第2讲 动态系统的状态空间描述

自动控制理论Ⅲ主讲人：钱艳平2010.032第二讲动态系统的状态空间描述2.1动态系统的状态空间模型2.1.1状态空间的基本概念2.1.2状态空间表达式的一般形式2.1.3状态空间模型的图示2.1.4由系统机理建立状态空间模型2.2动态系统数学模型变换2.2.1状态空间表达式标准型2.2.2由微分方程导出状态空间模型2.2.3由传递函数导出状态空间模型2.2.4由状态空间模型导出传递函数2.3组合系统的数学模型32.1动态系统的状态空间模型2.1.1状态空间的基本概念(一)基本概念42.1.1状态空间的基本概念LtuLtutiLRdttdiC)()()()()(1)(tiCdttduC)(01)()(011)()(tuLtutiCLLRdttdudttdiCC)()(10)(tutituCC该方程描述了电路的状态变量和输入量之间的关系，称为该电路的状态方程，这是一个矩阵微分方程。如果将电容上的电压作为电路的输出量，则该方程是联系输出量和状态变量关系的方程，称为该电路的输出方程或观测方程。这是一个矩阵代数方程。系统的状态方程和输出方程一起，称为系统状态空间表达式，或称为系统动态方程，或称系统方程。52.1.1状态空间的基本概念(二)状态表达式的特点系统输出与系统状态在概念上的不同性输出是人们希望从系统中得到的信息状态是完全描述系统运动行为的信息输出是状态变量空间中的某些状态变量的线性组合输出总是可以测量的，但是状态变量并不一定能测量到状态变量的非唯一性状态变量总数目的唯一性62.1.1状态空间的基本概念(三)状态变量的选取状态变量的数目是惟一的,必等于系统的阶数，即系统中独立储能元件的个数。在具体工程问题中，可选取独立储能元件的能量方程中的物理变量作为系统的状态变量。状态变量不一定是物理可测量的，有时仅有数学意义而无任何物理意义。在具体工程问题中，为了实现状态的反馈控制，以选择容易测量的量作为状态变量为宜。72.1.2状态空间表达式的一般形式(一)单输入单输出系统设单输入单输出线性定常n阶连续系统，n个状态变量为x1(t),x2(t),…,xn(t),其状态方程的一般形式为ubxaxaxaxubxaxaxaxubxaxaxaxnnnnnnnnnnn2211222221212112121111输出方程的一般形式为Duxcxcxcynn22118则其向量-矩阵方程形式的状态空间表达式为Duxxxcccyubbbxxxaaaaaaaaaxxxnnnnnnnnnnn2121212121222211121121上式可简记为DuyuCxBAxx9(二)多输入多输出系统对于有r个输入u1,u2,…,ur,m个输出y1,y2,…,ym的多输人多输出n阶线性定常连续系统，状态方程的一般形式为rnrnnnnnnnnrrnnrrnnubububxaxaxaxubububxaxaxaxubububxaxaxax22112211222212122221212121211112121111输出方程的一般形式为rmrmmnmnmmmrrnnrrnnudududxcxcxcyudududxcxcxcyudududxcxcxcy2211221122221212222121212121111212111110则其向量-矩阵方程形式的状态空间表达式为rmrmmrrnmnmmnnmrnrnnrrnnnnnnnnuuudddddddddxxxcccccccccyyyuuubbbbbbbbbxxxaaaaaaaaaxxx212122221112112121222211121121212122221112112121222211121121上式可简记为)(DC,B,A,,即DuCxyBuAxx112.1.3状态空间模型的图示(一)结构图线性系统状态空间表达式可用结构图来形象表明系统输入与输出的因果关系,状态与输入、输出的组合关系。在结构图中,每一方块可表示为输出向量=(方块所示矩阵)×(输入向量)122.1.3状态空间模型的图示(二)状态模拟图(状态变量图)积分器的数目应等于状态变量数，将积分器画在适当位置(积分器用内含积分符号的方框表示)，各积分器的输出表示相应的某个状态变量。根据状态方程和输出方程所表达的运算关系，画出对应的加法器和比例器。用带箭头的传输线将各元件连接起来。132.1.3状态空间模型的图示(二)状态模拟图例：3阶系统的状态空间表达式如下，试画出其模拟结构图(状态变量图)。21xx32xxuxxxx321323122xxy142.1.4由系统机理建立状态空间模型例1：建立所示机械系统的状态空间表达式（注：假设质量块m的重量已经和弹簧k的初始拉伸相抵消）152.1.4由系统机理建立状态空间模型示例例2：取电压源e为输入变量，R1上的电压为输出变量，建立该电网络的状态空间表达式，电压和电流为关联参考方向。162.2动态系统数学模型变换2.2.1状态空间表达式标准型(一)状态变量的线性变换如果T是一个非奇异阵，则将变换称为线性非奇异变换。xTx满足：212121)(xxxTxTxxTkxxkTxkT)(叠加原理齐次性条件用途：通过线性变换，可将状态方程变成对角线或约当标准型。172.2.1状态空间表达式标准型(一)状态变量的线性变换（1）系统状态空间表达式的非唯一性xTx1xTxDuCxyBuAxxxTxuDxCyuBxAx182.2.1状态空间表达式标准型（2）系统的特征值对于状态矩阵A，若存在一非零向量，使得：iiApp则：矩阵A的特征值（A特征方程的根）矩阵A的特征方程0||AIAI矩阵A的特征矩阵矩阵A对应于特征值的特征向量ip矩阵A的特征多项式0111||aaaAInnnip192.2.1状态空间表达式标准型（3）系统的特征值的性质一个n维系统的方阵A，有且仅有n个独立的特征值。A为实数方阵，则n个特征值或为实数，或为共轭复数对。对系统作线性非奇异变换，其特征值不变。nn202.2.1状态空间表达式标准型（二）对角线标准型对于线性定常系统:CxyBuAxx若系统的特征值互异，则必存在非奇异变换矩阵T,经xTxxTx1或的线性变换，可将状态空间表达式变换为对角线标准型，即nλλλ,,,21212.2.1状态空间表达式标准型（二）对角线标准型002111xCxCTyuBxBuTxATTxnλλλ222.2.1状态空间表达式标准型（三）约当标准型当n阶系统矩阵A具有重特征值时，可以分两种情况讨论。（1）A阵有重特征值，但A仍然有n个独立的特征向量，则可将A化为对角线型矩阵。（2）n阶系统矩阵A不但具有重特征值，而且其独立特征向量个数少于n，这时,经线性变换，可将A变换为约当标准型。232.2.2由微分方程导出状态空间模型在经典控制理论中，对线性定常系统常采用常微分方程和传递函数来描述系统输入和输出关系。在现代控制理论中,由描述系统输入、输出动态关系的微分方程或传递函数建立系统状态空间表达式的问题称为实现问题,要求所求得的状态空间表达式既保持原系统的输入、输出关系不变，又揭示出系统的内部关系。242.2.2由微分方程导出状态空间模型微分方程形式:buyayayaynnnn1)1(1)(2.）将上两边对t求导，化为状态变量的一阶微分方程组.nxxx,,,211.）选择状态变量.若给定初始条件则系统行为被完全确定。故选择为系统的一组状态变量，令)1(,,,,nyyyy)(0)0(,),0(),0()1(tutyyyn的输入及)1(21nnyxyxyx25buxaxaxayxxyxxyxxyxnnnnnnnn1211)()1(132213.）化为向量矩阵形式：状态方程为:输出方程为:ubxxxaaaxxxnnnn0010010211121xy001能控标准型265.）说明：状态变量是输出y及y的各阶导数系统矩阵A特点：主对角线上方1个元素为1，最下面一行为微分方程系数的负值，其它元素全为0，友矩阵或相伴矩阵。（注意：不要和逆阵中的伴随阵混淆）4.）画模拟结构图：bna2x1uy1xnxnx1nx1a2a1na272.2.2由微分方程导出状态空间模型例：设系统输入-输出微分方程为下式，求其状态空间表达式。uyyyy5342532x1uy1x3x423x模拟结构图282.2.3由传递函数导出状态空间模型传递函数的实现方式：直接分解（能控标准型、能观标准型）串联分解并联分解（对角线标准型、约当标准型）假设传递函数要求为严格真，并为最小实现。29nnnnasasassusz111...1)()(2.2.3由传递函数导出状态空间模型（一）直接分解nnnnnnnasasasbsbsbsusysG......)()()(2211111传递函数为：)(sz)()()()()(suszszsysG引入中间变量，有：1）能控标准型实现步骤：nnnbsbsbszsy111...)()(30选择状态变量如下：)1(321,,,,nnzxzxzxzx对应的微分方程分别为（左边不含有导数项）：nnnnnnnytbztbztbztutztaztaztazt(1)11()(1)11()()...()()(1)()()()...()()(2)则：()nnnnnnnnnnnnnxxxxxxxzuaxaxaxaxaxybxbxbxbx122311213212112112131写成矩阵形式有：nnnnnxxxxxuxaaaax11223121010000010000000000101nnnxxxybbbx12311写成矩阵形式有：322.2.3由传递函数导出状态空间模型（一）直接分解2）能观标准型实现：nnnnnnnnxabxxabxxabuxxab11211232211001001001