专题四特殊与一般的思想方法

专题四特殊与一般的思想方法知识概要1.由特殊到一般再由一般到特殊反复认识的过程是人们认识世界的基本过程之一.数学研究也不例外，这种由特殊到一般，由一般到特殊的研究数学问题的基本认识过程就是数学研究中特殊与一般的思想.2.由特殊到一般的思想的运用水平，能反映出考生的数学素养和一般能力，所以考查特殊与一般的思想在高考中占有重要位置.在高考中，有意设计一些能集中体现特殊与一般思想的试题，突出体现了特殊化方法的意义与作用.如通过构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊位置，利用特殊值、特殊方程等方法解决一般问题、抽象问题、运动变化问题、不确定问题等等.专题四特殊与一般的思想方法考题剖析1.（2007·岳阳）数列{an}中，若a1=,an=(n≥2,n∈N)则a2007的值为（）A.－1B.C.1D.221111na21专题四特殊与一般的思想方法［解析］∵a1=,an=(n≥2,n∈N)则当n＝２时，a2===2，当n＝３时，a3===－1，当n＝４时，a4===，同理a5=2,a6=－1,…所以数列{an}是一个周期数列且T＝3，故a2007＝a3=－1.21111na111a2111211a211311a)1(1121专题四特殊与一般的思想方法考题剖析［点评］本题考查归纳、猜想思想方法.要求考生结合试题领悟“特殊与一般”的思想，首先通过特例探索，发现规律，然后利用这类规律来解题.对于求递推关系给出的数列某一项的问题，常见解法一是直接求通项再用通项来求某一项，二是直接将数列按顺序写出，三是写出部分项发现规律用规律得出结论.专题四特殊与一般的思想方法考题剖析2.（2007·常州）如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=－对称，那么a=________.8π2.a=－1［解析］解法1：因为函数f(x)=sin2x+acos2x的图象关于直线x=－对称，则f(x)=f(－－x)即sin2x+acos2x＝sin2+acos2得sin2x+acos2x＝－cos2x－asin2x恒成立所以（1＋a）(sin2x+cos2x)=0恒成立，则必有1＋a＝0，所以a＝－1.8πx4πx4π4π专题四特殊与一般的思想方法考题剖析解法2：因为函数f(x)＝sin2x+acos2x的图象关于直线x=－对称，所以f(x)=f(－－x)取x＝0,则f(０)=f(－)即有a＝－1.8π4π4π解法3：函数y＝sin2x+acos2x的图象关于直线x=－对称，则函数在x=－处取得极值，又y′=2cos2x－2asin2x，所以=2cos2(－)－2asin2(－)＝0得a＝－1.8π8π8π|'xy8π8π专题四特殊与一般的思想方法考题剖析［点评］本题主要考查三角函数的对称性问题，若函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，则恒有f(x)=f(2a－x)成立，但作为填空题，可以取特值进行运算.专题四特殊与一般的思想方法考题剖析3.（2007·湖南雅礼三月模拟）某地区的一种特色水果上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌,现有三种价格模拟函数.①f(x)=p·qx；②f(x)=px2+qx+1；③f(x)=x(x－q)2+p.（以上三式中p,q均为常数，且q＞1）.(Ⅰ)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么？(Ⅱ)若f(0)=4,f(2)=6，求出所选函数f(x)的解析式（注：函数的定义域是［0,5］，其中x=0表示4月1日，x=1表示5月1日，…，以此类推）；（Ⅲ）为保证果农的收益，打算在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该果品在哪几个月份内价格下跌.专题四特殊与一般的思想方法考题剖析［解析］(Ⅰ)应选f(x)=x(x－q)2+p.因为①f(x)=p·qx是单调函数；②f(x)=px2+qx+1的图象不具有先升再降后升特征；③f(x)=x(x－q)2+p中,f′(x)=3x2－4qx+q2,令f′(x)=0，得x=q,x=,f(x)有两个零点.可以出现两个递增区间和一个递减区间.专题四特殊与一般的思想方法3q考题剖析(Ⅱ)由f(0)=4,f(2)=6得：,)2(26,42pqp,3,4qp解之得(其中q=1舍去).∴函数f(x)=x(x－3)2+4，即f(x)=x3－6x2+9x+4（0≤x≤5）（Ⅲ）由f′(x)＜0，解得1＜x＜3,∴函数f(x)=x3－6x2+9x+4在区间（1，3）上单调递减，∴这种果品在5月，6月份价格下跌.［点评］本题是一个简单的数学建模问题，主要考查函数知识在实际生活中的运用，也是特殊与一般思想在生活中的运用.专题四特殊与一般的思想方法考题剖析4.（2007·唐山）设函数fn(x)=1－x+n∈N*（Ⅰ）研究函数f2(x)的单调性；（Ⅱ）判断fn(x)=0的实数解的个数，并加以证明.,12321232nxxxn专题四特殊与一般的思想方法考题剖析［解析］（Ⅰ）f2(x)=1－x+(x)=－1+x－x2=－(x－)2－＜0所以f2(x)在(－∞,+∞)上单调递减.（Ⅱ）f1(x)=1－x有唯一实数解x=1.由f2(0)=1＞0,f2(2)=1－2+＜0，以及f2(x)在(－∞,+∞)单调递减，知f2(x)在(0,2)有唯一实数解，从而f2(x)在(－∞,+∞)有唯一实数解.推断fn(x)在(－∞,+∞)有唯一实数解,3232xx2143322232专题四特殊与一般的思想方法考题剖析'2f当n≥2时，由fn(x)=1－x++…n∈N*，得f′n(x)=－1+x－x2+…+x2n－3－x2n－2若x=－1，则f′n(x)=f′n(－1)=－(2n－1)＜0若x=0，则f′n(x)=f′n(0)=－1＜0若x≠－1且x≠0时，则f′n(x)=当x＜－1时，x+1＜0,x2n－1+1＜0,f′n(x)＜0当x＞－1时，x+1＞0,x2n－1+1＞0,f′n(x)＜0总之f′n(x)＜0，fn(x)在(－∞,+∞)单调递减fn(0)=1，3232xx,1212nxn1112xxn专题四特殊与一般的思想方法考题剖析又fn(2)=(1－2)+()+()+…+()=－1+()22+()24+…+()22n－2=－1－＜0322232524254)122222(1222nnnn32215241122221nn22422)12)(22(3225·4323·21nnnn所以fn(x)在(0,2)有唯一实数解，从而fn(x)在(－∞,+∞)有唯一实数解.综上，fn(x)=0有唯一实数解.专题四特殊与一般的思想方法考题剖析［点评］本题主要考查函数的单调性、导数及连续函数的图象与x轴的交点个数问题.用特殊的函数开路寻找到解题方法即判断函数是单调的且图象与x轴有交点，然后用一般方法来解题.专题四特殊与一般的思想方法考题剖析5.（2007·全国第二次大联考)已知函数y=f(x)对于任意实数x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy.(1)求f(0)的值；(2)若f(1)=1，求f(2)，f(3)，f(4)的值，猜想f(n)的表达式并用数学归纳法证明你的结论(n∈N*)；(3)若f(1)≥1，求证：f()＞0(n∈N*).n21专题四特殊与一般的思想方法考题剖析［解析］(1)令x=y=0，则f(0)=2f(0)，∴f(0)=0(2)∵f(1)=1，∴f(2)=2f(1)+2=4，f(3)=f(2)+f(1)+4=9，f(4)=f(3)+f(1)+6=16，猜想：f(n)=n2(n∈N*)，下面用数学归纳法证明：当n=1时，显然成立.假设n=k(k∈N*)时成立，则有f(k)=k2当n=k+1时，f(k+1)=f(k)+f(1)+2k=k2+1+2k=(k+1)2，结论也成立.故f(n)=n2(n∈N*)成立专题四特殊与一般的思想方法考题剖析(3)证明：∵f(1)≥1，∴f(1)=2f()+≥1，∴f()≥=＞0可以证明f≥＞0假设n=k(k∈N*)时结论成立.即f≥＞0，则212121n21n221k21k221专题四特殊与一般的思想方法41221考题剖析∴f=2f+2××≥∴f≥＞0即n=k+1时也成立，∴f≥＞0(n∈N*)k21121k121k121kk221121k)1(222221)2221(21kkkn21n221专题四特殊与一般的思想方法考题剖析［点评］本题主要考查抽象函数的有关知识和数学归纳法的运用.对于抽象函数求值通常是对抽象函数表达式赋特殊的值来求解，但对于常见的抽象函数表达形式可以类比熟悉的函数进行思考，如f(x)恒有关系式f(x+y)=f(x)f(y)成立可类比指数函数，f(x)恒有关系式f(xy)=f(x)＋f(y)成立可类比对数函数等.数学归纳法往往用于一些与自然数有关问题的解答，观察－归纳－猜想－证明是一个从特殊到一般的思考过程，也是一个严格而科学的探索问题和解决问题的过程，是思考问题的通常方法，对这种方法在高考中考查十分常见.专题四特殊与一般的思想方法考题剖析1.特殊与一般的思想方法是广泛适用的一种重要的数学思想方法，对于一般性问题、抽象问题、运动变化问题和不确定问题都可考虑运用特殊与一般的思想方法去探求解题途径.2.对于递推数列问题，采用“归纳——猜想——证明”的方法去解决问题，首先通过特例探索，发现一般规律，然后再用这个规律来解决其它特殊问题，这是特殊与一般思想最常见的应用之一.规律总结专题四特殊与一般的思想方法3.对于某些特殊的问题，如求值、比较大小等，要注意研究其数量特征，发现一般模型，再由一般解决特殊.4.抽象函数问题，一是常联想具体的、熟知的函数，实现抽象向具体的转化，二是通过赋值，把抽象问题具体化.5.对于某些“信息迁移题”，常从简单情形做起，通过观察、归纳和类比，进行合乎逻辑的推理，得到一般的规律，再用来解决相应问题.这种题型对阅读理解能力要求较高，对“一般与特殊”的辩证关系的理解和掌握要达到较高的层次.专题四特殊与一般的思想方法规律总结