09―10年高三数学高考模拟试题压轴大题选编

亿库教育网—10年高三数学高考模拟试题压轴大题选编1.（重庆八中高2010级高三（上）第一次月考）已知在数列na中，221,tata，其中0t，tx是函数)2(1])1[(3)(131nxaatxaxfnnn的一个极值点.(1)求数列na的通项公式；(2)若221t，)(12*2Nnaabnnn，求证：21211122nnnbbb.解答.(1)由题意得：0)('tf，即1133[(1)]0nnnattaa故)2)((11naataannnn，则当1t时，数列nnaa1是以tt2为首项，t为公比的等比数列，所以121)(nnntttaa由nnnnnnttttttttttttaaaaaaaa11)(]1)[()()()(12222123121此式对1t也成立，所以)(*Nntann――――――――6分（2）)(21)1(211nnnnnttaab，因为221t，所以nnntt2,1)2(，则0]1)2)[(2()2(1)()22()nnnnnnnnttttt，有)22(211nnnb故)]212()212()212[(211112221nnnbbb)211(212]211)211(212121(2[21111)21nnnnnbbb22122212212111nnnnnbbb―――――――12分亿库教育网（南充高中2010届高三第二次月考）已知函数f(x)=021nnCx1nC2nx1212131(1)nrrnrnnnnnCxCxCx，其中n()nN．（1）求函数f(x)的极大值和极小值；（2）设函数f(x)取得极大值时x=na，令nb=23na，nS=12231nnbbbbbb，若p≤nSq对一切n∈N＋恒成立，求实数p和q的取值范围．解答（1）210122()[(1)]nrrrnnnnnnnfxxCCxCxCxCx=21(1)nnxx，……1分2221()(21)(1)(1)nnnfxnxxxnx=221(1)[21(31)]nnxxnnx。……2分令()0fx123210,,131nxxxn，从而x1x2x3.当n为偶数时f(x)的增减如下表x（-∞，0）0（0，2131nn）2131nn（2131nn，1）1（0，+∞）()fx+0+0—0+()fx无极值极大值极小值所以当x=2131nn时，y极大=2131(21)(31)nnnnnn；当x=1时，y极小=0.……5分当n为奇数时f(x)的增减如下表x（-∞，0）0（0，2131nn）2131nn（2131nn，1）1（0，+∞）()fx+0+0—0—亿库教育网()fx无极值极大值无极值所以当x=2131nn时，y极大=2131(21)(31)nnnnnn。……8分（2）由（1）知f(x)在x=2131nn时取得最大值。所以na=2131nn，nb=23na=131n，11111()(31)(32)33132nnbbnnnn1111111[()()()]325583132nSnn=1163(32)n16。1103(32)15nNn，110153(32)n即11111063(32)6n；所以实数p和q的取值范围分别是1(,]10p，1[.)6q。……143.(2010届扬州市高三数学学情调研测试)已知数列的等比数列公比是首项为41,41}{1qaan，设*)(log3241Nnabnn，数列nnnnbacc满足}{。（1）求证：}{nb是等差数列；（2）求数列}{nc的前n项和Sn；（3）若对1412mmcn一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围。解答：（1）由题意知，*)()41(Nnann12log3,2log3141141ababnn3log3log3log3log341141411411qaaaabbnnnnnn∴数列3,1}{1dbbn公差是首项的等差数列（2）由（1）知，*)(23,)41(Nnnbannn*)(,)41()23(Nnncnn亿库教育网)41()23()41)53()41(7)41(4411132nnnnnS于是1432)41()23()41)53()41(7)41(4)41(141nnnnnS两式相减得132)41()23(])41()41()41[(34143nnnnS.)41()23(211nn*)()41(3812321NnnSnn（3）nnnnnncc)41()23()41()13(11*)(,)41()1(91Nnnn∴当n=1时，4112cc当nnncccccccn43211,,2即时∴当n=1时，nc取最大值是41又恒成立对一切正整数nmmcn1412411412mm即510542mmmm或得4.(安徽省野寨中学2010届高三第二次月考)已知函数32(,)fxxaxbabR.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（1）若fx在[0，2]上是增函数，2x是方程0fx的一个实根，求证：(1)2f；（2）若fx的图象上任意不同两点的连线斜率小于1，求实数a的取值范围.解答：（1）2'()32fxxax由题可知2'()320fxxax在[0，2]上恒成立.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m2232023xaxaxx当0x时此式显然成立，aR；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m当(0,2]x时有23ax恒成立，易见应当有263aa，可见2'()320fxxax在[0，2]上恒成立，须有3a又(2)084fba(1)1732faba（2）设(,),(,)PxfxQyfy是fx图象上的两个不同点，则1fxfyxy3232()()1xaxbyaybxy22()()1xyxyaxy22()(1)0xyaxyay此式对于x恒成立，从而2203240yaya此式对于y也恒成立，从而2'03(3,3)aa亿库教育网注：用导数方法求解略，按相应步骤给分.w.w.k.s.5.u.c.o.m5.(衡阳市八中2010届高三第二次月考数学（理科）设函数aaxaxgxxxf，＝226)(,143)(＞31，(1)求函数)(xf的极大值与极小值；(2)若对函数的ax,00，总存在相应的axx,0,21，使得)()()(201xgxfxg成立，求实数a的取值范围.解答(1)定义域为R2222)1()3)(13()1(2)43()1(3)(xxxxxxxxf２令31.3,0)(21xxxf，且∴)(xf：极大值为29)31(f，极小值为21)3(fw.w.w.k.s.5.u.c.o.m(2)依题意，只需在区间a,0上有maxmax)()(xgxfminmin)()(xgxf∴)(xf在31,0↑，a,31↓)(,29)31()(maxxffxf取小值)0(f或)(af又1)43()0()(,143)()0(22aaafafakaff＝４，∴当31＜a＜43时，,4)0()(minfxf当43a时，143)()(2minaaafxf又)(xg在a,0↓aagxgagxg3)()(,6)0()(minmax∴式即为31＜a＜4334aa629或a629344aaa31432w.w.w.k.s.5.u.c.o.mx)3,(-3)31,3(31),31()(xf—0+0—)(xf↘极小值↗极大值↘亿库教育网＜a＜4334a解的34a（无解）34a∴33443a34a334a6.(辽宁省东北育才学校2010届高三第一次模拟（数学理）已知函数mxxxf21ln)(（Ⅰ）)(xf为定义域上的单调函数，求实数m的取值范围；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅱ）当1m时，求函数)(xf的最大值；（Ⅲ）当1m时，且01ba，证明：2)()(34babfaf.解答：（1）mxxxf21ln)(，)21(x∴mxxf211)(因为对21x，有),0(211x∴不存在实数m使0211)(mxxf，对21x恒成立………2分由0211)(mxxf恒成立，∴xm211，而0211x，所以0m经检验，当0m时，0211)(mxxf对21x恒成立。∴当0m时，)(xf为定义域上的单调增函数………4分（2）当1m时，由02121211)(xxxxf，得0x当)0,21(x时，0)(xf，当),0(x时，0)(xf∴)(xf在0x时取得最大值，∴此时函数)(xf的最大值为0)0(f………7分（3）由（2）得，xx21ln对21x恒成立，当且仅当0x时取等号当1m时，xxxf21ln)(，∵01ba，0ba亿库教育网∴)(21)(21ln)(2121ln)()(abaabababafbfaabaabaab21)22)(()(21∴aababfaf2122)()(w.w.w.k.s.5.u.c.o.m同理可得aababfaf2122)()(01ba，3421112122aaa221112122bbb∴2)()(34babfaf………12分法二：当1m时（由待证命题的结构进行猜想，辅助函数，求差得之），)(xf在),21(上递增令xxxxfxg31)21ln(2134)()()21(3)1(231211)(xxxxg在1,0上总有0)(xg，即)(xg在1,0上递增当10ab时，)()(bgag即bbfaaf34)(34)(34)()(babfaf令xxxxfxh)21ln(212)()(由（2）它在1,0上递减∴)()(bhah即bbfaaf2)(2)()(2)()(babfaf∵0ba∴2)()(babfaf