第五节：二次型与标准型

二次型及其标准形221axbxycycossin,sincos,xxyyxy221mxny引言：在解析几何中，为了便于研究二次曲线把方程化为标准形的几何性质，可以选择适当的坐标旋转变换上式的左边是一个二次齐次多项式。从代数学的观点看，化标准形的过程就是通过变量的线性变换化简一个二次齐次多项式，使它只含有平方项．这样一个问题，在许多理论问题或实际问题中常会遇到。现在我们把这类问题一般化，讨论n个变量的二次齐次多项式的化简问题．12,,,nxxx22212111222222121213131,1(,,,)222nnnnnfxxxaxaxaxaxxaxxaxx定义1含有n个变量称为二次型。的二次齐次函数例如二元及三元二次型（举例）对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换11111221221122221122nnnnnnnnnnxcycycyxcycycyxcycycy使二次型只含平方项，也就是代入能使之成为2221122nnfkykyky这种只含平方项的二次型，称为二次型的标准形(或法式)。222211pprfyyyy如果标准形的系数只在1，-1,0三个数中取值，也就是代入能使之成为则称上式为二次型的规范形。我们利用矩阵来解决这一问题一。二次型与可逆线性变换的矩阵表示例1.将下列二次型表示成矩阵乘积的形式：222123123121323(,,)2324fxxxxxxxxxxxx解：先写成对称形式123211213221223231323(,,)21221232fxxxxxxxxxxxxxxxxxx112321233123(2)1(2)21(23)2xxxxxxxxxxxx利用内积写成：12312312312321(,,)221232xxxxxxxxxxxx1123231121(,,)1221232xxxxxx令：11211221232A123123(,,)(,,)TTXxxxXxxx则：123(,,)TfxxxXAX矩阵11211221232A是对称矩阵，它是由二次型的系数来决定的，我们称该二次型的矩阵，而二次型称该矩阵的二次型，他们之间是一一对应的。矩阵A的秩称对应二次型的秩，写出了二次型的矩，就容易将二次型表示成矩阵乘积的形式。将矩阵与二次型的系数比较，不难发现：1）对角元对应相应平方项的系数，2）非对角元对应相应交叉项系数的一半（另一半为其对称元素）我们将矩阵与未知数的系数列成下表：12311221321121223xxxxxx其中表中数字表对应变量乘积之系数例2.写出下列二次型对应的矩阵，并将二次型表示成矩阵乘积的形式：222123123222123123122312341223341)(,,)2342)(,,)3243)(,,,)222fxxxxxxfxxxxxxxxxxfxxxxxxxxxx解:其矩阵分别为：1234A2110132021A30100101001010010A对应二次型分别写为：;(1,2,3)TifXAXi下面将可逆线性变换11111221221122221122nnnnnnnnnnxcycycyxcycycyxcycycy利用将线性方程组表示成矩阵的方法（变量X与线性方程组中的常数项对应）可将可逆线性变换用矩阵表示如下：XCY其中C为线性变换对应的矩阵，X,Y为变量对应的向量表示用矩阵乘积表示二。将二次型化成标准型：xCy()()TTTTfxAxCyACyyCACyTBCAC。定义5.7设n阶矩阵A，若有可逆矩阵C使1.将可逆线性变换：代入二次型：TfXAX得：则称矩阵A与矩阵B合同TBCAC()TTTTTTBCACCACCACBTBCACTCR(B)=R(A)显然，若A为对称阵，则也为对称阵，且R(A)=R(B)故B为对称阵。又因也可逆，由矩阵秩的性质即知。xCyTCAC由此可知，经可逆线性变换后，二次型f的矩阵由A变成与A合同的矩阵。且二次型的秩不变。事实上因C可逆，故矩阵等价，相似，合同是矩阵的三大关系，总结一下，各自的背景，判定条件，之间的关系，应用。矩阵合同关系是等价关系，故满足：自反，对称，传递2.用lagrang配方法把二次型化标准型xCy，上一节我们讲了用正交变换化二次型为标准形，这个问题称主轴问题。由于正交变换有保持图形不变的性质，因此在研究几何图形中被广泛应用但在很多场合下我们只需要用一般可逆线性变换把二次型化标准形。下面我们介绍用Logrange配方法把二次型化成标准形。所用线性变换为可逆线性变换。1x1x1x2x2x一、Logrange配方法的步骤起头，首先集中所有含的项进行配方，剩下部分再不含起头，则再集中所有含，情形1，如果二次型中含有平方项。不妨设以不妨设以1x的项的项进行配方。以此类推，直至全部配成平方为止情形2，如果二次型中不含有平方项。不妨设含则变换后即含有平方项，再按情形1进行配方即可。将以上每次新老变量的线性变换连乘，即得新变量组到终变量组间的可逆线性变量。112212,xyyxyy的项，令12,xx(2)iixyi注：通过以下例题可看到用Logrange配方法把二次型化成标准形。的步骤与过程，其一般性证明是类似的，留待读者22211221332346fxxxxxxx21x1x例5.6.1用配方法化下列二次型为标准形，设解，故可先将含的各项集中并进行配平方f中含有变量平方项，例如2221121323(24)36fxxxxxxx22222123232323(2)4436xxxxxxxxx2221232233(2)242xxxxxxx2212323(2)2()xxxxx令可逆线性变换1123223332yxxxyxxyx1123223333xyyyxyyxy2212312(,,)fxxxyy11221,2yzyz2212fzz即使得显然如令上式又可化成规范型1213233fxxxxxx11221233xyyxyyxy110110001xy例5.6.2用配方法把下面二次型化为标准形解：因为f中不含有变量平方项，所以先做一个简单的可逆线性变换使新二次型出现平方项。为此设即22121323132333fyyyyyyyyyy2211322324yyyyyy222132233()4fyyyyyy22213233()(2)3yyyyy代入原二次型得用例5.6.1配方步骤得113223332zyyzyyzy2221233fzzz11232123333xzzzxzzzxz113111001xz令可逆线性变换代入上式，得由上面①，②式，得可逆线性变换即fXAX一般非正交变换的可逆线性变换不再保持图形形状不变，但仍保持许多好的特性。首先保持秩不变，因此当二次型用可逆线性变换化标准形时，其非零平方项的个数或独立变量个数）是不变的。不仅如此，还有如下结论定理5.9（惯性定理）设秩为r的的实二次型，经可逆线性变换化标准形时，正平方项的个数请总结一下，用Logrange配方法把二次型化成标准形的步骤，并比较用正交变换化标准型各有什么特征，及不同。我们学过矩阵的初等变换，能否通过矩阵的初等变换将对称矩阵化成标准型呢？（请参考有关线性代数书籍）p（称正惯性指数）不变，因而负平方项的个数q（称负惯性指数）不变，p-q称符号差，当然也是不变的。证略。