福建省2013届新课标高考文科数学一轮总复习课件：第54讲 圆的方程

掌握圆的标准方程和一般方程，能根据条件用待定系数法求得圆的方程，并能应用圆的方程知识解决简单的问题．22222222222__________()(0).0(40)______________________0.14___024___0(232)12abrrrxyrxyDxEyFDEFrDEFDEDEF圆的标准方程为①，其中圆心为，，半径为＞．特别地，圆心在原点，半径为的圆的方程为圆的一般方程为＞，圆心为②，半径③＞注意：当④时，表示圆；当⑤时，表示一个点，．；．224___0DEF当⑥时，不表示任何图形．22200________________________________________.()__________________________3.4xaybrMxy．确定圆的方程的方法和步骤．点与圆的位置确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤为：⑦；⑧；⑨点和圆的位置关系有三种：设圆的标准方程为，点，．⑩点在圆上：；点在圆外：；点在圆内：关系22222222002222220000()22142DExaybrDEFabrDEFabrDEFxaybrxaybrxaybr①；②，；③；④＞；⑤；⑥＜；⑦根据题意，选择标准方程或一般方程；⑧根据条件列出关于，，或、、的方程组；⑨解出，，或，，，代入标准方程或一般方程；⑩；；【要点指南】1.圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别是(C)A．(4，－6)，16B．(2，－3)，4C．(－2,3)，4D．(2，－3)，162.方程ax2＋ay2－4(a－1)x＋4y＝0表示圆，则a的取值范围是()A．a∈RB．a≠1且a∈RC．a≠0且a∈RD．a∈(1,4]【解析】方程表示圆，则a≠0[－4a－1a]2＋4a2－4×00，解得a≠0，a∈R，故选C.3.当a取不同的实数时，由方程x2＋y2＋2ax＋2ay－1＝0可以得到不同的圆，则(A)A．这些圆的圆心都在直线y＝x上B．这些圆的圆心都在直线y＝－x上C．这些圆的圆心都在直线y＝x或y＝－x上D．这些圆的圆心不在同一条直线上4.经过圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心且斜率为1的直线方程为(A)A．x－y＋3＝0B．x－y－3＝0C．x＋y－1＝0D．x＋y＋3＝05.若圆x2＋y2＋(a2－1)x＋2ay－a＝0关于直线x－y＋1＝0对称，则实数a的值为3.【解析】由已知，圆心(－a2－12，－a)在直线x－y＋1＝0上，则－a2－12＋a＋1＝0，解得a＝－1或a＝3.而当a＝－1时，原方程不能表示圆；当a＝3时，原方程表示圆．故a＝3为所求．一求圆的方程【例1】已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上，求圆心为C的圆的标准方程．【分析】要求圆的标准方程，必须找出圆心坐标和半径．【解析】由已知求得AB的垂直平分线l′的方程为x－3y－3＝0.圆心C的坐标是方程组x－3y－3＝0x－y＋1＝0的解，解得x＝－3y＝－2.半径r＝|AC|＝1＋32＋1＋22＝5.故所求圆的方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.【点评】充分探究已知条件所涉及的几何性质并灵活运用，既能准确获知求解思路，又能简化解答过程．根据下列条件求圆的方程：(1)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)；(2)过三点A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．素材1【解析】(1)过切点P(3，－2)且与直线x＋y－1＝0垂直的直线方程为y＋2＝x－3，与y＝－4x联立可求得圆心为(1，－4)．所以半径r＝22.所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.(2)设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则1＋144＋D＋12E＋F＝049＋100＋7D＋10E＋F＝081＋4－9D＋2E＋F＝0，解得D＝－2E＝－4F＝－95.所以所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－95＝0.二与圆有关的最值问题【例2】已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求y－x的最大值和最小值；(2)求x2＋y2的最大值和最小值．【分析】根据代数式的几何意义，借助于平面几何知识，数形结合求解．【解析】原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以点(2,0)为圆心，3为半径的圆．(1)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距．当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值．此时|2－0＋b|2＝3，即b＝－2±6.故y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－6.(2)x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识可知，它在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2.故x2＋y2的最大值为(2＋3)2＝7＋43，最小值为(2－3)2＝7－43.【点评】与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：①形如μ＝y－bx－a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题．如果实数x，y满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，求：(1)yx的最大值与最小值；(2)x＋y的最大值与最小值．素材2【解析】(1)设P(x，y)，则P点的轨迹就是已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝6.而yx＝k，则直线OP的方程为y＝kx.由图①可知，当直线OP与圆相切时，斜率取得最值．因为点C到直线y＝kx的距离d＝|3k－3|k2＋1，所以当|3k－3|k2＋1＝6，即k＝3±22时，直线OP与圆相切．所以yx的最大值与最小值分别是3＋22与3－22.(2)设x＋y＝b，则y＝－x＋b.由图②知，当直线与圆C相切时，截距b取最值．而圆心C到直线y＝－x＋b的距离为d＝|6－b|2.因为当|6－b|2＝6，即b＝6±23时，直线y＝－x＋b与圆C相切，所以x＋y的最大值与最小值分别为6＋23与6－23.三与圆有关的轨迹问题【例3】已知圆C：x2＋y2－4x＝0，点A是圆C上任一点，求OA中点P的轨迹方程(O为坐标原点)．【解析】方法1：设P(x，y)，则A(2x,2y)，因为A点在圆C上，所以(2x)2＋(2y)2－4(2x)＝0，即x2＋y2－2x＝0，这就是所求点P的轨迹方程．方法2：连接PC，则PC⊥OA.所以点P在以OC为直径的圆上，所以点P的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.方法3：连接PC，则PC⊥OA，设P(x，y)，则x·(x－2)＋y·y＝0，所以x2＋y2－2x＝0，这就是所求点P的轨迹方程．【点评】求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下做法：①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．②定义法：根据圆、直线等定义列方程．③几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．此外还有交轨法、参数法等．不论哪种方法，充分利用圆与圆的几何性质，找出动点与定点之间的关系是解题的关键．设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程．素材3【解析】如图所示．设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为(x2，y2)，线段MN的中点坐标为(x0－32，y0＋42)．因为平行四边形的对角线互相平分，故x2＝x0－32，y2＝y0＋42，从而x0＝x＋3y0＝y－4，因为点N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.因此所求点P的轨迹方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝4.但应除去两点(－95，125)和(－215，285)(点P在OM所在的直线上时)．四与圆的方程有关的综合问题【例4】在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x－3y＋4＝0相切．(1)求圆O的方程；(2)圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA→|，|PO→|，|PB→|成等比数列，求PA→·PB→的取值范围．【解析】(1)依题设，圆O的半径r等于原点O到直线x－3y＋4＝0的距离，即r＝41＋3＝2.得圆O的方程为x2＋y2＝4.(2)不妨设A(x1,0)，B(x2,0)，x1x2.由x2＝4即得A(－2,0)，B(2,0)．设P(x，y)，由|PA→|，|PO→|，|PB→|成等比数列，得x＋22＋y2·x－22＋y2＝x2＋y2，即x2－y2＝2.PA→·PB→＝(－2－x，－y)·(2－x，－y)＝x2－4＋y2＝2(y2－1)．由于点P在圆O内，故x2＋y24x2－y2＝2，由此得y21.所以PA→·PB→的取值范围为[－2,0)．【点评】本例是直线与圆的位置关系、等比数列、向量的数量积的综合问题，问题分析求解的关键是运用转化化归思想，即将题设和目标转化为坐标关系式，通过变式运算实现问题的解决．已知以点C(t，2t)(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．(1)求证：△AOB的面积为定值；(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M、N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程．素材4【解析】(1)证明：因为⊙C过原点，所以OC2＝t2＋4t2，所以设圆C的方程为(x－t)2＋(y－2t)2＝t2＋4t2.令x＝0，得y1＝0，y2＝4t；令y＝0，得x1＝0，x2＝2t.所以A(2t,0)，B(0，4t)，故S△AOB＝12|OA|·|OB|＝12·|2t|·|4t|＝4(为定值)．即△OAB的面积为定值．(2)因为|OM|＝|ON|，|CM|＝|CN|，所以OC垂直平分线段MN.因为kMN＝－2，所以kOC＝12，所以直线OC的方程是y＝12x，所以2t＝12t，解得t＝2或t＝－2.当t＝2时，圆心C的坐标为(2,1)，OC＝5，点C到直线y＝－2x＋4的距离d＝155，此时，圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点；当t＝－2时，圆心C(－2，－1)到直线y＝－2x＋4的距离d＝955，此时，圆C与直线y＝－2x＋4不相交，故舍去．所以所求圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.备选例题已知A、B为两个定点，且|AB|＝2a，动点M到A与到B的距离之比为常数λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．【解析】以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．则A(－a,0)，B(a,0)．设M(x，y)，因为|MA||MB|＝λ，所以x＋a2＋y2＝λx－a2＋y2，化简得(1－λ2)x2＋(1－λ2)y2＋2a(1＋λ2)x＋(1－λ2)a2＝0.当λ＝1时，轨迹方程为x＝0，它表示的轨迹是直线，即y轴；当λ≠1时，轨迹方程为x2＋y2＋2a1＋λ21－λ2x＋a2＝0，它表示的轨迹是以(－a1＋λ21－λ2，0)为圆心，2aλ|1－λ2|为半径的圆．1求一个圆的方程需要三个独立条件，待定系数法是求圆的方程的基本方法，应熟练掌握．若由已知条件易求圆心坐标、半径或需要由圆心坐标列方程，常选用圆的标准方程；若所求圆与圆心、半径关系不密切，或更突出方程的二次形式，常选用．求圆的方程圆的一问题般方程．23关于轨迹问题，应注意建立适当的坐标系，然后根据条件，选择适当的方法，如坐标法，定义法等，求得轨迹方程．处理与圆有关的问题，要注意圆心、半径及平面几何知识的运用，如弦心距、半径、弦长的一半构成的直角三角形在解题中的应用，利用圆．与圆有关的轨迹方程．与圆有关的几何的几何量之间的关系解题，往往能使问量的应用题简化．