福建省2013届新课标高考文科数学一轮总复习课件：第14讲 函数模型及其应用

了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型的意义，并能建立简单的数学模型，利用这些知识解决应用问题．8函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述．那么，面临一个实际问题，应当如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？事实上，要顺利地建立函数模型，首先要深刻理解基本函数的图象和性质，熟练掌握基本函数和常用函数的特点，并对一些重要的函数模型必须要有清晰的认识．一般而言，有以下种函数模型：2(0)(0)(0)(001)xfxkxbkbkkfxbkbkxfxaxbxcabcafxkabkabkaa①一次函数模型：、为常数，；②反比例函数模型：、为常数，；③二次函数模型：、、为常数，，二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型，在高考的应用题考查中最为常见的；④指数型函数模型：、、为常数，，且；log(001)(00)“”(0)“”“”anfxmxnmnamaafxaxbabnanfxxkk⑤对数型函数模型：、、为常数，，且；⑥幂函数型模型：、、为常数，，；⑦勾函数模型：为常数，，这种函数模型应用十分广泛，因其图象是一个勾号，故我们把它称之为勾函数模型；⑧分段函数模型：这个模型实则是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛．1.f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列选项正确的是(B)A．f(x)g(x)h(x)B．g(x)f(x)h(x)C．g(x)h(x)f(x)D．f(x)h(x)g(x)2.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了如下一组数据：x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()A．y＝2x－2B．y＝12(x2－1)C．y＝log2xD．y＝(12)x【解析】将各组数据代入验证，选B.3.2003年6月30日到银行存款a元，若年利率为x且按复利计算到2011年6月30可取__________元．()A．a＋8axB．a(1＋x)7C．a(1＋x)8D．a(1＋x)9【解析】有款利息按复利计算，存的银行款到每年的6月30日构成以a为首项，以(1＋x)为公比的等比数列，到2011年6月30日刚好8年整的可取出a(1＋x)8，故选C.4.如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的高度，则H与下落时间t(分)的函数关系表示的图象只可能是()【解析】采用“取中判定法”，由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口，当时间取12t时，漏斗中液面下落的高度不会达到漏斗高度的12，对比四个选项的图象可知选B.5.(教材改编)某种商品降价20%后，欲通过三次提价恢复原价，则平均应提价3102－1.【解析】设每次应提价x(0x1)，令原价为a元，则80%a×(1＋x)3＝a⇒(1＋x)3＝108⇒x＝3102－1.一已知函数模型问题【例1】(2012·厦门云中)某公司对营销人员有如下规定：(ⅰ)年销售额x在8万元以下，没有奖金；(ⅱ)年销售额x(万元)，x∈[8,64]时，奖金为y万元，且y＝logax，y∈[3,6]，且年销售额越大，奖金越多；(ⅲ)年销售额超过64万元，按年销售额的10%发奖金．(1)求奖金y关于x的函数解析式；(2)某营销人员争取年奖金y∈[4,10](万元)，年销售额x在什么范围内．【分析】奖金y随销售额x的不同取值而适用不同函数模型，故为分段函数，找准各段内对应解析式，分段研究，分段求值．【解析】(1)依题意y＝logax在x∈[8,64]上为增函数，所以有loga8＝3loga64＝6⇒a＝2，所以y＝00≤x8log2x8≤x≤64110xx64(2)易知x≥8.当8≤x≤64时，要使y∈[4,10]，则4≤log2x≤10⇒16≤x≤1024，所以16≤x≤64.当x64时，要使y∈[4,10]，则110x∈[4,10]⇒40≤x≤100，所以64＜x≤100.综上可得，当年销售额x在[16,100](万元)内时，y∈[4,10](万元)．【点评】已知函数模型问题应根据题中条件找准对应量，列出函数解析式；再转化为给定定义域上的“给值求值、给定范围求范围或最值”问题，对自变量的分类很重要！某地区的一种特色水果上市时间能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数：f(x)＝p·qx，f(x)＝logqx＋p，f(x)＝(x－1)(x－q)2＋p(以上三式中p，q均为常数，且q2).素材1(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么？(2)若f(1)＝4，f(3)＝6，求出所选函数f(x)的解析式(注：函数的定义域是[1,6]，其中x＝1表示4月1日，x＝2表示5月1日，…，以此类推)；(3)为保证果农的收益，打算在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预计该水果在哪几个月内价格下跌．【解析】(1)因为f(x)＝p·qx是单调函数，f(x)＝logqx＋p也是单调函数，而f(x)＝(x－1)(x－q)2＋p中f′(x)＝3x2－(4q＋2)x＋q2＋2q.令f′(x)＝0得x＝q，x＝q＋23.因为q2，所以q≠q＋23，f′(x)有两个零点(或由Δ0也可说明)，可以出现两个递增区间和一个递减区间，所以应该选f(x)＝(x－1)(x－q)2＋p为其价格模拟函数(2)由f(1)＝4，f(3)＝6得p＝42·3－q2＋p＝6，解得p＝4q＝4(其中q＝2舍去)．所以f(x)＝(x－1)(x－4)2＋4＝x3－9x2＋24x－12(1≤x≤6)．(3)f′(x)＝3x2－18x＋24.令f′(x)0，即3x2－18x＋240，解得2x4.即函数f(x)＝x3－9x2＋24x－12在区间(2,4)上单调递减，所以这种果品在5,6月份价格下跌．二构造函数模型问题【例2】(2012·山东实验中学)某公司计划投资A、B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资金额成正比，其关系如图1；B产品的利润与投资金额的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润与投资金额单位：万元)．(1)分别将A、B两产品的利润表示为投资金额的函数关系式；(2)该公司已有10万元资金，并全部投入A、B两种产品中．问怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？【解析】(1)设投资x万元，A产品的利润为f(x)万元，B产品的利润为g(x)万元，依题意可设f(x)＝k1x，g(x)＝k2x.由图1，得f(1)＝0.2，即k1＝0.2＝15，由图2，得g(4)＝1.6，即k2×4＝1.6，所以k2＝45.故f(x)＝15x(x≥0)，g(x)＝45k(x≥0)．(2)设B产品投入x万元，则A产品投入10－x万元，设企业利润为y万元，由(1)得y＝f(10－x)＋g(x)＝－15x＋45x＋2(0≤x≤10)．因为y＝－15x＋45x＋2＝－15(x－2)2＋145，0≤x≤10，所以当x＝2，即x＝4时，ymax＝145＝2.8.因此当A产品投入6万元，B产品投入4万元时，该企业获得最大利润为2.8万元．【点评】构造函数模型问题，应根据图表、图象中显示数据或题中给定的关系式，再利用常见结论，公式等等，写出函数解析式，将实际问题转化为数学问题，其中单位一定要统一，自变量的范围要使实际问题有意义．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝(116)t－a(a为常数)，如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：素材2(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为y＝10t0≤t≤0.1116t－0.1t0.1(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室．【解析】(1)当0≤t≤0.1时，函数图象是线段y＝10t(0≤t≤0.1)；当t0.1时，函数图象是指数函数y＝(116)t－a；当t＝0.1时，由1＝(116)0.1－a，得a＝0.1.所以y＝10t0≤t≤0.1116t－0.1t0.1(2)由y＝(116)t－0.1≤0.25，得2t－0.2≥1，则t≥0.6，所以至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室．三选择拟合函数问题【例3】(2011·杭州学军中学高三第二次月考)某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案，资金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%.(1)若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数模型的基本要求；(2)现有两个奖励函数模型：①y＝x150＋2；②y＝4lgx－3，试分析这两个函数模型是否符合公司要求？【解析】(1)设奖励函数模型为y＝f(x)，则公司对函数模型的基本要求是：当x∈[10,1000]时，①f(x)是增函数；②f(x)≤9恒成立；③f(x)≤x5恒成立．(2)①对于函数模型f(x)＝x150＋2；当x∈[10,1000]时，f(x)是增函数，则f(x)max＝f(1000)＝1000150＋2＝203＋29，所以f(x)≤9恒成立．因为函数fxx＝1150＋2x在[10,1000]上是减函数，所以[fxx]max＝1150＋1515.从而f(x)≤x5不恒成立．故该函数模型不符合公司要求．②对于函数模型f(x)＝4lgx－3：当x∈[10,1000]时，f(x)是增函数，则f(x)max＝f(1000)＝4lg1000－3＝9.所以f(x)≤9恒成立．设g(x)＝4lgx－3－x5，则g′(x)＝4lgex－15.当x≥10时，g′(x)＝4lgex－15≤4lge10－15＝2lge－15＝lge2－150，所以g(x)在[10,1000]上是减函数，从而g(x)≤g(10)＝－10，所以4lgx－3－x50，即4lgx－315x，所以f(x)x5恒成立，故该函数模型符合公司要求．【点评】选择拟合函数，应分步讨论，首先列出模型应满足条件，再将函数逐项代入，进行比较鉴定，最后如都能满足，则符合条件，其中对恒成立问题的处理转化为函数的最值是通法．某化工厂生产的某种化工产品，当年产量在150吨至250吨之间，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可近似地表示为y＝110x2－30x＋4000.问：(1)年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？并求出最低成本；(2)若每吨平均出厂价为16万元，则年产量为多少吨时，可获得最大利润？并求出最大利润．素材3【分析】解题的关键是用年产量x吨，把每吨平均成本及利润表示出来，然后再求其最值．本题是建立的“勾”函数模型，利用均值不等式求最值．【解析】(1)由题意可知，每吨平均成本为yx万元．即yx＝x10＋4000x－30≥2·x10·4000x－30＝10，当且仅当x10＝4000x，即x＝200时，取“＝”号．又因为200∈(150,250)，所以年产量为200吨时，每吨的平均成本最低，最低成本为10万元．(2)设年获得总利润为S万元，则S＝16x－y＝16x－110x2＋30x－4000＝－110(x－230)2＋1290，当x＝230∈(150,250)时，Smax＝1290(万元)，