高考数学一轮复习 第1112章 分类加法计数原理与分步乘法计数原理知识点 新人教A

教学课件第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理最新考纲1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；2.会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.知识梳理1．分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事情，共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．2．分步乘法计数原理完成一件事情需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，……，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．诊断自测1．判断正误(请在括号中打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(×)(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．(√)(3)在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件教学课件事，只有各个步骤都完成后，这件事情才算完成．(√)(4)如果完成一件事情有n个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法mi(i＝1，2，3，…，n)，那么完成这件事共有m1m2m3…mn种方法．(√)2．从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为()A．3B．4C．6D．8解析以1为首项的等比数列为1，2，4；1，3，9；以2为首项的等比数列为2，4，8；以4为首项的等比数列为4，6，9；把这四个数列顺序颠倒，又得到4个数列，∴所求的数列共有2(2＋1＋1)＝8(个)．答案D3．所有两位数中，个位数字比十位数字大的两位数共有()A．45个B．36个C．30个D．50个解析个位数字为2的有1个，个位数字为3的有2个，……，个位数字为9的有8个，由分类加法计数原理知，共1＋2＋3＋4＋…＋8＝8（1＋8）2＝36(个)．答案B4．现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有()A．24种B．30种C．36种D．48种教学课件解析按A→B→C→D顺序分四步涂色，共有4×3×2×2＝48(种)．答案D5．(人教A选修2－3P13B2改编)5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法有________种．解析每位同学都有2种报名方法，因此，可分五步安排5名同学报名，由分步乘法原理，总的报名方法共2×2×2×2×2＝32(种)．答案32教学课件考点一分类加法计数原理的应用【例1】(1)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有()A．4种B．10种C．18种D．20种(2)满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A．14B．13C．12D．9解析(1)赠送1本画册，3本集邮册，需从4人中选取一人赠送画册，其余送邮册，有C14种方法．赠送2本画册，2本集邮册，只需从4人中选出2人送画册，其余2人送邮册，有C24种方法．由分类加法计数原理，不同的赠送方法有C14＋C24＝10(种)．(2)由于a，b∈{－1，0，1，2}．①当a＝0时，有x＝－b2为实根，则b＝－1，0，1，2有4种可能；②当a≠0时，则方程有实根，∴Δ＝4－4ab≥0，所以ab≤1.(*)(ⅰ)当a＝－1时，满足(*)式的b＝－1，0，1，2有4种．(ⅱ)当a＝1时，b＝－1，0，1，有3种可能．(ⅲ)当a＝2时，b＝－1，0，有2种可能．∴由分类加法计数原理，有序数对(a，b)共有4＋4＋3＋2＝13(个)．答案(1)B(2)B规律方法分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键词教学课件或关键元素、关键位置．首先根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，且只能属于某一类(即标准明确，不重不漏)．【训练1】在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为()A．10B．11C．12D．15解析与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：第一类：与信息0110有两个对应位置上的数字相同有C24＝6(个)；第二类：与信息0110有一个对应位置上的数字相同有C14＝4(个)；第三类：与信息0110没有一个对应位置上的数字相同有C04＝1(个)；故与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息有6＋4＋1＝11(个)．答案B考点二分步乘法计数原理的应用【例2】有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都能参加)(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限．解(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同选法，由分步乘法计数原理，知共有选法36＝729(种)．(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第教学课件二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，由分步乘法计数原理，得共有报名方法6×5×4＝120(种)．(3)由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，由分步乘法计数原理，得共有不同的报名方法63＝216(种)．规律方法利用分步乘法计数原理解决问题：(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的．(2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成任务，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．【训练2】(1)(2014·商洛一模)某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元．某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，则这人把这种特殊要求的号买全，至少要花()A．3360元B．6720元C．4320元D．8640元(2)用0，1，2，3，4，5可组成无重复数字的三位数的个数为________个．解析(1)从01至10中选3个连续的号共有8种选法；从11至20中选2个连续的号共有9种选法；从21至30中选1个号有10种选法；从31至36中选一个号有6种选法，由分步乘法计数原理知共有8×9×10×6＝4320(种)选法，至少需花4320×2＝8640(元)．(2)可分三步给百、十、个位放数字，第一步：百位数字共5种放法；第二步：十位数字有5种放法；第三步：个位数字有4种放法．根据分步乘法计数原理，三位数个数为5×5×4＝100(个)．答案(1)D(2)100考点三两个计数原理的综合应用教学课件【例3】将一个四棱锥S－ABCD的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？解法一设想染色按S－A－B－C－D的顺序进行，对S，A，B染色，有5×4×3＝60(种)染色方法．由于C点的颜色可能与A同色或不同色，这影响到D点颜色的选取方法数，故分类讨论：C与A同色时(此时C对颜色的选取方法唯一)，D应与A(C)，S不同色，有3种选择；C与A不同色时，C有2种可选择的颜色，D也有2种颜色可供选择．从而对C、D染色有1×3＋2×2＝7(种)染色方法．由乘法原理，总的染色方法有60×7＝420(种)．法二根据所用颜色种数分类可分三类第一类：用三种颜色，此时A与C，B与D分别同色，问题相当于从5种颜色中选3种涂三个点．共A35＝60(种)涂法；第二类：用4种颜色，此时A与C，B与D中有且只有一组同色，涂法种数为2A45＝240(种)；第三类：用5种颜色，涂法种数共A55＝120(种)．综上可知，满足题意的染色方法总数为60＋240＋120＝420(种)．规律方法(1)注意在综合应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步．在分步时可能又用到分类加法计数原理．(2)注意对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化．【训练3】如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1a2，且a2a3，则称这样的三位数为凸数(如120，343，275等)，那么所有凸数的个数为()A．240B．204C．729D．920解析若a2＝2，则“凸数”为120与121，共1×2＝2个．若a2＝3，则“凸数”有2×3＝6个．若教学课件a2＝4，满足条件的“凸数”有3×4＝12个，…，若a2＝9，满足条件的“凸数”有8×9＝72个．∴所有凸数有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个)．答案A[思想方法]1．应用分类加法计数原理要注意以下三点：(1)明确题目中所指的“完成一件事”指的是什么事，完成这件事可以有哪些方法，怎样才算是完成这件事．(2)完成这件事的n类办法是相互独立的，无论哪种办法都可以单独完成这件事，而不需要再用到其他办法．(3)确立恰当的分类标准，准确地对“这件事”进行分类，要求每一种方法必属于某一类办法，不同类的任意两种方法是不同的方法，这是分类问题中所要求的“不重复”、“不遗漏”．2．使用分步乘法计数原理的关注点(1)明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的．(2)将完成这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成，这是分步的基础，也是关键．从计数上来看，各步的方法数的积就是完成事件的方法总数．(3)解决分步问题时一定要合理设计步骤、顺序，使各步互不干扰、互不影响，还要注意元素是否可以重复选取．[易错防范]1．切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行．2．分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理教学课件分类，准确分步．3．确定题目中是否有特殊条件限制.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．从3名男同学和2名女同学中选1人主持本班某次主题班会，不同选法种数为()A．6种B．5种C．3种D．2种解析由分类加法计算原理知总方法数为3＋2＝5(种)．答案B2．4位同学从甲、乙、丙3门课程中各选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法有()A．12种B．24种C．30种D．36种解析分三步，第一步先从4位同学中选2人选修课程甲．共有C24种不同选法，第二步给第3位同学选课程，有2种选法．第三步给第4位同学选课程，也有2种不同选法．故共有C24×2×2＝24(种)．答案B3．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A．24B．18C．12D．6解析三位数可分成两种情况：(1)奇偶奇；(2)偶奇奇．对于(1)，个位(3种选择)，十位(2教学课件种选择)，百位(2种选择)，共12种；对于(2)，个位(3种选择)，十位(2种选择)，百位(1种选择)，共6种，即12＋6＝18.故选B.答案B4．已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是()A．18B．10C．16D．14解析分两类：第一类：M中元素作横坐标，共3×2＝6个点，第二类：N中元素作横坐标，共4×2＝8个点，由分类加法原理知点的个数共6＋8＝14个．答案D5．(2013·四川卷)从1，