直线与圆的位置关系(共33张PPT)

4．2直线、圆的位置关系4．2.1直线与圆的位置关系第四章圆与方程栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第四章圆与方程学习导航学习目标重点难点重点：直线与圆的位置关系的判定及根据直线与圆的位置关系求圆的方程．难点：解决直线与圆位置关系的综合问题．栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第四章圆与方程新知初探思维启动1．直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系公共点个数相交________相切________相离________两个一个无栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第四章圆与方程2.直线与圆位置关系的判断(1)几何法已知直线Ax＋By＋C＝0和圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)，圆心到直线的距离d＝|Aa＋Bb＋C|A2＋B2.d与r的关系直线与圆的关系dr________d＝r相切dr________相交相离栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第四章圆与方程(2)代数法将直线Ax＋By＋C＝0和圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0联立得方程组Ax＋By＋C＝0，x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，消去y(或x)得mx2＋nx＋p＝0(或ay2＋by＋q＝0)．利用判别式Δ：当Δ＝0时，直线与圆_______；当Δ0时，直线与圆________；当Δ0时，直线与圆________．相切相交相离栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第四章圆与方程想一想1.用代数法和几何法判断直线与圆的位置关系时，二者在侧重点上有什么不同？提示：代数法与几何法都能判断直线与圆的位置关系，只是角度不同，代数法侧重于“数”的计算，几何法侧重于“形”的直观．2．过圆内一点(非圆心)作圆的弦，何时最长？何时最短？提示：弦过圆心时成为直径是最长的弦，垂直于该点与圆心连线的弦是最短的弦．栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第四章圆与方程做一做1.直线3x＋4y＝5与圆x2＋y2＝16的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．相切或相交2．过原点作圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的切线，方程为________．解析：∵圆为(x－1)2＋(y－1)2＝1，∴圆与x轴、y轴都相切．答案：x＝0或y＝0解析：选A.圆心到直线的距离为d＝532＋42＝14，所以直线与圆相交．栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第四章圆与方程典题例证技法归纳题型一直线与圆的位置关系的判断例1若直线4x－3y＋a＝0与圆x2＋y2＝100有如下关系：①相交；②相切；③相离，试分别求实数a的取值范围．【题型探究】栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第四章圆与方程【解】法一：(代数法)由方程组4x－3y＋a＝0，x2＋y2＝100，消去y，得25x2＋8ax＋a2－900＝0.Δ＝(8a)2－4×25(a2－900)＝－36a2＋90000.①当直线和圆相交时，Δ0，即－36a2＋900000，－50a50；②当直线和圆相切时，Δ＝0，即a＝50或a＝－50；③当直线和圆相离时，Δ0，即a－50或a50.法二：(几何法)圆x2＋y2＝100的圆心为(0,0)，半径r＝10，则圆心到直线的距离d＝|a|32＋42＝|a|5，栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第四章圆与方程①当直线和圆相交时，dr，即|a|510，－50a50；②当直线和圆相切时，d＝r，即|a|5＝10，a＝50或a＝－50；③当直线和圆相离时，dr，即|a|510，a－50或a50.【名师点评】判断直线与圆的位置关系，一般常用几何法，因为代数法计算繁琐，书写量大，易出错，几何法则较简洁，但在判断直线与其他二次曲线的位置关系时，常用代数法．栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第四章圆与方程跟踪训练1．若直线xa＋yb＝1与圆x2＋y2＝1有公共点，则()A．a2＋b2≤1B．a2＋b2≥1C.1a2＋1b2≤1D.1a2＋1b2≥1解析：选D.直线xa＋yb＝1与圆x2＋y2＝1有公共点，因此圆心(0,0)到直线bx＋ay－ab＝0的距离应小于等于1.∴|－ab|a2＋b2≤1，∴1a2＋1b2≥1.栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第四章圆与方程例2若直线l过点P(2,3)，且与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，求直线l的方程．题型二切线问题【解】法一：(1)若直线l的斜率存在，设l：y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0，因为直线l与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，所以|5－k|k2＋1＝1，所以k＝125.所以直线l的方程为y－3＝125(x－2)，即12x－5y－9＝0.栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第四章圆与方程(2)若直线l的斜率不存在，则直线l：x＝2也符合要求．所以直线l的方程为12x－5y－9＝0或x＝2.法二：(1)若直线l的斜率存在，设l：y－3＝k(x－2)，即y＝k(x－2)＋3，与圆的方程联立消去y得：(x－1)2＋[k(x－2)＋3＋2]2＝1，整理得(k2＋1)x2－(4k2－10k＋2)x＋4k2－20k＋25＝0，∵Δ＝(4k2－10k＋2)2－4(k2＋1)(4k2－20k＋25)＝0，∴k＝125.栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第四章圆与方程此时直线l的方程为y－3＝125(x－2)，即12x－5y－9＝0.(2)若直线l的斜率不存在，即x＝2也符合要求．所以直线l的方程为12x－5y－9＝0或x＝2.【名师点评】如果所求切线过某已知点，务必弄清该点与圆的位置关系．另外求切线时应注意对斜率不存在时过该点直线的验证．栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第四章圆与方程跟踪训练2．求圆x2＋y2＝4的切线方程，使得它经过点Q(3,0)．解：容易判断点Q(3,0)在圆外．设切线的方程为y＝k(x－3)，即：kx－y－3k＝0，又圆的圆心为(0,0)，半径为2，所以|－3k|1＋k2＝2，解得：k＝±255.所以所求切线方程为：y＝±255(x－3)．栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第四章圆与方程例3已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0.(1)m∈R时，证明l与C总相交；(2)m取何值时，l被C截得的弦长最短，求此弦长．题型三圆的弦长及应用【解】(1)证明：直线的方程可化为y＋3＝2m(x－4)，由点斜式可知，直线过点P(4，－3)．由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－150，所以点P在圆内，故直线l与圆C总相交．栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第四章圆与方程(2)如图，当圆心C(3，－6)到直线l的距离最大时，线段AB的长度最短．此时PC⊥l，直线l的斜率为－13，所以m＝－16，在△APC中，|PC|＝10，|AC|＝r＝5，所以|AP|＝52－102＝15，所以|AB|＝215.所以当m＝－16时，l被C截得的弦长最短，最短弦长为215.栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第四章圆与方程【名师点评】(1)若直线过圆内一点，则直线与圆必相交；(2)利用几何图形的特征及性质分析出何时弦长最短是解题的关键．栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第四章圆与方程跟踪训练3．已知圆的方程为x2＋y2＝8，圆内有一点P(－1,2)，AB为过点P且倾斜角为α的弦．(1)当α＝135°时，求AB的长；(2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第四章圆与方程解：(1)法一：(几何法)如图所示，过点O作OC⊥AB.由已知条件得直线的斜率为k＝tan135°＝－1，∴直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.∵圆心为(0,0)，∴|OC|＝|－1|2＝22，∵r＝22，∴|BC|＝8－222＝302.∴|AB|＝2|BC|＝30.栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第四章圆与方程法二：(代数法)当α＝135°时，直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)，即y＝－x＋1，代入x2＋y2＝8，得2x2－2x－7＝0.∴x1＋x2＝1，x1x2＝－72，∴|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1[x1＋x22－4x1x2]＝30.(2)如图，当弦AB被点P平分时，OP⊥AB，∵kOP＝－2，∴kAB＝12，∴直线AB的方程为y－2＝12(x＋1)，即x－2y＋5＝0.栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第四章圆与方程【方法感悟】1．圆的切线方程的求法(1)求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k(k≠0)，则由垂直关系，得切线斜率为－1k，由点斜式方程可求得切线方程．如果k＝0或k不存在，则由图形可直接得切线方程．(2)求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程：首先讨论斜率不存在时是否适合题意．然后，讨论斜率存在时，可由以下两种方法解出．栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第四章圆与方程①几何方法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，切线方程即可求出．②代数方法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆方程，得一个关于x的一元二次方程．由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出．栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第四章圆与方程2.直线与圆相交时，弦长的求法(1)几何法，如图，直线l与圆C交于A、B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有|AB|22＋d2＝r2.即|AB|＝2r2－d2.栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第四章圆与方程(2)若用代数法，则联立直线方程和圆的方程．①解方程组得A、B点的坐标，再由两点间的距离公式求弦长|AB|.②消去一个未知数得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系可得弦长|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2|y1－y2|，其中k为直线的斜率且k≠0，特别地，当k＝0时，可直接利用|AB|＝|x1－x2|计算，当斜率不存在时，可直接利用|AB|＝|y1－y2|计算．栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第四章圆与方程精彩推荐典例展示名师解题与圆有关的参数问题例4已知直线l：y＝－33x＋m与圆x2＋y2＝1在第一象限内有两个不同的交点，求m的取值范围．【解】∵l：y＝－33x＋m，圆x2＋y2＝1，∴l可变形为：3x＋3y－3m＝0，圆的圆心为(0,0)，半径长r＝1.栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第四章圆与方程当直线和该圆相切时，应满足d＝|－3m|3＋9＝1，解得m＝±233，在平面直角坐标系中作出图象，如图所示，其中l2：y＝－33x＋233，l3：y＝－33x－233.过原点作直线l0：y＝－33x，m0：y＝－x.栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第四章圆与方程∵直线l的斜率k＝－33，直线AB的斜率k＝－1，∴只有当直线l在