福建省2013届新课标高考文科数学一轮总复习课件：第10讲 幂函数

21312yxyxyxyxyx－了解幂函数的概念，结合函数＝，＝，＝，＝，＝的图象，了解它们的变化情况及基本性质．11232_________1_.xyxyxyxyxyx－一般地，型如①的函数叫幂函数，其中是自变量，是常数，常见的幂函．幂函数的定义数有＝，＝，＝，＝，＝2．幂函数的图象和性质综合得，若②__________，y＝xα在(0，＋∞)上是增函数；若③__________，y＝xα在(0，＋∞)上是减函数．(0)1,101__________________2______________31031yx所有的幂函数在，＋上都有定义，且图象都过点．当为奇数时，幂函数为奇函数；当为偶数时，幂函数为偶函数．一般的，当时，幂函数＝有下列性质：图象都通．幂函过点④；在第一象限内，函数值⑤；在第一象限内，当时数的性质推广，图象是向下凸的；当时，图象是向上凸的；41,101__________2__________________3yxyx在第一象限内，过点后，图象向右上方无限伸展．当时，幂函数＝有下列性质：图象都通过点⑥；在第一象限内，函数值⑦；在第一象限内，图象向上与轴无限地接近，向右与轴无限地接近．000,01,11,1yxxx①＝；②；③；④，；【要点指南⑤随的增大而增大；⑥；⑦随的增】大而减小1.给出下列函数：①y＝1x3；②y＝3x－2；③y＝x4＋x2；④y＝3x2.其中是幂函数的有()A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】根据幂函数的定义进行判断．在所给函数中，只有y＝1x3＝x－3和y＝3x2＝x23符合幂函数的定义，是幂函数，其余两个都不是幂函数，故选B.2.若幂函数f(x)的图象经过点(3，19)，则其定义域是()A．{x|x∈R，x0}B．{x|x∈R，x0}C．{x|x∈R，x≠0}D．R【解析】设f(x)＝xα，它过点(3，19)，则19＝3α，所以α＝－2，故f(x)＝x－2，其定义域为{x|x∈R，x≠0}，故选C.3.设α∈{－1,1，12，3}，则使函数y＝xα的定义域为R，且为奇函数的所有α的值为()A．1,3B．－1,1C．－1,3D．－1,1,3【解析】y＝xα的定义域为R，且满足f(x)为奇函数，则α＝1或3，故选A.4.(2012·湖北调研)已知f(x)＝x13，若0ab1，则下列各式正确的是()A．f(a)f(b)f(1a)f(1b)B．f(1a)f(1b)f(b)f(a)C．f(a)f(b)f(1b)f(1a)D．f(1a)f(a)f(1b)f(b)【解析】因为f(x)＝x13在R上单调递增，又0ab1，则1a1b1ba.所以f(1a)f(1b)f(b)f(a)，故选C.5.当x∈(0，＋∞)时，幂函数y＝(m2－m－1)x－5m－3为增函数，则实数m的值为－1.【解析】依题意：m2－m－1＝1－5m－30⇒m＝2或m＝－1m－35，所以m＝－1.一幂函数的定义及应用【例1】已知函数f(x)＝(m2＋2m)xm2＋m－1，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数．【分析】根据各类函数的定义，确定m满足的条件．【解析】(1)若f(x)是正比例函数，则m2＋m－1＝1m2＋2m≠0，解得m＝1.所以当m＝1时，f(x)为正比例函数．(2)若f(x)是反比例函数，则m2＋m－1＝－1m2＋2m≠0，解得m＝－1.所以当m＝－1时，f(x)为反比例函数．(3)若f(x)是幂函数，则m2＋2m＝1，解得m＝－1±2.所以当m＝－1±2时，f(x)为幂函数．【点评】注意各类函数的定义．在正比例函数、反比例函数、二次函数中，指数分别为1，－1,2，其余系数不为0，而幂函数定义中注意系数必为1的条件．已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－1.(1)若f(x)是反比例函数，则m＝0或2；(2)若f(x)是幂函数，则m＝－1或2.素材1【解析】(1)若f(x)是反比例函数，则m2－2m－1＝－1m2－m－1≠0⇒m＝0或2.(2)若f(x)是幂函数，则m2－m－1＝1⇒m＝2或m＝－1.二幂函数的图象及应用【例2】若点A(2，2)在幂函数f(x)的图象上，点B(－2，14)在幂函数g(x)的图象上，定义h(x)＝fxfx≤gxgxfxgx.(1)试求函数h(x)的最大值以及单调区间；(2)若方程h(x)－k＝0在R上有四解，求k的取值范围．【解析】(1)设f(x)＝xα，因为点A(2，2)在f(x)的图象上，所以(2)α＝2，所以α＝2，即f(x)＝x2.又设g(x)＝xβ，点B(－2，14)在g(x)的图象上，所以(－2)β＝14，所以β＝－2，即g(x)＝x－2，在同一坐标系下画出函数f(x)和g(x)的图象，如图：则有h(x)＝x－2x－1或x1x2－1≤x≤1，根据图象可知函数h(x)的最大值为1.单调增区间为(－∞，－1)和(0,1)；单调减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．(2)h(x)－k＝0有四解，即y＝h(x)的图象与平行于x轴的直线y＝k有四个交点，由图象可知，0k1，即0k1时，方程h(x)－k＝0有四解．【点评】(1)求幂函数的表达式只要一个条件即可，常利用待定系数法；(2)画幂函数图象首先应根据幂函数的图象规律，从单调性、定值点及凸凹性等方面画出第一象限的图象，再利用奇偶性完成全部．(2010·广东茂名质检)函数y＝xa，y＝xb，y＝xc的图象如图所示，则实数a，b，c的大小关系是()A．cbaB．abcC．bcaD．cab素材2【解析】由图象特点可知a1,0b1，c0，所以cba，故选A.三幂函数的性质及应用【例3】已知函数f(x)＝x32＋k－12k2(k∈Z)．(1)若f(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，求f(x)的解析式；(2)若f(x)在(0，＋∞)上是减函数，求k的取值集合．【分析】根据幂函数性质确定其指数．【解析】(1)因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则32＋k－12k20，解得－1k3.因为k∈Z，所以k＝0,1,2.由f(x)是偶函数知，k＝1，所以f(x)＝x2.(2)若f(x)在(0，＋∞)上是减函数，则32＋k－12k20，解得k－1或k3.又k∈Z，所以k的取值集合为{k∈Z|k－1或k3}．【点评】解决与幂函数的性质有关问题，关键是抓住其图象特征，将其转化为代数语言．(1)比较下列各组数的大小：①30.830.7；②0.2130.233；③4.1－253.8－25.素材3(2)已知幂函数f(x)＝x12(m－4)(m∈N)是偶函数，且在(0，＋∞)上递减，则f(x)＝x－2.【解析】(1)①考察函数y＝3x为增函数，所以30.830.7.②考察y＝x3为增函数，所以0.2130.233.③考察函数y＝x－25在(0，＋∞)上为减函数，所以4.1－253.8－25.(2)因为f(x)在(0，＋∞)上递减，所以12(m－4)0，所以m4.又m∈N，所以m＝0,1,2,3.又f(x)是偶函数，所以m＝0，故f(x)＝x－2.备选例题已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a＋1)－m3(3－2a)－m3的a的取值范围．【解析】因为函数在(0，＋∞)上递减，所以m2－2m－30，解得－1m3.因为m∈N*，所以m＝1,2.又函数的图象关于y轴对称，所以m2－2m－3是偶数，而22－2×2－3＝－3为奇数，12－1×2－3＝－4为偶数，所以m＝1，因为f(x)＝x－13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，所以(a＋1)－13(3－2a)－13等价于a＋13－2a0或3－2aa＋10或a＋103－2a，解之得a－1或23a32，故a的范围为{a|a－1或23a32}．1()()2Ryx．幂函数是指型如＝，且为常数的函数，它的形式非常严格，必须完全具备这种形式的函数才是幂函数．由于其解析式中只有一个参数幂指数，因此只需一个条件就可确定幂函数的解析式．．对幂函数的学习要求不高，只要求对几个简单幂函数的图象与性质有所了解即可．掌握幂函数的图象特点是研究幂函数性质的基础，而其主要性质就是单调性和奇偶性．