锐角三角函数与解直角三角形复习专题教案、练习答案

1锐角三角函数于解直角三角形小结1本章概述锐角三角函数、解直角三角形，它们既是相似三角形及函数的继续，也是继续学习三角形的基础．本章知识首先从工作和生活中经常遇到的问题人手，研究直角三角形的边角关系、锐角三角函数等知识，进而学习解直角三角形，进一步解决一些简单的实际问题．只有掌握锐角三角函数和直角三角形的解法，才能继续学习任意角的三角函数和解斜三角形等知识，同时解直角三角形的知识有利于培养数形结合思想，应牢固掌握．小结2本章学习重难点【本章重点】通过实例认识直角三角形的边角关系，即锐角三角函数(sinA，cosA，tanA)，知道30°，45°，60°角的三角函数值，会运用三角函数知识解决与直角三角形有关的简单的实际问题．【本章难点】综合运用直角三角形的边边关系、边角关系来解决实际问题．【学习本章应注意的问题】在本章的学习中，应正确掌握四种三角函数的定义，熟记特殊角的三角函数值，要善于运用方程思想求直角三角形的某些未知元素，会运用转化思想通过添加辅助线把不规则的图形转化为规则的图形来求解，会用数学建模思想和转化思想把一些实际问题转化为数学模型，从而提高分析问题和解决问题的能力．小结3中考透视这一章在中考中主要考查一些特殊角的三角函数值及几个三角函数间的关系，主要题型是选择题、填空题．另外解直角三角形在实际问题中的应用也是考查的一个重点，主要题型是填空题和解答题，约占3～7分．知识网络结构图专题总结及应用一、知识性专题专题1：锐角三角函数的定义【专题解读】锐角三角函数定义的考查多以选择题、填空题为主．例1如图28－123所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，则下列结论正确的是()A．sinA＝32B．tanA＝12C．cosB＝32D．tanB＝3分析sinA＝BCAB＝12，tanA＝BCAC＝33，cosB＝BCAB＝12．故选D.例2在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝35,则tanA等于()直角三角形中的边角关系锐角三角函数解直角三角形实际问题2A．35B．45C．34D．43分析在Rt△ABC中，设AC＝3k，AB＝5k，则BC＝4k，由定义可知tanA＝4433BCkACk．故选D.分析在Rt△ABC中，BC＝222254ABAC＝3，∴sinA＝35BCAB．故填35．专题2特殊角的三角函数值【专题解读】要熟记特殊角的三角函数值．例4计算|－3|＋2cos45°－(3－1)0．分析cos45°＝22．解：原式＝3＋2×22－1＝2＋2．例5计算－12＋9＋(－1)2007－cos60°．分析cos60°＝12．解：原式＝12＋3＋(－1)－12＝3－1＝2．例6计算|－2|＋(cos60°－tan30°)0＋8．分析cos60°＝12，tan30°＝33，∴cos60°－tan30°≠0，∴(cos60°－tan30°)0＝1，解：原式＝2＋1十＋22＝32＋1．例7计算312－(π－3.14)0－|1－tan60°|－132.分析tan60°＝3.解：原式＝8－1－3＋1＋3＋2＝10.专题3锐角三角函数与相关知识的综合运用【专题解读】锐角三角函数常与其他知识综合起来运用，考查综合运用知识解决问题的能力.例8如图28－124所示，在△ABC中，AD是BC边上的高，E为AC边的中点，BC＝14，AD＝12，sinB＝45．(1)求线段DC的长；(2)求tan∠EDC的值.3分析在Rt△ABD中，由sinB＝ADAB，可求得BD，从而求得CD．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得DE＝12AC＝EC，则∠EDC＝∠C，所以求tan∠EDC可以转化为求tanC.解：(1)∵AD是BC边上的高，∴AD⊥BC在Rt△ABD中，sinB＝ADAB．∵AD＝12，sinB＝45，∴AB＝15，∴BD＝22ABAD＝221512＝9．∵BC＝14，∴CD＝5．(2)在Rt△ADC中，∵AE＝EC，∴DE＝12AC＝EC，∴∠EDC＝∠C∵tanC＝ADDC＝125,∴tan∠EDC＝tanC＝125．例9如图28－125所示，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB＝cos∠DAC.(1)求证AC＝BD；(2)若sinC＝1213，BC＝12，求AD的长．分析(1)利用锐角三角函数的定义可得AC＝BD．(2)利用锐角三角函数与勾股定理可求得AD的长．证明：(1)∵AD是BC边上的高，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∠ADC＝90°．在Rt△ABD和Rt△ADC中，∵tanB＝ADBD，cos∠DAC＝ADAC，tanB＝cos∠DAC，∴ADBD＝ADAC，∴AC＝BD.解：(2)在Rt△ADC中，sinC＝1213，设AD＝12k，AC＝13k，∴CD＝22ACAD＝5k．∵BC＝BD＋CD，AC＝BD，∴BC＝13k＋5k＝18k．由已知BC＝12，∴18k＝12，k＝23，∴AD＝12k＝12×23＝8．例10如图28－126所示，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，4BC＝30＋303，求AB的长．分析过点A作AD⊥BC于D，把斜三角形转化为直角三角形，利用AD是两个直角三角形的公共边，设AD＝x，把BD，DC用含x的式子表示出来，再由BD＋CD＝BC这一等量关系列方程，求得AD，则AB可在Rt△ABD中求得．解：过点A作AD⊥BC于D，设AD＝x.在Rt△ADB中，tanB＝ADBD，∴BD＝tantan45ADADB＝x，在Rt△ADC中，tanC＝ADCD，∴CD＝tanADC＝tan30AD＝3x．又∵BD＋CD＝BC，BC＝30＋303，∴x＋3x＝30＋303,∴x＝30．在Rt△ABD中，sinB＝ADAB，∴AB＝30sinsin45ADB＝3022＝302.专题4用锐角三角函数解决实际问题【专题解读】加强数学与实际生活的联系，提高数学的应用意识，培养应用数学的能力是当今数学改革的方向，围绕本章内容，纵观近几年各地的中考试题，与解直角三角形有关的应用问题逐步成为命题的热点，其主要类型有轮船定位问题、堤坝工程问题、建筑测量问题、高度测量问题等，解决各类应用问题时要注意把握各类图形的特征及解法．例11如图28－127所示，小山上有一棵树，现有一测角仪和皮尺两种测量工具，请你设计一种测量方案，在山脚的水平地面上测出小树顶端A到水平地面上的距离AB．(1)画出测量示意图；(2)写出测量步骤(测量数据用字母表示)；(3)根据(2)中的数据计算AB．解：(1)测量示意图如图28—128所示．(2)测量步骤．第一步：在地面上选择点C安装测角仪，测得此时小树顶端A的仰角∠AHE＝α.第二步：沿CB方向前进到点D，用皮尺量出C，D之间的距离CD＝m．第三步：在点D安装测角仪，测得此时小树顶端A的仰角∠AFE＝β.第四步：用皮尺测出测角仪的高h．(3)令AE＝x，则tanα＝xHE，得HE＝tanx.又tanβ＝xEF，得EF＝tanx，∵HE－FE＝HF＝CD＝m，5∴tantanxx＝m，解得x＝tantantantanmgg．∴AB＝tantantantanmgg＋h．例12如图28－129所示，一条小船从港口A出发，沿北偏东40°方向航行20海里后到达B处，然后又沿北偏西30°方向航行10海里后到达C处，则此时小船距港口A多少海里?(结果保留整数，提示：sin40°≈0.6428，cos40°≈0.7660，tan40°≈0．8391，3≈1.732)分析此题可作CD⊥AP构造直角三角形求AC，而CD，AD的长可转移到其他三角形中解决，可作BE⊥AD，CF⊥BE，CF，BF在Rt△BCF中可求，进而求解．解：如图28－130所示，过点B作BE⊥AP，垂足为点E，过点C分别作CD⊥AP，CF⊥BE，垂足分别为点D，F，则四边形CDEF为矩形，∴CD＝EF，DE＝CF．∵∠QBC＝30°，∴∠CBF＝60°．∵AB＝20，∠BAD＝40°，∴AE＝AB·cos40°≈20×0.7660≈15.3，BE＝AB·sin40°≈20×0.6428＝12.856≈12.9．又∵BC＝10，∠CBF＝60°，∴CF＝BC·sin60°≈10×32＝53≈8.7，BF＝BC·cos60°＝10×0.5＝5，∴CD＝EF＝BE－BF≈12.9－5＝7.9．∵DE＝CF≈8.7，∴AD＝DE＋AE≈8.7＋15.3＝24.0，由勾股定理得AC＝22ADCD≈2224.07.9＝638.41≈25，即此时小船距港口A约25海里．【解题策略】正确理解方位角，作出恰当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键．例13如图28－131所示，我市某中学数学课外活动小组的同学利用所学知识去测量沱江流经我市某段的河宽．小凡同学在点A处观测到对岸C点，测得∠CAD＝45°，又在距A处60米远的B处测得∠CBA＝30°，请你根据这些数据算出河宽是多少?(结果保留小数点后两位)分析本题可作CE⊥AB，垂足为E，求出CE的长即为河宽．解：如图28－131所示，过点C作CE⊥AB于E，则CE即为河宽，设CE＝x(米)，则BE＝x＋60(米)．在Rt△BCE中，tan30°＝CEEB，即33＝60xx,解得x＝30(3＋1)≈81.96(米)．答：河宽约为81．96米．【解题策略】解本题的关键是设CE＝x，然后根据BE＝AB＋AE列方程求解．例14如图28－132所示，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的A点处发现海中的B点有人求救，便立即派三名救生员前去营救．1号救生员从A点直接跳入海中；2号救生员沿岸边(岸边可以看成是直线)向前跑到C6点再跳入海中；3号救生员沿岸边向前跑300米到离B点最近的D点，再跳入海中，救生员在岸上跑的速度都是6米／秒，在水中游泳的速度都是2米/秒．若∠BAD＝45°，∠BCD＝60°，三名救生员同时从A点出发，请说明谁先到达营救地点B．(参考数据2≈1.4，3≈1.7)分析在Rt△ABD中，已知∠A＝45°和AD，可求AB，BD，在Rt△BCD中，可利用求出的BD和∠BCD＝60°求出BC，然后根据计算出的数据判断谁先到达．解：在Rt△ABD中，∠A＝45°，∠D＝90°，AD＝300，∴AB＝AD300cos4522＝3002.BDAD＝tan45°，即BD＝AD·tan45°＝300．在Rt△BCD中，∠BCD＝60°，∠D＝90°，∴BC＝300sin6032BD＝2003，CD＝tan60BD＝3003＝1003.1号救生员到达B点所用的时间为30022＝1502≈210(秒)，2号救生员到达B点所用的时间为3001003200362＝50＋25033≈192(秒)，3号救生员到达B点所用的时间为3006＋3002＝200(秒)．∵192＜200＜210.∴2号求生员先到达营救地点B.【解题策略】本题为阅读理解题，题目中的数据比较多，正确分析题意是解题的关键．例15如图28－133所示，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在它的北偏东60°方向上，该货船航行30分钟后到达B处，此时再测得该岛在它的北偏东30°方向上；已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁，若货船继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险?试说明理由．分析本题可作CD⊥AM于点D，在Rt△BCD中求出CD即可．解：过点C作CD⊥AM，垂足为点D，由题意得∠CBD＝60°，∠CAB＝30°,∴∠ACB＝30°，∠CAB＝∠ACB，∴BC＝AB＝24×12＝12(海里)．在Rt△BCD中，CD＝BC×sin60°＝63(海里)．∵63＞9，∴货船继续向正东方向航行无触礁危险．【解题策略】此题实际上是通过⊙C(半径为9海里)与直线AM相离判断出无触礁危险.例16如图28－134所示，某幢大楼顶部有一块广告牌CD，甲、乙两人分别在相距8米的A，B两处测得D点和C点的仰角分别