福建省2013届新课标高考文科数学一轮总复习课件：第20讲 两角和与差及二倍角的三角函数

熟记两角和与差的三角函数公式及二倍角公式，掌握公式的特征并能灵活运用；能根据问题情境准确地选用公式进行三角函数的简单恒等变换；掌握三角函数求值的基本题型与求解方法．2sin()__________.cos()__________.tan()__________.sin2__________.cos2____________________1212sin.tan2__________.．两角和与差的三角函数公式．二倍角公④式①②③⑤⑥⑦22sincos__________tan.cossin__________tancos__________.sin3babababa⑧，其中⑨，其中．．辅助角公式4.降幂⑩公式2222222sincoscossincoscossinsin2sincoscossin122cos1sin()121212cos()22tantantantantanabtancoscosab①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩；【要点指南】1.cos(45°－30°)的值为()A.22B.32C.2＋34D.2＋64【解析】cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝6＋24，故选D.易错点：两角差的余弦公式记错．2.已知α∈(π2，π)，sinα＝35，则tan(α＋π4)等于()A.17B．7C．－17D．－7【解析】因为α∈(π2，π)，sinα＝35，所以cosα＝－45，tanα＝sinαcosα＝－34.所以tan(α＋π4)＝1＋tanα1－tanα＝1－341＋34＝17.故选A.3.(2011·新课标卷)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝()A．－45B．－35C.35D.45【解析】由三角函数定义，终边在直线y＝2x上⇔sinθ＝2cosθ，即tanθ＝2，又cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ－sin2θcos2θ＋sin2θ＝1－tan2θ1＋tan2θ＝1－41＋4＝－35.4.(2011·上海卷)函数y＝2sinx－cosx的最大值为5.【解析】由辅助角公式y＝2sinx－cosx＝5(255sinx－55cosx)＝5sin(x－φ)(其中cosφ＝255，sinφ＝55)，故ymax＝5.5.已知cos(α－π6)＋sinα＝435，则sin(α＋7π6)的值是()A．－235B.235C．－45D.45【解析】cos(α－π6)＋sinα＝435⇒32sinα＋32cosα＝435⇒sin(α＋π6)＝45，所以sin(α＋7π6)＝－sin(α＋π6)＝－45.一给角求值或化简【例1】(1)化简1＋sinθ＋cosθsinθ2－cosθ22＋2cosθ(0θπ)；(2)计算tan12°＋tan18°＋33tan12°tan18°的值．【分析】(1)倍角化单角，统一角度；(2)发现12°＋18°＝30°从而出现特殊角．【解析】(1)原式＝2sinθ2cosθ2＋2cos2θ2sinθ2－cosθ24cos2θ2＝cosθ2sin2θ2－cos2θ2|cosθ2|＝－cosθ2·cosθ|cosθ2|.因为0θπ，所以0θ2π2，所以cosθ20，所以原式＝－cosθ.(2)原式＝tan(12°＋18°)(1－tan12°tan18°)＋33tan12°·tan18°＝33－33tan12°tan18°＋33tan12°tan18°＝33.【点评】对于给角求值(化简)问题，往往所给角都是非特殊角，基本思路有：(1)化为特殊角的三角函数值；(2)化为正、负相消的项，消去求值；(3)化分子，分母出现公约数进行约分求值．若270°α360°，则三角函数式12＋1212＋12cos2α的化简结果是()A．sinα2B．－sinα2C．cosα2D．－cosα2素材1【解析】12＋1212＋12cos2α＝12＋12cos2α＝12＋12cosα＝cos2α2，由于135°α2180°，故cosα20，所以化简结果为－cosα2.二给值求值【例2】若sin(34π＋α)＝513，cos(π4－β)＝35，且0απ4β34π，求cos(α＋β)的值．【解析】因为0απ4β34π，所以34π34π＋απ，－π2π4－β0.又sin(34π＋α)＝513，cos(π4－β)＝35，所以cos(34π＋α)＝－1213，sin(π4－β)＝－45，所以cos(α＋β)＝sin[π2＋(α＋β)]＝sin[(34π＋α)－(π4－β)]＝sin(34π＋α)cos(π4－β)－cos(34π＋α)sin(π4－β)＝－3365.【点评】对于给值求角问题，即由给出的某些角的三角函数的值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”使“所求角”变为“已知角”；若角所在象限没有确定，则应分类讨论，应注意公式的灵活应用，如β＝α－(α－β)，α＋β＝α＋β2×2，α＝α＋β2＋α－β2等．已知cosα＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2.(1)求tan2α的值；(2)求角β的值．素材2【分析】(1)由于2α是α的二倍角，因此由cosα＝17，求得tanα的值，然后应用正切的二倍角公式求tan2α的值．(2)分析已知式和待求式中角的关系，不难发现β＝α－(α－β)，因此应用两角差公式求解．【解析】(1)由cosα＝17，0＜α＜π2，得sinα＝1－cos2α＝437.所以tanα＝sinαcosα＝437×71＝43.于是tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×431－432＝－8347.(2)由0＜β＜α＜π2得0＜α－β＜π2.又cos(α－β)＝1314，所以sin(α－β)＝1－cos2α－β＝3314.则cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)，＝17×1314＋437×3314＝12.而β∈(0，π2)，则β＝π3.三给值求角【例3】(1)已知cosα＝17，cos(α－β)＝1314，且0βαπ2，求β的值；(2)已知α、β、γ∈(0，π2)，sinα＋sinγ＝sinβ，cosβ＋cosγ＝cosα，求β－α的值．【分析】(1)分析已知式和待求式中角的关系，不难发现β＝α－(α－β)，因此应用两角差公式求解．(2)目标角中不含γ，因此利用sin2γ＋cos2γ＝1消去γ即可．【解析】(1)由0＜β＜α＜π2得0＜α－β＜π2.又cos(α－β)＝1314，cosα＝17，所以sin(α－β)＝1－cos2α－β＝3314.sinα＝437.则cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)，＝17×1314＋437×3314＝12.而β∈(0，π2)，则β＝π3.(2)由已知，得sinγ＝sinβ－sinα，cosγ＝cosα－cosβ.平方相加得(sinβ－sinα)2＋(cosα－cosβ)2＝1.所以－2cos(β－α)＝－1，所以cos(β－α)＝12，所以β－α＝±π3.因为sinγ＝sinβ－sinα0，所以βα，所以β－α＝π3.【点评】给值求角问题，一般都需先求出待求角的某一个三角函数值，再根据角的范围确定角的值；一般地，若α∈(－π2，π2)，则求sinα或tanα；若α∈(0，π)，则求cosα或tanα，避免增角．已知α、β、γ∈(0，π2)，sinα＋sinγ＝sinβ，cosβ＋cosγ＝cosα，求β－α的值．素材3【解析】由已知，得sinγ＝sinβ－sinα，cosγ＝cosα－cosβ.平方相加得(sinβ－sinα)2＋(cosα－cosβ)2＝1.所以－2cos(β－α)＝－1，所以cos(β－α)＝12，所以β－α＝±π3.因为sinγ＝sinβ－sinα0，所以βα，所以β－α＝π3.备选例题(2012·遵义四中)设向量OM→＝(－3，1)，向量ON→＝(cosα，－sinα)(0απ)．(1)若向量OM→⊥ON→，求tanα的值；(2)求|MN→|的最大值及此时α的值．【解析】(1)因为OM→＝(－3，1)，ON→＝(cosα，－sinα)，OM→⊥ON→，所以OM→·ON→＝－3cosα－sinα＝0.若cosα＝0，则sinα＝±1与上式矛盾，故cosα≠0，两边同除以cosα化简得：tanα＝－3.(2)|MN→|＝cosα＋32＋－sinα－12＝5＋4sinα＋π3又因为0απ，所以π3α＋π34π3，所以当α＋π3＝π2，即α＝π6时，|MN→|max＝3.122()2()()22．准确选用两角和与差及二倍角公式的关键是观察、分析角之间的和、差与二倍关系，同时应注意角之间的差别是的整数倍时仍可运用和、差公式与二倍角公式进行三角恒等式变形，最后运用诱导公式实现目标解决．．角的变换常见途径有：，，等．对公式会“正用”“逆用”“变形用”．22123cos212sin2tantantan()(1tantan)4coscos．常见变换公式有：，，等．．三角函数求值的常见题型有两类：给角求值和给式求值．