，b的值.（2）讨论函数f（x）的单调区间.综上：若说明函数没有极值，一般不讨论有无导数，而是在区间上只有一个单调性，没有“拐点”.华航教育·一对一课外辅导第11页共20页1.3.3函数的最大小值与导数【知识点归纳】1.最大小值与极值的关系：2.求最大小值的步骤：3.开区间的最值问题：【典型例题】题型一利用导数求函数最值问题例1求函数543()551fxxxx在区间[1,4]上的最大值和最小值.变式训练：设函数3()(0)fxaxbxca为奇函数，其图像在(1,(1))f处的切线与直线670xy垂直，导数的最小值为-12.（1）求a，b，c的值.（2）求函数f（x）的单调递增区间，并求函数f（x）在[-1,3]上的最大小值.华航教育·一对一课外辅导第12页共20页题型二含参数最值问题例2设a为常数，求函数3()3(01)fxxaxx的最大值.变式训练：1.设3211()232fxxxax（1）若f（x）在2(,)3上存在单调递增区间，求a的取值范围.（2）当02a时,f（x）在[1,4]上的最小值为163，求f（x）在该区间上的最大值.题型三由函数的最值求参数的值例3设213a，函数323()(11)2fxxaxbx的最大值为1，最小值为62，求a，b的值.华航教育·一对一课外辅导第13页共20页1.4生活中的优化问题【知识点归纳】利用求函数的最大小值的方法求实际应用中的最优化问题函数的极值与端点值的比较【典型例题】题型一利润最大问题例1某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出商品件数与商品单价的降低值x（单位：元,021x）的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件.（1）将一星期的商品销售利润表示成x的函数（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大变式训练：某分公司经销某种品牌的产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交m（3≤m≤5）元的管理费，预计当每件产品的售价为x（9≤x≤11）元时，一年的销售量为(12-x)2万件．（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（m）．华航教育·一对一课外辅导第14页共20页题型二用料最省、费用最低问题例2如图，某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y（单位：米）的矩形，上部是斜边长为x的等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8平方米．（Ⅰ）求x，y的关系式，并求x的取值范围；（Ⅱ）问x，y分别为多少时用料最省？变式训练：某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为803立方米，且2lr．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c（c＞3）千元．设该容器的建造费用为y千元．（Ⅰ）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r．华航教育·一对一课外辅导第15页共20页题型三面积、体积最值问题例3如图在二次函数2()4fxxx的图像与x轴所围成的图形中有一个内接矩形ABCD，求这个内接矩形的最大面积.变式训练：请您设计一个帐篷．它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如图所示）．试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？xy华航教育·一对一课外辅导第16页共20页1.5定积分的概念【知识点归纳】定积分的概念：定积分的性质：【典型例题】题型一利用定义计算积分例1利用定积分定义，计算21(32)xdx题型二求曲边梯形的面积例2利用定积分的定义求出直线x=1，x=2和y=0及曲线3yx围成的图形的面积.华航教育·一对一课外辅导第17页共20页1.6微积分基本定理【知识点归纳】1.牛顿—莱布尼茨公式：2.定积分的取值：3.定积分的一些性质：【典型例题】题型一求简单函数的定积分例1求下列函数的定积分：（1）2211()xdxx；（2）22sinxdx；（3）94(1)xxdx；题型二求分段函数的定积分例2求函数32,[0,1](),[1,2]2,[2,3]xxxfxxxx在区间[0，3]上的定积分.华航教育·一对一课外辅导第18页共20页变式训练：求定积分：（1）2201xdx；（2）201sin2xdx题型三定积分的实际应用例3汽车以每小时36km的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车的减速度为21.8/ams刹车，求从开始停车到停车，汽车的走过的距离.变式训练：等比数列na中，36a，前三项和3304sxdx，则公比q的值是多少？华航教育·一对一课外辅导第19页共20页1.7定积分的简单应用【知识点归纳】1.常见的平面图形的面积求法：2.定积分在物理公式中的应用：【典型例题】题型一用定积分求平面图形的面积例1求曲线2yx与yx所围成的图形的面积.变式训练：求由抛物线22,15xyyx所围成的图形的面积华航教育·一对一课外辅导第20页共20页例2求正弦曲线3sin,[0,]2yxx和直线32x及x轴所围成的平面图形的面积.变式训练：求由曲线222,24yxxyxx所围成的图形的面积题型二用定积分求变速直线运动的距离例3有一两汽车以每小时36km的速度形式，在B出以22/ms的加速度减速停车，问从开始刹车到停车一共行驶多少的路程.题型三用定积分解决变力作功问题例4有一个长为25cm的弹簧，若以100N的力，则弹簧伸长到30cm，求弹簧由25cm伸长到40所做的功.