2013届高考数学一轮复习讲义：8.6 立体几何中的向量方法(Ⅰ) 证明平行与垂直解析

一轮复习讲义立体几何中的向量方法(Ⅰ)——证明平行与垂直1．用向量表示直线或点在直线上的位置(1)给定一个定点A和一个向量a，再任给一个实数t，以A为起点作向量AP→＝ta，则此向量方程叫做直线l的参数方程．向量a称为该直线的方向向量．(2)对空间任一确定的点O，点P在直线l上的充要条件是存在唯一的实数t，满足等式OP→＝(1－t)OA→＋tOB→，叫做空间直线的向量参数方程．忆一忆知识要点要点梳理2．用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔.(2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔.(3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔.(4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔.忆一忆知识要点v1∥v2xv1＋yv2存在两个实数x，y，使v＝v⊥uu1∥u2要点梳理3．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔⇔.(2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔.(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔⇔.忆一忆知识要点v1⊥v2v1·v2＝0v∥uu1⊥u2u1·u2＝0要点梳理[难点正本疑点清源]1．直线的方向向量实质上是与直线平行的非零向量，它有无数多个，平面的法向量也有无数个．2．利用空间向量解决立体几何中的平行问题(1)证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量，但要注意说明这两条直线不共线．(2)证明线面平行的方法①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，但要说明直线不在平面内．②证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线，也要说明直线不在平面内．③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量．同时要注意强调直线不在平面内．例1如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.利用空间向量证明平行问题证明方法一如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则M0，1，12，N12，1，1，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，于是MN→＝12，0，12，设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)．则n·DA1→＝0，且n·DB→＝0，得x＋z＝0，x＋y＝0.取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)．又MN→·n＝12，0，12·(1，－1，－1)＝0，∴MN→⊥n，又MN⊄平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.方法二MN→＝C1N→－C1M→＝12C1B1→－12C1C→＝12(D1A1→－D1D→)＝12DA1→，∴MN→∥DA1→，又∵MN与DA1不共线，∴MN∥DA1，又∵MN⊄平面A1BD，A1D⊂平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.用向量证明线面平行的方法：(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；(2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；(3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示；(4)本题易错点为：只证明MN∥A1D，而忽视MN⊄平面A1BD.探究提高如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点．求证：PB∥平面EFG.变式训练1证明∵平面PAD⊥平面ABCD且ABCD为正方形，∴AB、AP、AD两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A—xyz，则A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)、P(0,0,2)、E(0,0,1)、F(0,1,1)、G(1,2,0)．∴PB→＝(2,0，－2)，FE→＝(0，－1,0)，FG→＝(1,1，－1)，设PB→＝sFE→＋tFG→，即(2,0，－2)＝s(0，－1,0)＋t(1,1，－1)，∴t＝2，t－s＝0，－t＝－2，解得s＝t＝2.∴PB→＝2FE→＋2FG→，又∵FE→与FG→不共线，∴PB→、FE→与FG→共面．∵PB⊄平面EFG，∴PB∥平面EFG.例2如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)AE⊥CD；(2)PD⊥平面ABE.利用空间向量证明垂直问题建立适当的空间直角坐标系，利用向量坐标证明．证明∵AB、AD、AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设PA＝AB＝BC＝1，则P(0,0,1)．(1)∵∠ABC＝60°，∴△ABC为正三角形．∴C12，32，0，E14，34，12.设D(0，y,0)，由AC⊥CD，得AC→·CD→＝0，即y＝233，则D0，233，0，∴CD→＝－12，36，0.又AE→＝14，34，12，∴AE→·CD→＝－12×14＋36×34＝0，∴AE→⊥CD→，即AE⊥CD.(2)方法一∵P(0,0,1)，∴PD→＝0，233，－1.又AE→·PD→＝34×233＋12×(－1)＝0，∴PD→⊥AE→，即PD⊥AE.∵AB→＝(1,0,0)，∴PD→·AB→＝0，∴PD⊥AB，又AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.方法二设平面ABE的一个法向量为n＝(x，y，z)，∵AB→＝(1,0,0)，AE→＝14，34，12，∴n·AB→＝0n·AE→＝0，即x＝014x＋34y＋12z＝0，令y＝2，则z＝－3，∴n＝(0,2，－3)．∵PD→＝0，233，－1，显然PD→＝33n.∴PD→∥n，∴PD→⊥平面ABE，即PD⊥平面ABE.证明线面平行和垂直问题，可以用几何法，也可以用向量法．用向量法的关键在于构造向量，再用共线向量定理或共面向量定理及两向量垂直的判定定理．若能建立空间直角坐标系，其证法较为灵活方便．探究提高如图所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.变式训练2证明方法一设平面A1BD内的任意一条直线m的方向向量为m.由共面向量定理，则存在实数λ，μ，使m＝λBA1→＋μBD→.令BB1→＝a，BC→＝b，BA→＝c，显然它们不共面，并且|a|＝|b|＝|c|＝2，a·b＝a·c＝0，b·c＝2，以它们为空间的一个基底，故AB1→⊥m，结论得证．则BA1→＝a＋c，BD→＝12a＋b，AB1→＝a－c，m＝λBA1→＋μBD→＝λ＋12μa＋μb＋λc，AB1→·m＝(a－c)·λ＋12μa＋μb＋λc＝4λ＋12μ－2μ－4λ＝0.方法二如图所示，取BC的中点O，连结AO.因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC.因为在正三棱柱ABC—A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1.取B1C1的中点O1，以O为原点，以OB→，OO1→，OA→为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，3)，A(0,0，3)，B1(1,2,0)．设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，BA1→＝(－1,2，3)，BD→＝(－2,1,0)．因为n⊥BA1→，n⊥BD→，故n·BA1→＝0，n·BD→＝0⇒－x＋2y＋3z＝0，－2x＋y＝0，令x＝1，则y＝2，z＝－3，故n＝(1,2，－3)为平面A1BD的一个法向量，而AB1→＝(1,2，－3)，所以AB1→＝n，所以AB1→∥n，故AB1⊥平面A1BD.例3如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝12AD＝1.(1)求证：平面PAC⊥平面PCD；(2)在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由．利用空间向量解决探索性问题(1)可以用几何法，也可以用向量法．(2)利用向量法一般比较方便．(1)证明∵PA⊥面ABCD，∴PB与平面ABCD所成的角为∠PBA＝45°.∴AB＝1，由∠ABC＝∠BAD＝90°，易得CD＝AC＝2，由勾股定理逆定理得AC⊥CD.又∵PA⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC，又CD⊂平面PCD，∴平面PAC⊥平面PCD.(2)解分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．∴P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，设E(0，y，z)，则PE→＝(0，y，z－1)，PD→＝(0,2，－1)．∵PE→∥PD→，∴y·(－1)－2(z－1)＝0①∵AD→＝(0,2,0)是平面PAB的法向量，又CE→＝(－1，y－1，z)，CE∥平面PAB.∴CE→⊥AD→.∴(－1，y－1，z)·(0,2,0)＝0，∴y＝1.将y＝1代入①，得z＝12.∴E是PD的中点，∴存在E点使CE∥平面PAB，此时E为PD的中点．对于探索性问题，一般先假设存在，设出空间点坐标，转化为代数方程是否有解问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在．探究提高如图所示，在三棱锥A—BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD＝3，BD＝CD＝1，另一个侧面ABC是正三角形．(1)求证：AD⊥BC；(2)求二面角B—AC—D的余弦值；(3)在线段AC上是否存在一点E，使ED与平面BCD成30°角？若存在，确定点E的位置；若不存在，说明理由．变式训练3因此BC→·DA→＝－1＋1＝0，所以AD⊥BC.(1)证明作AH⊥平面BCD于H，连结BH、CH、DH，则四边形BHCD是正方形，且AH＝1，以D为原点，以DB所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，以垂直于DB的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则B(1,0,0)，C(0,1,0)，A(1,1,1)，所以BC→＝(－1,1,0)，DA→＝(1,1,1)，(2)解设平面ABC的法向量为n1＝(x，y，z)，则由n1⊥BC→知：n1·BC→＝－x＋y＝0，同理由n1⊥AC→知：n1·AC→＝－x－z＝0，可取n1＝(1,1，－1)，同理，可求得平面ACD的一个法向量为n1＝(1,0，－1)．∴cos〈n1，n2〉＝n1·n2|n1||n2|＝1＋0＋13×2＝63.即二面角B—AC—D的余弦值为63.(3)解设E(x，y，z)是线段AC上一点，则x＝z0，y＝1，所以DE→＝(x,1，x)，设平面BCD的一个法向量为n＝(0,0,1)，要使ED与平面BCD成30°角，由图可知DE→与n的夹角为60°，所以cos〈DE→，n〉＝DE→·n|DE→||n|＝cos60°＝12，所以2x＝1＋2x2，解得x＝22，所以CE＝2x＝1.故线段AC上存在一点E，使ED与平面BCD成30°角，且当CE＝1时，ED与平面BCD成30°角．(14分)已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点．求证：(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C1F.答题规范利用空间向量证明平行、垂直要规范学生解答展示建立空间直角坐标系，(1)求证线面平行转化为求证直线的方向向量与平面法向量垂直．(2)面面平行转化为法向量平行进行求证．审题视角规范解答证明(1)如图所示，建立空间直角坐标系D—xyz，则有D(0,0,0)、A(2,0,0)、C(0,2,0)、C1(0,2,2)、E(2,2,1)、F(0,0,1)，所以FC1→＝(0,2,1)，DA→＝(2,0,0)，AE→＝(0,2